分段函数可导性的一种简便判别法

分段函数分段点处可导性的讨论

函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问
题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。
正解：
：
一
三
’ ．
的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数
在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。分
・．
．１ｉ厂（ｘ）＝ｘ＝ｌ，ｌｉ
ｘ－－＊ｌ
一
一
－＋ｒ
．
所以函数ｆ（ｘ）在Ｘ＝１处不连续，因此函数ｆ（ｘ）在Ｘ：１处不
是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。由于左、右导数可导，即厂（１）不存在。（２）当分段点左右两侧的表达式相同时可不分左、右导数来存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数求，只需判别导数的定义式的下面我们结合一些例子来讨论分段函数分段点
ｒ
．
’
处的导数的计算方法。
例２设厂（）：
．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｉｅｃｅｗｉｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｍｏｓｔｉｍｐｏｒｔａｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｅｏｆｐｉｅｃｅｗｉｓｅ

分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨

‘
．．
【考文献】参
［］同济大学应用数学系．等数学（册）Ｍ］北１高上［．
京：等教育出版社，０６高２０．
（０）＝（厂．０）＝１．函数
‘
．．
分析
错解产生的根本原因是对导函数的定义理解不
［］赵邦杰，瑞海．分段函数在分段点的极限、２郭对连续、导性的研究［］西南民族大学学报（自然科学版）可Ｊ．，
２０（９４：００３２）４２—４５０．
透彻，函数左、导数同函数左、极限混为一谈．实将右右事
判定函数在分段点导数是否存在的方法，得出一般性并
结论．
二、果函数在给定点连续。０该点处的可导性需要如贝在进一步讨论
＞。’
【键词】段函数；续；导关分连可
函数的可导性与连续性之间的关系，高等数学中必是须掌握的知识点，入理解二者之间的关系，学习高等数深对
定义，点的左、极限存在又相等，极限等于函数在该该右且
点的函数值（（）：（）＝（）；数ｆ）点＝０ｆ０一，０，０）函（在处可导，求函数在点＝０处的左、导数存在且相等要右

分段函数分段点可导性的一个定理及应用_姜海勤

分段函数分段点可导性的一个定理及应用姜海勤,曹瑞成(扬州职业大学,江苏扬州 225009)摘要:给出分段函数分段点导数存在的一个充要条件:函数在该点连续,导函数在该点左、右极限存在且相等。

并由此得到在分段点导数不存在的一个充分条件以及三种特例分段函数分段点导数存在的充分条件。

举例说明该定理的应用,并指出利用该定理求分段函数分段点导数时的几点注意:函数在该点连续是可导的必要条件,导函数在该点左、右极限存在且相等是充分条件。

关键词:分段函数;可导性;单侧极限中图分类号:O 174文献标识码:A文章编号:1008-3693(2008)02-0042-03A Theore m ofDerivable P iece w ise Functi onSeparation and Its ApplicationJI A NG H a i qin ,CAO Ru i cheng(Y angzhou Po l y technic Co llege ,Y angzhou 225009,Ch i na)Abst ract :In th i s artic le ,a suffic ient and necessary cond ition underw hich the derivative o f piece w ise functionseparati o n ex ists is g i v en:the functi o n at this po i n t is conti n uous ,and the derivative ex ists at the l e ft and righ t li m its and is equa.l As a resu l,t a sufficient condition of non-ex istence o f p i e ce w ise po i n t and the one of ex istence of piece w ise deri v ati v e of three spec ial cases piece w ise function are obtai n ed here .And the app li c ation of this theore m is ill u strated through exa m p les .M eanw hile ,its 'po inted out that attention shou l d be paid to the solution to the separati o n derivative o f piece w ise f u nction w ith this theore m.K ey w ords :piece w ise f u ncti o n;derivability ;unilatera l li m its分段函数在经济、管理及电子技术[1]等方面有较大的应用。

