由一道课本习题出发

由一道课本习题出发

分式方程是分母中含有未知数的方程. 求解分式方程时，通常先去分母，将其转化为整式方程. 这是数学转化思想的典型体现. 转化可以为问题的解决带来方便，但在转化的过程中，总有一些同学出现问题，导致方程解错. 这里，我们需要强调，转化带来的形式上的变化，其根源在于运算本质. 只有抓住运算本质，才能解好分式方程.

让我们从一道课本例题说起：

例1 （苏科版八下，第115页探索）

解方程：=-1.

根据多年的教学经验，先列举一些学生的“错解”，然后进行剖析与点评.

【错解1】方程两边同乘（x-2 ）（3x-6 ），得

（5x-4 ）（3x-6 ）=（4x+10）（x-2 ）- （x-2 ）?（3x-6 ）.

【点评】这样，分母是去掉了，可整理的过程以及整理出来的结果都会使问题陷入僵局. 原因在于没有分析好最简公分母就盲目下手. 可见，解分式方程的第一步，是在未动笔之前先确定好合理的公分母――要对能因式分解的分母彻底分解，取所有分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，即最简公分母. 这就像“兵马未动，粮草先行”的道理，做好了充足准备，解题才会顺利.

【错解2】方程两边同乘3（x-2 ），得

3（5x-4 ）=4x+10-1.

【点评】最简公分母找对了，分母也去掉了，等式却失衡了. 因为-1 那一项漏乘，等式已经不成立了. 去分母，一定要遵守等式的基本性质，必须保证等式左右两边的公平，每一项都要乘最简公分母. 这里最值得关注的是分式方程中的整式项. 解分式方程时，对整式项的处理，经常是同学们容易出问题的地方，应该注意两点：第一，整式项不能漏乘；第二，整式项乘最简公分母后，不能漏掉应该添加的括号，而且要严格遵守去括号的变号法则. 走好这一步，表面看是要注意运算细节，其实是要抓准等式基本性质、约分法则，以及括号法则的运用.

【错解3】方程两边同乘3（x-2 ），得3（5x-4）=4x+10-3（x-

2 ）.

解得：x=2.

所以，原分式方程的解为：x=2. 【点评】转化来的整式方程是易于求解，但它的解未必是原分式方程的解. 当我们把x=2 代回原方程时就会发现原方程的分母都等于0. 原分式无意义！怎么会这样？回忆我们去分母的过程，分母没了，x 的取值范围扩大了，而实际上原方程中的x 是不能等于2的. 所以x=2 只是整式方程的解，并不是原分式方程的解. 这时，我们称x=2 为原分式方程的增根. 可见，解分式方程与解整式方程不同，转化而来的东西，要经得起考验. 所以，验根是解分式方程必不可少的一步

反思与赏析：一道好的例题，一定蕴含着若干个闪光点，聪明的你如能发掘出来，解决问题的功力就会大大增强. 这个例题在告诉我

们，解好分式方程不能忽视三点：

第一，最简公分母一定要做到最简；第二，等式基本性质的使用一定要公平；第三，解完方程一定要验根.

（编者按：关于分式方程的验根，可以参见本期杨琦同学的数学写作《对分式方程检验的认识》）

由于分式方程的验根是必不可少的“特色步骤”，以下就介绍几种不同的验根方法：

一、直接验根法将解得的值分别代入原分式方程的左边和右边，若左边等于右边，此解即为原分式方程的解，否则，此解就不是原分式方程的解.

例2 解方程=.

讲解：原方程变形得2x=x-1，二x=-1.

检验：把x=-1 分别代入原分式方程的左边和右边，左边

==-1 ，右边==-1 ，左边=右边，所以x=-1 是原分式方程的解.

反思：运用直接验根法，不仅能检验出原分式方程的解，而且还能检验求得的解是否正确.

各分母验根法

把所求得的值代入原分式方程的各个分母中，如果使各个分母的值都不为0，则此解为原分式方程的解；若有分母为0，则不是原分式方程的解.

例3 解分式方程：=.

讲解：去分母得：2（x-1 ）=x-3.

解得x=-1.

检验：把x=-1 分别代入原分式方程的各个分母得

x-3=-1-3=-4 ，x-1=-1-1=-2 ，分母都不为0，所以x=-1 是原分式方程的解.

三、公分母验根法把解得的值代入最简公分母中进行检验，使得最简公分母为0 的值不是原分式方程的解，否则即为原分式方程的解.

例4 解分式方程：=-1.

讲解：方程两边同乘3（x-2 ），得3（5x-4 ）=4x+10-3（x-

2 ）. 解这个方程，得x=2.

检验：当x=2时，3 （x-2 ）=0,所以x=2是增根，原方程无解.

反思：公分母验根法比较简单，因此常被广泛地采用