理想气体的热力学过程

P
1
2
4
0
T1 3
T2
V1
V4 V2
V3
Q
34：与温度为T2的低温热源接触，T2不变， 体积由V3压缩到V4，从热源放热为 V3 Q 2 RT2 ln V4 41：绝热压缩，体积由V4变到V1，吸热为零。
在一次循环中，气体 对外作净功为 |W|= Q1-Q2 （ 参见能流图）
T1 Q1
1
1

2



1

W3 4
RT3 1
T4 1 T3
在两条等温线之间， 沿任意两条绝热线， 系统对外界作功相等。
考虑到 T1=T3 T2=T4 W12=W34
2-7 循环过程
历史上，热力学理论最初是在研究热机工作过 程的基础上发展起来的。 在热机中被用来吸收热量并对外作功的物质叫 工质。工质往往经历着循环过程，即经历一系 列变化又回到初始状态。
气体在多方过程中从外界吸的热量
R Q C mV T2 T1 C v T2 T1 n 1
当1 n 时，Cmn 0。说明气体在过程中对 外界所作的功大于它从外界吸收的热量。多作 的功是由于消耗了本身的内能，故虽然吸热， 但温度反而下降，产生负热容。
V2 dV W PdV RT RT ln V1 V1 V V1 P1 P1V1 P2 V2 W RT ln P2
V2 V2
等容过程（dV= 0）
过程方程：V=常数 在P-V图上，等容线为一条垂直 于V轴的直线。（图二虚线）
P
功：W=0 内能与热量： 由第一定律可得：U=Q 理想气体内能表达式
|W|
正循环的特征： 一定质量的工质在一次循环过程中要从高温热 源吸热Q1，对外作净功|W|，又向低温热源放 出热量Q2。而工质回到初态，内能不变。如热 电厂中水的循环过程（示意如图）。 Q1、Q2、|W|均表示数值大小。 工质经一循环 |W|= Q1-Q2
实用上，用效率表示热机的效能以表示 W Q1
PdV VdP R 1 PdV CmV
VdP PdV 0
dP dV 0 P V
理想气体 准静态绝热过程 微分方程
若在一般过程中理想气体温度变化不大， 可将看作常数，将上式积分，得 lnP+ lnV=常量 泊松公式
PV const .
根据泊松公式，在P-V图上可划出理想气体绝热 过程所对应的曲线，称为绝热线（图一实线）。 因为 =CP/CV1，所以绝热线比等温线更陡。
P [例] 一定质量的理想气体系统 2 1 先后经历两个绝热过程即 1态到2态，3态到4态（如 图所示）且T1=T3、T2=T4， 3 4 在1态与2态，3态与4态之 V 间可分别连接两条等温线。 求证：（1）V2/V1=V4/V3（2）W12=W34
[证] （1）由泊松公式及状态方程可得
PV R TV 1 const . TV