分段函数在分段点可导性的判别法

ｒ１＋ ‘ ＜１ ≥１
例２设，（）＝｛Ｉ
时出错，尤其是在分段函数在分界点处不可导，但在分界点
处左导数、右导数存在性的讨论问题中更容易出错．通过多年的教学，总结以下的简单判别法，这种方法可以简化计算过程，学生比较容易接受．
＊鞯穗
解题技巧与方法
蒜前茹每乎薅赫卿卿睁
。
● 。＿－Ｉ ≥
豢
分艨苏恭分艨萎导幞判ｌ别浚
◎ 汪爱红（甘肃民族师范学院数学系，甘肃合作７４７０００）
ｂ．１ｉｍｈ（） ≠ ｌｉｍｇ（），则，（）在。不可导（２）当ｌｉａｒｈ（），ｌｉｍｇ（）中至少有一个不存在，用导数定义来判断．
二、应用举例
别函数在分界点处的连续性，否则容易出错．
【参考文献】
（１）赵华文．可导性判定的新定理．济源职业技术学院
学，２０１４，１３（３）．
设厂（）：，则，（）在点：１
ｒ１＋ ‘ ＜１ ≥１
、
判别方法
１．若，（）在。不连续，则ｆ（）在 ‰ 不可导．（连续是
例３设，（）＝｛１
解显然函数
３ｘ一１
，求厂（１）．

探究分段函数的导数

ｒ．一ｌ‘
ｒ＋一ｌ一
可导
在ｘ＝１处
由于ｌｉｍｆｒ（ｘ）＝ｌｉｍ（４ｘ一２）＝２
ｒ＋Ｉ＋ｒ．１＋
ｌｉＩＩｌｆ，（ｘ）＝ｌｉＩＩｌ２＝２
ｒ＋Ｉ—ｒ＋Ｉ‘
ｒ一４ｘ＋２
故得：ｆ，（ｘ）＝｛２
ｘ（一ｌ一ｌ（ｘ≤ｌ
０４ｘ一２
ｘ）ｌ
参考文献［１］韩云瑞·微积分教程［Ｍ］．清华大学出版社［２］吉林大学数学系·数学分析（上册）［Ｍ］．人民出版社，
１４９
万方数据
探究分段函数的导数
作者：作者单位：刊名：
英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
汪维红安徽省邮电学校,安徽,合肥,230031
绥化师专学报 JOURNAL OF SUIHUA TEACHERS COLLEGE 2004，24(2) 1次
参考文献(3条) 1.韩云瑞微积分教程 2.吉林大学数学系数学分析(上) 1978 3.华罗庚高等数学引论(第一卷,第二分册) 1979
分段函数的一般形式是区间Ｉ被分成若干个子区间Ｉ。，
（１）△ｘ＜０且△ｒ叼即△】—吣。
１２。……ｌＮ，在每个子区间上函数有不同的表达式。
（２）△ｘ＞０且△】广叼即△）ｆ＿叼＋
注：（１）分段函数虽然在不同的子区间上用不同的表达
并由此得到左、右导数的概念和重要结论
式，但不论分几段只代表一个函数。
重要结论：ｙ＝ｆ（ｘ）在】【ｏ处可导的充分必要条件是ｆ＋（殛）
可导的关系。
拓例Ｉ：Ｉ．求赍下下列万函ＩＩ数溻狮“ｆｘｒ）Ｔ＝、一｛一ｌ＋ＶｖＪ矗忑
＾≠‘ｕ的的ｆ，一ｒ（ｎｏ、）及砝
……ｗＨ……＿，，一…Ｈ－…～…一四、导函数的右极限不存在。则函数的右导数一定不存在

分段函数分段点可导性的判定

分段函数分段点可导性的判定1.若f(x)在x0不连续，则f(x)在x0不可导.(连续是可导的必要条件)但在这种情况下经常会讨论f-(x0 )，f'+(x0)的存在性，常常出现下面的情况:若f(x)在x0不连续，且f(x)=h(x)x<x0g(x)x>x0，则(1)当f(x0-0)=f(x0)，且limxxx-0h(x)存在，则f'-(x0)存在，f'+(x0)不存在:(2)当f(x0+0)=f(x0)，且limxx0+q(x)存在，则f'+(x0)存在，f'(x0)不存在(3)当f(x)在既非左连续又非右连续，则f'+(x0)与f'(x0)都不存在.2.若f(x)在x0连续，且f(x)=h(x)x<x0g(x)x>x0，(1)当limxx-0h(x)，limxx0+g(x)都存在，a.limxxx-0h(x)=limxx0+q(x)，则f(x)在x0可导，且f'(x)=limxxx-0h (x).b.limxxx-0h(x)≠limxx0+g(x)，则f(x)在x0不可导(2)当limxxx-0h(x)，limxx0+g(x)中至少有一个不存在，用导数定义来判断.步骤：第一步：在要判断可导性的点的左右两端分别计算x趋向于这个点时函数的极限值，判定两个极限值是否存在且相等，若两个极限值不相等、其中有一个不存在或两个都不存在，则函数在该点处不连续，也就一定不可导；若两个极限值存在且相等，就进行下一步。

