分段函数可导性的一种简便判别法

x = 1 处不可导 。
1
x
注意 :定理 2 的逆命题不成立 。 即如果分段函数 f ( x) 在分段点 x 0 处连续 , 且在 x 0 的空 ( x ) 与 lim f ′ ( x ) 至少有一个不存在 心邻域内可导 , lim f ′
x →x -
= lim
x→ 0
x
= limsin
x→ 0
1
x
x→ 0 x→ 0 -
(ξ ) = lim f ′ (ξ ) = lim f ′
+ Δx → 0
ξ→x +
0
= A = f′ + ( x0)
当 Δx < 0 时 , 在开区间 ( x 0 + Δx , x 0 ) 至少存在一点 ξ, 使
f ( x 0 ) - f ( x 0 + Δx ) f ( x 0 + Δx ) - f ( x 0 ) (ξ ) = = f′ Δx - Δx
x→ 1 x→ 1 -
( x ) = lim ( 6 x ) = 6 lim f ′
x→ 1 + x→ 1 +
2
义判断如下 :
( x) = lim f′
x→ 0
( x) 与 lim f ′ ( x) 存在但不相等 。 显然 lim f ′ 故 f ( x) 在
x→ 1 x→ 1 +
f ( x ) - f ( 0) x - 0 x sin
x→ 0 x→ 0 +
极限limsin
x→ 0
1
x
不存在 , 故 f ( x ) 在 x = 0 处不可导 。
本文重点阐述了如何利用分段函数在分段点两侧邻域 内的导函数 , 判断分段函数在分段点处的可导性 。 大家在实 际应用过程中 , 不要死搬硬套 , 注意灵活运用 。 参 考 文 献
[1 ] 同济大学数学教研室编 1 高等数学 ( 第四版 , 上册 ) [ M ] 1 北京∶ 高等教育出版社 ,19971 [2] 华东师范大学数学系编 1 数学分析 [ M ] 1 北京∶ 高等教
证明 ( 1) 因为分段函数 f ( x) 在分段点处连续 , 且在 x 0 的空心领域内可导 , 所以由拉格朗日中值定理知 : 当 Δx > 0 , 在开区间 ( x 0 , x 0 + Δx ) 内至少有一点 ξ, 使 f ( x 0 + Δx) - f ( x 0 ) (ξ ) = f′ Δx f ( x 0 + Δx ) - f ( x 0 ) 则 lim Δx + Δx → 0
1
x x
- 0
= lim
x→ 0
Identif ication Approach on Derivable Segmentalized Function
Z HA O Fang2li ng
( Dept of Basic courses ,Xi’ an Aerotechnical college ,Xi’ an 710077 ,China)
0
x →x
+
0
( x 0 ) 可能存在 , 也可能不存在 , 此时应用导数的定义判 时 , f′ 断。 1 2 x ≠0 x sin x 例 4 讨论函数 f ( x ) = 在 x = 0 x = 0 0 处是否可导 。 解 显然 f ( x) 在 x = 0 处连续 , 又知当 x ≠0 时 1 1 ( x ) = 2 x sin f′ - cos
x →x
0
x →x
+
0
但不相等时 , f ( x ) 在 x 0 处的左右导数存在 , 也不相等 , 故
f ( x ) 在 x 0 处不可导 。
0
例 2 求函数 f ( x ) =
sin x
xe
x
x ≤0 x > 0
的导数 。
( x0) = A ; 导 ,且 f′ ( 2) 当 lim f ′ ( x) 与 lim f ′ ( x) 都 存 在 但 不 相 等 时 ,
第 Ξ 2 1 卷第 3 期 2003年9月
西安航空技术高等专科学校学报
Journal of Xi’ an Aerotechnical College
Vol 1 2 1 No 1 3 Sep . 2 0 0 2
分段函数可导性的一种简便判别法
赵芳玲
( 西安航专 基础部 ,西安 710077)
摘 要 : 分段函数的可导性问题是高等数学理论中的一个重点和难点 ,学生在平时的学习中不易掌握 ,本文介 绍一种简单判别分段函数在分段点处的可导性的方法 。 关键词 : 分段函数 ; 连续性 ; 导函数 ; 可导性 中图分类号 :O17411 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 9233 ( 2003) 03 - 0056 - 02 在多年高等数学的教学工作中 ,我发现学生在处理分段 函数在分段点处的导数问题时 ,困难比较多 。他们碰到此类 问题时要么根本无从下手 ,要么就生搬硬套地按定义求分段 点处的导数 。这种做法虽然可行 ,但对帮助学生掌握分段函 数在分段点处的可导性说服力不强 , 而且对于有些分段函 数 ,此种方法还显得有些繁 。本文阐述如何利用分段函数在 分段点处两侧邻域内的导函数简单判断分段函数在分段点 处的可导性 。 定理 1 如果分段函数在分段点处不连续 , 则该函数在 此分段点处不可导 。 sin2 x x < 0 x 例 1 讨论函数 f ( x ) = 在 x ≥0 3 x 2 - ex + 1 x = 0 处的可导性 。 sin2 x 解 :因为 lim f ( x) = lim = 2 , lim f ( x) = lim
