计算固体力学(有限元以及无网格方法)

σz ≠ 0
E 1− µ2
平面应变问题的弹性矩阵只需将上页中的 E 换成
µ 换成 1 − µ 即可。 即可。
µ
1 E (1 − µ ) µ [D] = (1 + µ )(1 − 2µ ) 1 − µ 0
µ
1− µ 1 0
0 1 − 2µ 2(1 − µ ) 0
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 3 单元中的应变和应力
{ε } = [ B ]{δ }e
i ( xi , yi )
y
vm
Hale Waihona Puke m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
ui
j(x j , y j )
由于[ 是常量， 由于[B]是常量，单元内各点应变分 量也都是常量， 量也都是常量，这是由于采用了线性位 移函数的缘故， 移函数的缘故，这种单元称为三角形常 应变单元。 应变单元。
2.2 三角形常应变单元 2 位移试函数
由于位移函数适用于单元中的任意 一点，所以代入3个节点的坐标后， 一点，所以代入3个节点的坐标后，得 出节点处位移函数为
ui = α1 + α 2 xi + α 3 yi
u j = α1 + α 2 x j + α 3 y j u m = α 1 + α 2 xm + α 3 y m
y
vm
m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
i ( xi , yi )
ui
j(x j , y j )
O
x
三角形单元
1 xi 1 ∆ = 1 xj 2 1 xm yi
联立求解， 联立求解，得
1 y j = (bi c j − b j ci ) 2 ym
α1 =
1 (ai ui + a j u j + am um ) 2∆ 1 α2 = (bi ui + b j u j + bmum ) 2∆ 1 α3 = (ci ui + c j u j + cmum ) 2∆
( r , s = i , j , m)
µbr cs +
1− µ cr bs 2 1− µ cr c s + br bs 2
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.3 单元的总势能 1 单元的应变能
[ K rs ]e ×2 = h∆[ Br ]T [ D][ Bs ] 2
( r , s = i , j , m)
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程
平衡方程 几何方程 物理方程 边界条件
O
平面问题应力状态
最小势能原理
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程 1 平面应力问题
σ z = 0, τ xz = τ zx = 0, τ yz = τ zy = 0,
εz ≠ 0
m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
∑ N k uk
i , j ,m
i ( xi , yi )
ui
j(x j , y j )
Ni =
1 (ai + bi x + ci y ), 2∆ 2∆
(i, j , m)
O
x
反映了单元的位移形态， 反映了单元的位移形态，称为形函数
三角形单元
同理有
v = N i vi + N j v j + N m vm =
计算固体力学
目
录
第一章 科学和工程中的数值方法 第二章 平面弹性力学的有限元法 第三章 三维弹性力学的有限元法 第四章 无网格方法
第一章 科学和工程中的数值方法
1.1 科学和工程问题的研究方法 1.2 科学和工程中的数值方法 1.3 几个简单示例
第一章 科学和工程中的数值方法
1.1 科学和工程问题的研究方法
y
vm
m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
i ( xi , yi )
ui
j(x j , y j )
{σ } = [ D ][ B ]{δ }e = [ S ]{δ }e
其中
O
x
[ S ] = [ D ][ B ] = [ S i
Sj
Sm ]
ci 1− µ bi 2
= [ IN i IN j IN m ]{δ }e
位移试函数） （位移试函数）
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 3 单元中的应变和应力
由几何方程知
∂ ε x ∂x {ε } = ε y = 0 γ xy ∂ ∂y 0 ∂ u ∂y v ∂ ∂x
所以， 是对称矩阵，称为单元刚度矩阵 单元刚度矩阵。 所以，[ K ]e 是对称矩阵，称为单元刚度矩阵。 对平面应变问题，只要代换弹性常数即可。 对平面应变问题，只要代换弹性常数即可。
平面应力问题的弹性矩阵为： 平面应力问题的弹性矩阵为：
1 [D] = E 2 µ 1− µ 0
µ
1 0
0 0 1− µ 2
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程 2 平面应变问题
ε x = 0, γ xz = 0, γ yz = 0
但一般情况下
{ε } = [ε x ε y ε xy ]T
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 1 结构的离散化
(a) 均匀受力板力学模型
(b) 力学模型离散化
平面问题有限单元法的计算力学模型
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 2 位移试函数
在以位移为基本未知量的有 限元法中， 限元法中，需构造出单元的位移 插值函数，即位移试函数。 插值函数，即位移试函数。 采用线性插值， 采用线性插值，位移试函数 可表示为
∑N v
i , j ,m
k k
则位移向量可表示为
u Ni {f}= = v 0 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0
{δ }e 单元节点位移向量
ui v i 0 u j N m v j um vm
科学研究的三大方法： 实验研究 (真实性)
实验条件，人力、物力和财力 实验条件，人力、
理论分析
(严密性)
基本基于简单问题， 基本基于简单问题，难以适应复杂问题
数值方法
(近似性、虚拟性)
应用广泛， 应用广泛，与实验和理论分析结合具有广阔前景