第二步：用导数的定义式，分别计算x从左和从右两个方向趋向于该点的极限值，若两个极限值都存在且相等，则判断为函数在该点处可导，且导数就等于该极限值；若两个极限值不相等、两个极限值中有一个不存在或两个极限值均不存在，则函数在该点处不可导。

对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。

它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

分段函数连续性及可导笥的判定方法

分段函数连续性及可导笥的判定方法首先，我们来介绍分段函数的连续性的判定方法。

对于一个分段函数，要判断其是否连续，需要检查它在每个分段上的连续性。

具体方法如下：1.检查每个分段函数的定义域是否有间断点。

如果定义域中存在间断点，那么在该点处就无法进行连续性的判定。

2.检查每个分段函数的定义域上是否有左极限和右极限，并且它们是否等于分段函数在该点的函数值。

如果等于，说明分段函数在该点连续。

3.如果分段函数在每个分段上都满足以上两个条件，那么该分段函数就是连续的。

下面我们来介绍分段函数的可导性的判定方法。

要判断一个分段函数是否可导，需要满足以下条件：1.分段函数的每个分段都需要是可导的。

这意味着在每个分段上，分段函数的导数都存在。

2.分段函数的每个分段上的导数需要连续。

也就是说，在每个分段的内部，函数的导数存在且连续。

如果一个分段函数满足以上两个条件，那么它就是可导的。

注意，一个函数在一些点可导，意味着在该点的左极限和右极限都存在，且相等。

因此，一个分段函数在一些点可导，也需要满足这个条件。

在判定分段函数可导性时，我们还可以使用以下方法：1.如果分段函数在一些点处定义域的两边的导数不相等，或者其中一个导数不存在，那么该点不可导。

2.如果分段函数在一些点的左极限和右极限的导数不相等，或者其中一个极限的导数不存在，那么该点不可导。

总结起来，判断分段函数的连续性和可导性时，都需要分别对每个分段进行判定，然后再考察各个分段之间的连接处。

除了上述的方法，还有一些常见的特殊类型的分段函数的连续性和可导性判定方法，如绝对值函数、符号函数、阶梯函数等。

这些特殊函数的判定方法可以根据其定义和性质进行判定。

综上所述，分段函数的连续性和可导性的判定方法需要分别对每个分段进行判断，并且考虑各个分段之间的连接处。

不同类型的分段函数可能需要采用不同的方法进行判定。

通过掌握这些方法，我们能够更好地理解和应用分段函数的连续性和可导性的概念。

分段函数分段点处可导性的讨论

分段函数分段点处可导性的讨论作者：时文俊来源：《科技创新导报》2013年第15期摘要：分段函数是高等数学中一种重要的函数，该文讨论了分段函数分段点处的可导性，并给出了求分段函数分段点处导数的几种方法。

关键词：分段函数分段点可导中图分类号：O172. 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（C）-0168-02函数是高等数学的研究对象，分段函数也不例外。

分段函数一般而言不是初等函数，但在教学过程中经常涉及到。

而导数是研究函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。

1 分段函数分段点处的可导性根据函数在一点处的导数的定义——函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。

分段函数是在自变量的不同取值范围内函数的表达式不同，因此在分段函数分段点的两侧函数表达式不同，这时要考虑分段点处的导数是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。

由于左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数在分段点处不可导。

下面我们结合一些例子来讨论分段函数分段点处的导数的计算方法。

2 分段函数分段点处的导数计算2.1 用定义求分段函数分段点处的导数例1[1]设函数，求错解1：当时，，故错解2：当时，，故分析：出现上述两种错解的原因是学生没有理解导数概念的本质含义。

导数是运动的、变化的、相互联系的量，不是孤立的，不只与一点处的函数值有关，因此解法一错。

函数在一点处的导数，反映了函数相对于自变量的变化率，这个变化率是由函数与自变量的依赖关系（对应法则）决定的。

对于初等函数，这种依赖关系是一个数学式子给出的，所以求导数可按照初等函数的求导公式和求导法则来求，而分段函数的分段点处附近表示函数与自变量依赖关系得数学式子不是一个，不能应用导数公式、法则来求分段点处的导数，应考虑该点左右两侧的情况，因此要用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分段点处的导数是否存在。

浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性

浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性摘要：本文运用实例探究了数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性，从而丰富了数学分析中有关分段函数分界点的连续性与可导性的内容.关键字：分段函数;分界点;连续性;可导性1引言1.1本文背景由于分段函数的特殊性,它的研究不仅牵扯的知识面广、方法多变, 且综合性强，利用以前学过的函数的连续性和可导性的知识来进一步探讨分段函数分界点的连续性和可导性,相关内容参见文献[1-9].1.2本文主要内容及意义本文从7个方面探讨了分段函数分界点的连续性和可导性.2分段函数分界点的连续性问题2.1用函数连续性定义判别分段函数分界点的连续性定义1[1]设函数在某有定义，若，则称函数在点处连续.文献[1]给出函数在点处连续的三个条件：a. 函数在点处要有定义；b．极限存在；c. .例1讨论函数在处的连续性.分析此分段函数在分段点左右两边的函数表达式相同，因此其在左右两边的极限相等，所以其在的极限一定存在，然后再根据文献[1]给出的三个条件判断其的连续性.解 (1)函数的定义域为，故函数在有定义;(2) ;(3)，即 .因此在处同时满足定义中的三条，所以在处连续.2.2用函数单侧连续性判别分段函数分界点的连续性定义2[1]设函数在某内有定义，若，称函数点处左连续.定义3[1]设函数在某内有定义，若，称函数在点处右连续.定理1[1]在点处的连续的充要条件是在点处既要左连续又要右连续.即例 2 设函数试分别讨论在点与处的连续性.分析此分段函数在分界点和左右两边的函数表达式都不同，因此不能用定义1去求,此题可以用定理1求，只有证明分段函数分界点的左右连续且相等就可以证明此分段函数在分界点连续.解在处：由已知当时，为初等函数.又为函数定义区间上的点,则 .所以在处为左连续又因为，所以在处也右连续.由于在处既左连续又有连续，故在处连续.在处：同理可知，在处，为初等函数，又为函数定义区间上的点，且 .所以左连续,因，所以在处不右连续,由于在左连续但不右连续，故在不连续.3分段函数分界点的可导性问题3.1用导数定义判别分段函数分界点的可导性定义4[1]设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处可导，记作 .例3 设函数判断在的可导性.分析分界点两侧的函数表达式相同，因此用可导的定义去求.解在处连续，在处可导.3.2用函数单侧可导性判别分段函数分界点的可导性定义5[1]设函数在点的右邻域上有定义，若右极限存在，则称函数在处右可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定义6[1]设函数在点的左邻域上有定义，若左极限存在，则称函数在处左可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定理2[1]若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是与都存在，且 .例4 设函数求在处的可导性.分析此分段函数在分界点左右两侧的函数表达式不同，因此不能用导数的定义求，只能用左右导数相等的性质求.解，，即，在点处连续.，，，在点处可导例5 设函数 ,判别在与处的可导性分析函数看似不是分段函数，但去掉绝对值后函数其实是一个分段函数，要求分段函数在分界点的可导性首先要求其在分界点是否连续，若不连续则必不可导，若连续，再按可导的定义求导、判断.此分段函数在分段点的两侧的函数表达式不同，所以要用定义分别求出分段点的左右导数，再判断.解即,即左连续也右连续，在处连续，同理可证在处连续，根据可导的定义求得，，，在处可导同理可得，，在处不可导注这说明若分段函数在其分界点连续，并不一定在分界点可导.但如果分段函数在分段点可导则必连续.即连续是可导的必要条件，而非充要条件.3.3用可导与连续的关系判断分段函数分界点的可导性例6 设函数判断在处的可导性.分析分段函数分界点连续是可导的必要条件，要证明可导则首先要证明其在分界点上连续.解，因为在处不连续，所以一定不可导.但有些学生可能会犯这样的错当时，从而在处可导，且分析上述解法错在事先没有判断在的连续性.定理2 [5]若函数在点的某邻域有定义，且都存在，则在处一定连续.例7 设分段函数判断在处的可导性.分析要判断分段函数分界点的可导性，首先要判断其在分界点的连续性，因为此函数在分界点两侧的函数表达式不同，所以再用单侧可导性来判别函数的可导性.解在上连续，，在处不可导.注在定理中，仅要求左、右导数存在，并不要求一定相等，如例7中在分界点的左右导数存在，即使，也可以证明其连续.3.4用分段函数分界点的可导性确定待定参数例8 设函数若要为可导函数，应如何选择，？分析若在定义域为可导函数，说明在每点都可导，即在处也可导，由可导性与连续性关系得在处也连续，则可由在可导，且连续两个条件求出 , .解若为可导函数，则在定义域内处处可导，即其在处也可导，由可导与连续的关系，知在连续.则有故有即，又在可导，则因此当 , 时，存在，从而为可导函数.注上例很好的运用了可导一定连续的这一性质，但是其实只要左右导数都存在，就可以推出连续的性质.4小结本文主要阐述了如何判断分段函数在分界点的连续性和可导性.如可以用函数连续性的定义和函数单侧连续性来判别其分段函数的连续性.而要判断分段函数分界点的可导性则有多种方法，如可用函数导数定义、函数单侧可导性、函数可导与连续的关系和导数极限定理来判别分段函数分界点的可导性，并且一般用导数极限定理比用导数定义判别更加简单.参考文献[1]高尚华.数学分析上册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-91.[2]高尚华.数学分析下册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-110.[3]林远华.分段函数的连续性与可微性[J].河池师范高等专科学校学报,2000, 20(2):26-29.[4]王琦.分段函数分界点处的可导性问题[J].齐齐哈尔师范学院学报. 1996,16(4):18-20.[5]辛兴云.判断“分段点”可导性的一个简便方法[N].河北广播电视大学学报,2000,5(2):55-57.[6]胡晶.王可宪.1994.分段函数在分段点可导的一个充要条件[J].承德民族师专学报,1994,10(2):26-27.[7]李艳娟.高等代数中分段函数问题研究[J].辽宁教育学院学报,1997,14(5):59-62.[8]张红卫.浅析分段函数[J].山西广播电视大学学报,2000,1(3):60-61.[9] Patrick M.Fitzpatrick．Advanced Calculus：A course in Mathematical Analysis[M]．Beijing：China MachinePress，2003:113－140．9。