Ξ 收稿日期 :2003 - 02 - 25
( x ) = lim ( e + xex ) = 1 lim f ′
x→ 0 + x→ 0 +
x
( 0) = 1 . 故 f′
cos x
( x) = 即 f ′
1
x < 0 x = 0 x x x > 0 e + xe
赵芳玲 : 分段函数可导性的一种简便判别法
x →x -
x
x→ 0
+
x→ 0
+
( 3 x 2 - ex + 1 ) = 0 ,
所以函数 f ( x ) 在 x = 0 处不连续 , 故亦不可导 。 定理 2 如果分段函数 f ( x ) 在分段点 x 0 处连续 , 且在 x 0 的空心领域内可导 , 则
( 1) 当 lim f ′ ( x) = A ( A 为常数 ) 时 , f ( x) 在 x 0 处可
x→ 0 x→ 0 +
lim f ( x) = lim ( 2 x 3 ) = 2 = f ( 1)
x→ 1 x→ 1
所以 f ( x ) 在 x = 1 处连续 。 又知 ( x) = 2 x + 1 当 x < 1 时 f ′ ( x) = 6 x 2 当 x > 1 时 f ′ 从而 ( x ) = lim ( 2 x + 1) = 3 lim f ′
则 lim
Δx → 0
-
f ( x 0 + Δx ) - f ( x 0 ) Δx
ξ→x 0
(ξ ) = lim f ′ (ξ ) = lim f ′
Δx → 0
= A = f′ - ( x0)
即 f ( x ) 在 x 0 处的左右导数存在且相等 , 故 f ( x ) 在 x 0
( x0) = A . 处可导 , 且 f ′ ( 2) 由 ( 1) 的证明知 , 若 lim f ′ ( x ) 与 lim f ′ ( x ) 都存在
x →x -
解 :显然 f ( x) 在 x = 0 处连续 , 且
( x ) = cos x 当 x < 0 时 , f′ ( x) = e2 + xex 当 x > 0 时 , f′ ( x) = lim ( cos x) = 1 从而 lim f ′
x→ 0 x→ 0 -
0
x →x
+
0
来自百度文库( x 0 ) 不存在 。 f′
Abstract : The derivation of Segmentalized f unction is t he important and difficult point in advanced mat hematics. which leads st udent s hesitating in providing solutions. This paper attempt s to int roduce an easy met hod to t he i2 dentification of t he derivability of Segmentalized Function Key words : Segmentalized Function ;Continuum Derivable Function ; Derivability
x x ( x ) 与 lim f ′ ( x ) 均不存在 , 用导数的 此时极限 lim f ′
定义判断如下 :
( x) = lim f′
x→ 0
f ( x ) - f ( 0) x - 0 x sin
2
育出版社 ,19811 [3 ] 同济大学 、 西北工业大学等院校合编 1 高等数学 ( 上 册) [ M ] 1 北京∶ 高等教育出版社 ,19981
x2 + x x ≤1 x > 1 = lim x sin
x→ 0
57
1
x
例 3 讨论函数 f ( x) =
2x
3
在 x = 1 处的可导性 。 解 因为 lim f ( x) = lim ( x 2 + x) = 2 = f ( 1)
x→ 1 + x→ 1 + -
= 0 ( x) = 0. 故 f ( x ) 在 x = 0 处可导 , 且 f ′ 1 x ≠0 x sin x 例 5 讨论函数 f ( x) = 在 x = 0 x = 0 0 处是否可导 。 解 显然 f ( x) 在 x = 0 处连续 , 又知当 x ≠0 时 1 1 1 ( x ) = sin f′ cos x x x ( x ) 与 lim f ′ ( x ) 不存在 , 用导数的定 此时极限 lim f ′