准静态绝热过程功的计算 除了借助第一定律计算功外，对于准静态绝热 过程还可利用泊松公式计算如下 将泊松公式 PV P1V1 代入 W PdV 得
W
V2 V1
P1 V1 dV V
P1 V1 1 1 1 1 1 V2 V1 V 1 P1 V1 1 1 1 V2 1 P2 V2 P1V1 1
U C V dT
T1
T2
图二
V
且假定CV=CmV=常数，则有 U= CmV（T2-T1）
等压过程（dP=0）
过程方程：P=常量 在P-V图上，等压线为一条垂直于P轴的直线。 （图二实线） 功：W= - P（V2-V1）=R（T2-T1） 热量：由公式CP=（Q/dT）P，且假定CP=常数有 Q = CP（T2-T1）= CmP（ T2-T1） 内能：由第一定律，得 U = Q + W = CmP（T2-T1）-R（T2-T1） = （CmP-R）（T2-T1） = CmV（T2-T1）
以理想气体为工质的卡诺制冷循环的制冷系数为
T2 T1 T2
这是在T1和T2两温度间工作的各种制冷机 的制冷系数的最大值。 [实例] 冰箱 热泵
2-8 卡诺循环
1824年卡诺（法国工程师1796-1832）提出了一 个能体现热机循环基本特征的理想循环。后人 称之为卡诺循环。 本节讨论以理想气体为工质的卡诺循环。 由4个准静态过程（两个等温、两个绝热）组成。 12：与温度为T1的高温热源接触，T1不变， 体积由V1膨胀到V2，从热源吸收热量为 V2 Q 1 RT1 ln V1 23：绝热膨胀，体积由V2变到V3，吸热为零。
1
const .
T4 12： T2 V1 3 4： V3 V V T1 2 T3 4 考虑到 T1=T3 T2=T4 由上两式可得 V2 V4 V1 V3 V 1 RT T （2） P1V1 1 1 2 同理 W12 1 V 1 1 T 1
W
Q2 T2
效率为
V3 T2 ln W Q1 Q2 Q2 V4 1 1 V2 Q1 Q1 Q1 T1 ln V1
V3 V2 V4 V1
理想气体卡诺循环 的效率只与两热 源的温度有关
由2-6例题结果知 所以
T2 1 T1
第三章将证明在同样两个温度T1和T2之间工作 的各种工质的卡诺循环的效率都由上式给定，而 且是实际热机可能效率的最大值。 因为T1和T2是在求理想气体热量时引进的， 应为理想气体温标所定义的温度。可证明，当用 热力学温标表示两个热源的温度时，卡诺循环的 效率的表示仍为上式。
多方过程 实际上，气体所进行的过程，常常既不是等温 又不是绝热的，而是介于两者之间，可表示为 PVn =常量 （n为多方指数） 凡满足上式的过程称为多方过程。 n =1 —— 等温过程 n = —— 绝热过程 n= 0 —— 等压过程 n = —— 等容过程 一般情况1 n ，多方过程可近似代表气体内 进行的实际过程。
若循环的每一阶段都是准静态过程，则此循环 可用P-V图上的一条闭合曲线表示。 箭头表示过程进行的方向。 工质在整个循环过程中对外作 的净功等于曲线所包围的面积。 沿顺时针方向进行的循环称为正循环或热循环。 沿反时针方向进行的循环称为逆循环或制冷循环。
P
a
b
d
c V T1 Q1 泵 气 缸 T2 Q2
与绝热过程功的计算类似，对于多方过程，有
1 W (P2 V2 P1V1 ) n1
对状态方程和多方过程方程求微分，得
PdV VdP RdT dP dV n 0 P V
再由第一定律
CmV dT Cmn dT (PdV)
可证明 Cmn
R n CmV CmV n1 1 n
绝热过程（Q=0） 由第一定律推导功的表达式 绝热过程 Q=0，U=W 内能的变化为 U= CmV（ห้องสมุดไป่ตู้2 T1） 代入理想气体状态方程，可得 U = CmV（P2V2 P1V1 ）/R 考虑到理想气体 CmV= R/（ 1） U =（P2V2 P1V1 ）/ （ 1） W = U =（P2V2 P1V1 ）/ （ 1）
无论过程是准静态 的还是非静态的
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准静态绝热过程 准静态绝热过程的过程方程 泊松公式 准静态过程中外界对气体所作的功为 W= -PdV 理想气体的内能只是温度的函数 dU= CmVdT 由第一定律，考虑到Q=0，有 dU=W CmVdT = -PdV ——（1） 对理想气体状态方程微分，可得 RdT=PdV+VdP ——（2） 联立（1）、（2），并利用CmV=R/（ -1），得
T1
逆向循环反映了制冷 机的工作原理，其能 流图如右图所示。
Q1
W
Q2 T2
工质把从低温热源吸收的热量和外界对它所作的 功以热量的形式传给高温热源，其结果可使低温 热源的温度更低，达到制冷的目的。吸热越多， 外界作功越少，表明制冷机效能越好。用制冷系 数 表示之。
Q2 Q2 Win Q 1 Q 2
2-6 理想气体的热力学过程
作为热力学第一定律的应用，以下讨论理想气体在 一些简单的准静态过程中，能量守恒与转化情况。 等温过程（dT=0) P 图一 过程方程：PV=RT=常量 在P-V图上，每一个等温过 程对应一条双曲线（图一虚 线），称为等温线。 内能： U=0 V 功和热量：由第一定律可得 Q= W 或 W= Q