分段函数在分段点处的可导性研究

分段函数在分段点处的可导性研究分段函数是指定义域内分段不同的函数表达式的函数。

在分段点处，由于不同函数表达式的定义和性质可能存在差异，因此分段函数在分段点处的可导性是一个重要的研究课题。

首先，我们介绍一下可导性的定义。

在数学中，函数在其中一点可导意味着它在该点处的导数存在。

导数可以理解为函数在该点处的局部变化率，或者是函数图像在该点处的切线斜率。

如果函数在其中一点处的导数存在，那么该函数在该点处是可导的；反之，如果函数在其中一点处的导数不存在，那么该函数在该点处是不可导的。

接下来，我们研究分段函数在分段点处的可导性。

为了简化讨论，我们假设分段函数是一元函数，定义域是实数集。

对于分段函数f(x)，假设其定义域中存在一个分段点a。

一种可能的情况是，分段函数f(x)在点a的左右两侧都存在导数。

这种情况下，我们需要关注点a处的左导数和右导数。

左导数指的是当自变量趋向于分段点a时，函数的局部变化率的极限值；右导数则是指当自变量从a的右侧趋向于a时，函数的局部变化率的极限值。

如果左导数和右导数都存在，并且相等，那么分段函数在点a处是可导的。

然而，当左导数和右导数不相等时，分段函数在点a处是不可导的。

这是因为左导数和右导数分别对应了函数在a的左侧和右侧的局部变化率，如果两者不相等，则表示函数在点a处的左侧和右侧的变化趋势不一致，没有一个确定的切线可以用来描述该函数在点a处的局部性质。

在这种情况下，分段函数在点a处是不可导的。

除了上述情况，还存在一些特殊的分段函数。

例如，在分段点a处，如果左导数和右导数都存在，但是它们的值不同，那么分段函数在点a处是间断可导的。

间断可导的意思是存在左右导数，但是该点处没有一个确切的切线，因为左导数和右导数的差异导致函数图像在该点处出现了间断。

另一个特殊情况是，分段函数在分段点a处的左导数或右导数不存在，但是函数在点a处的局部切线斜率存在。

这种情况下，我们称分段函数在点a处是唯一可导的。

分段函数分界点处的可导性同题

分段函数分界点处的可导性同题分段函数是指在一定的实数区间内，用多个函数来表示的函数，其中每一段函数的定义域不超出其区间的边界，若分界点处的可导性为常数，则称其为常数连续函数，这种连续函数便可以用一次函数表示。

