二次函数与一元二次不等式ppt

不等式 ax2+bx+c>0
无解
• 试一试：利用函数图象解下列方程和不等 y 式:
<1>
-1 2 ①-x +x+2=0; 2
0 X
②-x2+x+2>0; y ③-x2+x+2<0.
y= -x2+x+2
<2>
①x2-4x+4=0;
②x2-4x+4>0; y ③x2-4x+4<0. 0
O
2
x
X
<3>
①-x2+x-2=0;
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有两个相等 的实数根
没有实数根
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: 2 – 4ac > 0 b (1)有两个交点 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
y>0
(-2,0) 0
y>0 x
Y<0
1 2 (3,0)
(0.5,-6.25)
思考1：
• 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 X1=-1; X2=3 2 方程ax +bx+c=0的根是 X<-1;X>3 __________; -1<X<3 不等式ax2+bx+c>0的解集 是 y _________; 不等式ax2+bx+c<0的解集 是 _________; O x -1 3
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
Y
△＜0 △=0
△＞0
O
X
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x
D y=-2(x+1)2 - 3
2
(3)函数图象上位于x轴下方的部分的 所有点的纵坐标都小于0.也就是:
y 0,即x 2 2 x 0
1
2
3 x
-1
例1：已知二次函数 y=x2–x–6，当x取哪些值时
⑴ y=0 ⑵ y>0, y<0
y x=0.5
解:方程x2–x–6=0的判别式 =(–1)2–4(–6)=25>0 解得x1=-2, x2=3. ⑴当x=-2或x=3时 函数值y=0 ⑵从图中可看出， 当x<-2或x>3时y>0 当-2<x<3时,y<0,
；
• 观察函数图像，求方程的解、不等式的解集。 • （1）、方程ax2+bx+c=0的解是 • （2）、不等式ax2+bx+c>0的解集 是 ； • （3）、不等式ax2+bx+c<0的解集 是 ；
；
• 观察函数图像，求方程的解、不等式的解集。 • （1）、方程ax2+bx+c=0的解是 • （2）、不等式ax2+bx+c>0的解集 是 ； • （3）、不等式ax2+bx+c<0的解集 是 ；
问题5: (1) 请找出图中二次函数的零点?
y x2 2x
1
2
3 x
-1
解: (1) x=0和x=2是二次函数y=0的点. 即一元二次方程的两根. (2) 函数图象上位于x轴上方的部分的 所有点的纵坐标都大于0.也就是:
y 3 2 1 -1 0
y x2 2x
y 0,即x 2 x 0
二次函数与一 元二次不等式 的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点
只有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相 等的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac
0 x
0 x x
• ★归纳总结： • 1、不等式ax2+bx+c>0的解集，其实就是 函数y=ax2+bx+c，当 >0时， 的取值范围。 • 2、不等式ax2+bx+c<0的解集，其实就是 函数y=ax2+bx+c，当 <0时， 的取值范围。 • 3、函数与方程、不等式的关系体现了数学 中的 思想。
②-x2+x-2>0;
一元二次函数与一元二次不等式的解集的讨论
y ax bx c (a 0)
2
判别式 y 图 象 y>0 y<0 o
△> 0 y
△= 0 y
△< 0
x1
x2 x
o
x0
x
o 全体实数
无
x
x x1或x x 2
x1 x x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx x0
无
y 0
x1
y
x2
y
x0
判别式⊿=b24ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a>0） 的图像
⊿>0
y
⊿＝0
y y
⊿＜0
X1 0
X2
x
O X1= X2
x
O
x x x
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x<x1或x>x2 x1<x<x2
二次方程
X1 ; X2
X1 =X2 ＝－b/2a
x ≠ x1的一切实 数
没有实数根
所有实数 无解
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x 轴交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定
问题4： 请作出二次函数 yx 解:
2
2x的图象.
x -1 0 1 2 3 y 3 0 -1 0 3
(2) 观察图中函数图象,在x轴上方部分, 你会得到什么结论? (3) 观察图中函数图象,在x轴下方部分, 你会得到什么结论? y 3 2 1 -1 0