第一章 科学和工程中的数值方法
1.2 科学和工程中的数值方法
的面积， （ ∆ijm的面积，ijm 逆时针 ∆ > 0 ）
ai = x j ym − xm y j bi = y j − ym
ci = − x j + xm
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 2 位移试函数
u = N i ui + N j u j + N m u m =
y
vm
bi 1 [ B] = 0 2∆ c i 0 ci bi bj 0 cj 0 cj bj bm 0 cm 0 c m = Bi bm
O
x
三角形单元
[
Bj
Bm
]
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 3 单元中的应变和应力
由应力应变关系 {σ } = [D]{ε } 可得
三角形单元
bi E µb [Si ] = i 2 2 (1 − µ ) ∆ 1 − µ ci 2
µci
( i , j , m ) （平面应力问题） 平面应力问题）
应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同， 应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同， 一般用形心表示。 一般用形心表示。
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.3 单元的总势能 1 单元的应变能
平面应力状态下， 平面应力状态下，设物体的厚度为 h，则单元的应变能为 ，
Ve = h h [σ xε x + σ yε y + τ xyγ xy ]dxdy = ∫∫{σ }T {ε }dxdy 2 ∫∫ 2 e e
将几何方程和应力应变关系代入上式， 将几何方程和应力应变关系代入上式，则
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程
无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力 {σ } 之间的关系均为： 与 应变 {ε } 之间的关系均为：
{σ } = [D ]({ε } − {ε 0 }) ，其中：
{σ } = [σ x σ y τ xy ]T
式中 {ε 0 } 为初应变。
科学和工程中的数值方法的一般思路： 连续－离散 求解方程离散 解 域 离 散
AX = B
求
L (u ) = 0
u = ∑ ai ui
i
L ' (u i ) = 0
各种数值方法
ui = u ( xi ) 离散节点的变量值
第一章 科学和工程中的数值方法
1.3 几个简单示例
(a) 开孔板力学模型
(b) 力学模型离散化
u ( x, y ) = α 1 + α 2 x + α 3 y v ( x, y ) = α 4 + α 5 x + α 6 y
O
y
vm
m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
i ( xi , yi ) ui
j(x j , y j )
x
三角形单元
u = ∑ α i ui
i
第二章 平面弹性力学的有限元法
Ve =
T h h {ε }T [ D]{ε }dxdy = ∫∫{δ }e [ B]T [ D][ B]{δ }e dxdy 2 ∫∫ 2 e e
T h = {δ }e ∫∫ [ B]T [ D][ B]dxdy{δ }e 2 e
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.3 单元的总势能 1 单元的应变能
1− µ br bs + cr cs Eh 2 = 2 4(1 − µ )∆ µc b + 1 − µ b c r s r s 2 则 T [ K rs ]e = [ K sr ]e
µbr cs +
1− µ cr bs 2 1− µ cr c s + br bs 2
平面问题有限元法
第一章 科学和工程中的数值方法
BEM的变形 BEM的变形 起重机吊钩
FEM的变形 FEM的变形
第一章 科学和工程中的数值方法
岩体裂隙扩展
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程 2.2 三角形常应变单元 2.3 单元的总势能 2.4 物体的总势能 2.5 有限元方程组 2.6 面积坐标 2.7 节点荷载向量的计算 2.8 结构总刚度矩阵的性质 2.9 有限元程序设计 2.10 有限元解的收敛性 2.11 矩形单元 6节点三角形单元 2.12 6节点三角形单元 2.13 等参元
加权余量法（加权残数法）
最小二乘法、Galerkin方法 最小二乘法、Galerkin方法
基础方法
有限差分法 有限元法 边界元法 无网格方法
辅助方法 目前常用的计算固体力学方法
(在科学和工程各个领域得到广泛应用) 在科学和工程各个领域得到广泛应用)
目前研究的热点之一
第一章 科学和工程中的数值方法
1.2 科学和工程中的数值方法
e
单元的应变能为
e [ K ]6×6
[
]
e K im Ke jm e K mm
[ K rs ]e ×2 = h∆[ Br ]T [ D][ Bs ] 2
1− µ br bs + cr cs Eh 2 = 4(1 − µ 2 )∆ µc b + 1 − µ b c r s r s 2
y
vm
m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
i ( xi , yi )
ui
j(x j , y j )
O
x
三角形单元
将位移试函数代入上式，并求偏导数， 将位移试函数代入上式，并求偏导数，得
1 (bi u i + b j u j + bm u m ) ε x 2∆ 1 ε y = (c i v i + c j v j + c m v m ) 2∆ γ xy 1 (c u + c u + c u ) + (b v + b v + b v ) j j m m i i j j m m 2∆ i i
记
[ K ]e = h ∫∫ [ B]T [ D][ B]dxdy = h∆[ B]T [ D][ B]
T 1 V e = {δ }e [ K ]e {δ }e 2 e e BiT K ii K ij = h∆ BT [ D] Bi B j Bm = K e K e j ji jj T e e Bm K mi K mj