分段函数分界点处的可导性是数学中一个重要的概念，它表明某一函数是否可以在分界点处进行求导。

如果分界点处的函数可以求导，那么这个函数就称为可导函数；反之，如果不可以求导，则该函数称为不可导函数。

分段函数分界点处的可导性能够提示分段函数是否可以连续，也就是说，如果分界点处具有可导性，那么分段函数就可以成为一个连续函数。

因此，分段函数分界点处的可导性极为重要，是用以判断函数连续性的关键。

分段函数分界点处的可导性受到许多条件的影响，其中包括分界点处每段函数的可导性，分界点处函数的左右极限，以及分界点之间的连续性等等。

首先，若要求分段函数分界点处的可导性，那么必须首先考虑分界点处每段函数的可导性。

如果每段函数的可导性都满足要求，则可以认定分界点处的可导性为常数。

其次，分段函数分界点处的可导性也受分界点处函数的左右极限的影响。

如果分界点处函数的左右极限相同，则认为分界点处的可导性也为常数。

此外，分段函数分界点之间的连续性也是影响其可导性的一个重要因素。

如果分界点之间存在连续性，则可以认定分段函数分界点处的可导性为常数。

因此，分段函数分界点处的可导性是一个比较复杂的概念，受到许多因素的影响，而这也极大地影响了对函数的分析和研究。

最后，为了确定某个分段函数分界点处的可导性，可以采用微分法，即求解各段函数的可导性，以及分界点处函数的左右极限，以及分界点之间的连续性，从而确定函数的可导性。

有了以上探究的结果，就可以结合现有的理论，判断某分段函数分界点处的可导性，从而决定函数的连续性。

综上所述，分段函数分界点处的可导性是数学中一个重要的概念，它能够提示分段函数的连续性，而其判断又受到多种因素的影响，是比较复杂的概念。

分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定

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这也就说明了讨论分段函数在连续的分界点是否可导 1 可以采取下述方法 / 具体步骤为 = 说明 ! 在% $ ’ $ ’ & 的邻域内连续 H % 除去分界点后分段求导 $ ’ I
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分段函数在分段点的求导

