欧氏几何与非欧几何

欧氏几何与非欧几何

教学内容

知识回顾：通过前面的学习，我们知道球面几何与平面几何中的许多定理是相同的，但也有一些是不相同的。

导入新课：在本讲，我们首先通过平面几何与球面几何的比较，追溯某些定理不相同的根源，给出欧氏几何与非欧几何的定义；然后通过欧氏平行公理的分析，给出非欧几何的一种模型——庞加莱模型。

教学重难点

球面几何与平面几何的比较；非欧几何的概念和意义；庞加莱模型。

教学目标

知识与能力：感知球面几何与平面几何的异同点；认识非欧几何的特点；了解庞加莱模型的内涵。

情感与态度：从对比中学习知识；培养合作交流意识。

一平面几何与球面几何的比较

相

同的定理

1.平面（球面）三角形两边之和大于第三边．

2.若两个平面（球面）三角形的三对边对应相等，则两个三角形全等．

3.若两个平面（球面）三角形的两对边对应相等，且其夹角对应相等，则两个三角形全等．

4.若两个平面（球面）三角形的两对角对应相等，且其夹边对应相等，则两个三角形全等．

5.平面（球面）等腰三角形的两底角相等，两腰对应相等．

…………….

不相同的定理

平面三角形内角和等于180°．

球面三角形内角和大于180°．

平面三角形的面积与内角和无关．

球面三角形的面积与内角和减∏成正比．

同一平面上存在两个不全等的相似三角形．

同一球面上不存在两个不全等的相似三角形．

…….

…….

为什么会出现不同？追溯其根源，是平面上有这样一个结论：过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交．我们把两条不想交的直线称为平行线，上述结论最早出现在欧几里得所著的《原本》中，所以我们把上述结论称为欧氏平行公理．在欧氏平行公理成立的条件下，推导出来的所有定理及其他结果所组成的几何体系成为欧氏几何．

球面上的大圆可视为直线．在球面上有这样一个结论：任意两条直线（大圆）都相交，即过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交．也就是说，对球面上的大圆而言，欧氏平行公理是不成立的．于是，在球面上产生了一些与欧氏平面几何完全不同的定理．

在欧氏平行公理不成立的条件下，推导出来的所有定理与其结果所组成的几何体系，称为非欧几何．

二欧氏平行公理与非欧几何模型——庞加莱模型

在球面上欧氏平行公理不成立的原因，是我们把大圆当作直线，因此任意两条直线都相交．但是大圆是弯曲的，并非像直线一样是笔直的；大圆的长度是有限的，而直线的长度是可以无限增大的．那么，为什么

把大圆作为直线呢？

在球面上，大圆具有直线在平面上的一些最基本的性质。例如，过两点有且只有一条直线；两点之间的连线中直线最短，等等，这些性质球面上的大圆都具备．所以大圆可以作为直线所具有的基本性质的一种说明或解释，这种解释可以视为一种模型．

现在我们来分析一下欧氏平行公理：“过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交．”在欧几里得几何学中是公设，所以我们当然可以怀疑它是否正确．

在球面上，如果我们把大圆作为直线，那么这个结论就不正确．这是一种怀疑方式，即“过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交”．

我们还可以用另一种方式来怀疑它，即“过直线外一点，不只一条直线与该直线不相交”．我们把这样改变后的结论称为非欧（双曲）平行公理．有双曲平行公理成立的情况下，推导出来的所有定理所组成的几何体系称为双曲几何．

那么是否在某个特殊的平面上，可以把某种曲线叫作直线，此时，非欧平行公理是成立的，这个平面可作为非欧几何模型．

下面，我们给出法国数学家庞加莱建立的满足非欧平行公理的一种几何模型．

在欧氏平面上做一条直线ｘ，以ｘ为边缘的上半平面（不包含ｘ上的点）记为ｗ，现在考虑ｗ内部的点，我们规定ｗ内部

的点为非欧点，圆心在ｘ上的半圆或垂直于ｘ的射线称为非欧直线．那么，在ｗ内、圆心在ｘ上的一段圆弧或垂直于ｘ的射线上的一条线段是非欧线段，两条非欧直线的夹角是非欧角．这样，在ｗ内部建立了一个非欧几何的模型，在此模型内满足：过直线外一点，不只一条直线与该直线不相交．

设ｋ为ｗ内垂直于ｘ的射线或者圆心在ｘ上的半圆，点Ａ为ｋ外的一点，则过点Ａ必可作两个半圆（或一射线、一半圆），其圆心在ｘ上，且与ｋ相切（显然，切点在ｘ上，而ｘ上的点都不在ｗ内），那么经过点A就有两条非欧直线与ｋ都不相交，所以在ｗ内，非欧平行公理是成立的．当然，在ｗ中我们还需要

说明两段非欧线段相等的概念、两个

非欧角相等的概念等，这就要

涉及其他的数学知识．这里就

不再介绍了．上面模型是庞加莱模型，庞加莱模型是一个双曲几何的模型．

把“过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交”作为公设推导出的几何称为椭圆几何．非欧几何主要有椭圆几何和双曲几何，它们与欧氏几何有明显的差异．

欧氏几何椭圆几何双曲几何

过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交．

过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交．

过直

线外一点，不只一条直线与该直线不相交．

三角形内角和为180°．

三角形内角和大于180°．

三角形内角和小于180°．

三角形的面积与内角和无关．

三角形的面积与内角和减180°成正比．

三角形的面积与180°减内角和成正比．

当然，这三种几何也有相同的地方：

1. 三角形中两边之和大于第三边；

2. 若两个三角形的三对边对应相等，则两个三角形全等．

三欧氏几何与非欧几何的意义

欧氏平行公理与非欧平行公理看起来是相互矛盾的，在一般情况下，如果有两个互相矛盾的结论，则必定有一个是错误的，现在我们如何判断谁对谁错？

首先，判断一种几何是否正确的标准是什么？ 1. 这种几何在理论上是否成立，这是逻辑问题；2.这种几何在实际中是否成立，能否刻画我们生活的物理世界．

数学家用间接的方法，在欧氏几何中建立了一个非欧几何的模型，在这个模型中，规定了一些非欧基本概念后，全部的推理都是依照欧氏几何所遵循的逻辑进行的，因此这个模型是欧氏几何与非欧几何的一个桥梁．

非欧几何的结论通过模型又可解释为欧氏几何中的一个结论，这样一来，如果非欧几何是矛盾的，那么，欧氏几何在逻辑上也是矛盾的，因此，庞加莱模型告诉我们，如果欧氏几何是无矛盾的，那么非欧几何也是无矛盾的．

爱因斯坦认为，时间和空间是不可分的，物理空间十分复杂，无论欧氏几何或非欧几何都不能全面、精确的解释物理的时空概念，但他们都是物理空间，对物理空间在不同方面有很好的近似．因此，两者对于我们的世界有重要的物理意义．

课堂小结：作为本书的最后一讲，这里主要介绍了非欧几何的一种模型——庞加莱模型，同时，简单介绍一下欧氏几何与非欧几何的意义．

***************