分段函数在分段点的求导陈佩树【摘要】分段函数的可导性问题是高等数学中的一个重点和难点.本文研究分段函数在分段点的可导性、导数的求法,并给出相应的例子.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2011(013)003【总页数】4页(P124-127)【关键词】分段函数;导数;连续【作者】陈佩树【作者单位】巢湖学院,安徽巢湖238000【正文语种】中文【中图分类】O172.1分段函数是一类常见的函数，虽然有的分段函数在每一段上的表达式都不复杂，但是分段函数在分段点的极限是否存在、是否连续以及是否可导等问题都比一般初等函数复杂的多,常常让初学者感到一片茫然，搞不清其中的关系.由于分段函数在分段点的左右极限之间关系复杂，在分段点可能连续也可能不连续，有可能可导也有可能不可导，下面从三个定理出发，对分段函数在分段点的可导进行研究并给出相应的例子.定理 1[1] 若 f（x）在 x0处可导，则 f（x）在 x0处连续.反之，若 f（x）在 x0处不连续，则 f（x）在 x0处不可导.但即使f（x）在x0处连续，在处也未必可导.（1）满足什么条件时，f（x）在 x=0 连续；（2）满足什么条件时，f（x）在 x=0 可导；（3）满足什么条件时，f′（x）在 x=0 连续.解：（1）由连续的定义，如果 f（x）在 x=0 连续，则必然有也即要求由于所以只需，也即m≥1 时，f（x）在 x=0 连续.（2）由导数定义，知f′（0）=所以只需也即m≥2 时，f（x）在 x=0 可导，且有f′（0）=0.要使f′（x）在 x=0 连续，则有由（2）知当m≥2 时，f（x）在 x=0可导，且有f′（0）=0，也即则进一步还需要综上所述，即要求m≥3 时，f′（x）在 x=0 连续.注：从上面例可以看出，当m≥1时，f（x）在x=0连续，但当m≥1时，f（x）在x=0未必可导，只有当m≥2时，f（x）在x=0才可导.即说明了f（x）在x=0处连续并不能确保f（x）在x=0处可导，另一方面也验证了f（x）在x=0处可导，则f（x）在x=0处一定连续.极限、连续、导数的概念是关系到学生能否学好微积分的极其重要、最基本的概念.例 2 设分段函数解：当x≠0 时，f′（x）=3x2，由于则有函数 f（x）在 x=0 处左右极限不相等，显然有f（x）在x=0处不连续.从而f（x）在x=0处不可导.综上所述，当x≠0时，f′（x）=3x2，且 f（x）在 x=0 处不可导.注：如果直接地认为就出错了.在求函数在分段点的导数时,要判断函数在分段点处是否连续，甚至还需要判断在分段点的左右导数是否存在，以及是否存在且相等等若干问题，这将在下面的定理中进行讨论.定理 2[1] 存在当且仅当 f-′（x0），f+′（x0）存在，且有 f-′（x0）=f+′（x0）=f′（x0）注：定理2说明了若分段函数在分段点的左右导数虽然存在但不相等或至少有某一侧导数不存在，那么分段函数在这一分断点的导数就不存在.注：此题是首先判断函数在分段点连续，再通过求分段点两侧导数的极限存在且相等，进一步地有此函数在分段点两侧的导数存在且相等.故有函数在此分段点可导，且求出其导数.但是，分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.从而求得不存在.进一步误认为f′（0）不存在就出错了.分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.这时，只能利用导数的定义来判断.例 5 设函数解：由题目易得进一步考察f（x）在x=2点的导数：所以 f-′（2）≠ f+′（2），即 f（x）在 x=2 处不可导.综上所述，即有，且 f（x）在 x=2 处不可导.注：虽然f（x）在x=2处连续，但是f（x）在x=2处不可导.如果直接地对例5中函数f（x）中的分段函数进行求导，得到进而想当然地认为f′（2）=2，那就出错了.只有当f+′（2）=f-′（2）=2 的情况下，才有f′（2）=2.而实际上 f-′（2）=2；f+′（2）=4.利用左右导数来确定分段函数在分段点处的导数是行之有效的方法，在实际解题中必须小心谨慎.定理3 设分段函数满足（1）f（x）在x=x0处连续；（2）g（x）在（x0-δ，x0）内可导（其中存在，则 f-′（x0）存在且有证明：∀x∈（x0-δ，x0），由于f（x）在x=x0处连续，g（x）在（x0-δ，x0）内可导.所以 g（x）在[x，x0]上连续且在（x，x0）内可导.由微分中值定理知∃ξ∈（x，x0），使得由于当时，必有即 f-′（x0）存在且有同理有：设分段函数满足（1）f（x）在 x=x0处连续；（2）h（x）在（x0，x0+δ）内可导（其中存在，则f+′（x0）存在且有f+′（x0）=limh′（x）.通过该定理我们可以直接求解一些分段函数在分段点的的导数问题.（1）如果分段函数在分段点单侧连续，且在这一侧的导函数的极限存在，则可以直接利用该定理.比如例 2中的分段函数在分段点x=0左连续，且所以有 f-′（0）存在且有但是在分段点 x=0处不右连续，因此f+′（0）只能用定义去求解了.（2）如果分段函数在分段点连续，且在两侧导数的极限均存在，那么左、右导数都可用该定理的求得.比如例 5 中的函数在分段点x=2处连续，且（3）如果函数在分段点的两侧由同一表达式表示，且在分段点连续，如果存在，则有f′比如解：因为所以f（x）在分段点 x=1 处连续.当x≠1 时，f′（x）=【相关文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].高等教育出版社.2003.[2]吉米多维奇,费定晖,周学圣.数学分析习题集题解(2)[M].济南：山东科学技术出版社,1999：58.[3]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2002：78-82.[4]袁文俊,邓小成.极限的求导剥离法则[J].广州大学学报：自然科学版,2006，(3).[5]程黄金,陈伟.分段函数求导问题的多种解法[J].中国科技信息,2006，(16).[6]王大荣,艾素梅.分段函数在分段点处的求导方法刍议[J].沧州师范专科学校校报,2005,21(3).[7]刘其林,唐亮.一种分段函数分段点的求导方法及注意的问题[J].株洲师范高等专科学校学报,2007,(4).。

求分段函数在分段点处导数的方法探析

土壤的污染明显大于对东南侧土壤土壤的污染为减少重金属对土壤的污染要对生活垃圾渗滤液做到有效控制首先对垃圾进行按类收集分装以及处理其次进行雨污分流减少垃圾渗滤液的排放量最后采取综合治理措施将垃圾渗滤液进行循环和处理参考文献韩鸿飞桑桂林城市垃圾排放场污染状况及管理对策研究环境保护科学国家环保局水和废水监测分析方法北京中国环境科学出版社中国环境监测总站土壤元素的近代分析方法北京中国环境科学出版社张勇大龙辽宁省部分县土壤及玉米中重金属污染状况评价辽宁农业职业技术学院学报诅鹤责任编辑杜莲英于海上接页工一在一占内可导厂在内可导厂所以厂故厂厂通过上面举例可以看出求分段函数在分段点处导数除了用定义外还可以用导函数的极限以及左右导数来求因此正确分析题目条件结合本文所给定理求分段函数在分段点处导数对帮助学生开拓思维有一定益处参考文献同济大学数学教研室高等数学第四版北京高等教育出版社龚漫奇高等数学习题课教程北京科学出版社张小柔吴传生高等数学习题课教程北京科学出版社同济大学数学教研室高等数学习题精编上海同济大学出版社徐继东用导数极限法求分段点的导数益阳师专学报塔怀锁分的一种简便判别法西安航空技术高等专科学校学报责任编辑任冬
分段函数在分段点处的导数求解是高等数学中的一个重要且复杂的问题。通常，我们使用导数的定义来求解这类问题。即在分段点处，如果函数连续且左右导数存在且相等，则该点可导。然而，这种方法在某些情况下可能显得繁琐。因此，本文介绍了三个定理，用于简化在特定条件下的分段函数求导过程。这些定理提供了一种新的视角和方法，使得在满足一定条件时，我们可以更直接地求解分段函数在分段点处的导数，而无需完全依赖于导数的定义。这不仅提高了求解效率，也深化了我们对分段函数和导数概念的理解。总的来说，本文为分段函数在分段点处的导数求解提供了一种新的思路和方法，具有重要的理论和实践意义。

分段函数在分段点处求导法

分段函数在分段点处求导法
刘冠军
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】1990(000)0Z1
【摘要】对分段函数在分段点处的导数的求法有两种不同意见,一种意见是必须用导数定义求,否则即使答案对也不能认为是正确的;另一种意见认为在一定条件下可以不用导数
【总页数】2页(P121-122)
【作者】刘冠军
【作者单位】山东财政学院
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一类分段函数在分段点处的可导性及连续性 [J], 杨子兰;杨惠娟;
2.关于求分段函数在分段点处导数的几种解法剖析 [J], 刘浩荣
3.求分段函数在分段点处导数的方法探析 [J], 韩滢
4.求分段函数在分段点处导数的一种有效方法 [J], 范晓兰
5.浅谈分段函数在分段点处导数的计算 [J], 陈文静; 谭艳祥; 彭家睿
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分段函数在分段点处可导性与连续性的判定方法

分段函数在分段点处可导性与连续性的判定方法
姚克俭
【期刊名称】《山东商业职业技术学院学报》
【年(卷),期】2015(15)4
【摘要】连续性与可导性的判定是高职学院高等数学课程非常重要的一部分内容,分段函数作为一类比较常见的函数,对学生后续专业课程及岗位实践工作都有着非常重要的作用.分段函数可导性与连续性的学习是高等数学课程教学的重点,也是难点所在.通过两种类型的分段函数的连续性与可导性的讨论方法,给出高职学院学生在这部分内容的学习中应掌握的方法,连续性与可导性的应用可以解决高职学院高等数学很多相关问题,有比较高的实用价值.
【总页数】3页(P61-63)
【作者】姚克俭
【作者单位】黑龙江建筑职业技术学院,黑龙江哈尔滨150025
【正文语种】中文
【中图分类】G718.5
【相关文献】
1.判断分段函数在分段点处可导性的简便方法 [J], 许燕;张永明
2.分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨 [J], 欧阳伟华
3.分段函数连续性及可导性的判定方法 [J], 张静平
4.一类分段函数在分段点处的可导性及连续性 [J], 杨子兰;杨惠娟;
5.一类分段函数在分段点处的可导性及连续性 [J], 杨子兰;杨惠娟
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矿产

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

矿产