材料力学弯曲应力

18
目录
ql 2 / 8 67.5kN m

x
60 103

92.55 106 Pa 92.55MPa
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120
3. 全梁最大正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
最大弯矩
z y
M max 67.5kN m
截面惯性矩
M Iz

A1
M dM y1dA bdx Iz dM bdx Iz
* z

A1
y1dA 0

A1
y1dA
* dM S FS S z dx bI z bIz
S
* z
FS
32
§5-4 弯曲切应力
3 FS 2 A
33
6-3
目录
§5-4 弯曲切应力
（二）工字形截面梁的弯曲切应力 1、腹板
E E
y

目录
8
§5-2 纯弯曲时的正应力
三、静力学条件
E
y

M EI Z
9
目录
1
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力公式
变形几何关系

y

E
物理关系
E
M EI Z 1
y

静力学关系
My IZ

为曲率半径
1

为梁弯曲变形后的曲率
10
目录
I z 5.832 105 m 4
FBY
FS 90kN

M

max
x 90kN
M max ymax IZ 67.5 103 180 10 3 2 5.832 10 5
19
目录
ql 2 / 8 67.5kN m

x

104.17 106 Pa 104.17 MPa
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m x
180 120
4. C 截面曲率半径ρ
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
z y
C 截面弯矩
M C 60kN m
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN

M

x 90kN
I Z 5.832 105 m4 1 M EI
ql 2 / 8 67.5kN m
m A
dx n m
n
F
B
分析方法（截面法）：
h b
1、沿 mm,nn 截面截开， 取微段dx。 m n
FS
L
M
FS
M+dM
(+)
FS 图
m
(-)
1
m
k l
n
n
2
(+)
M 图

m n
30
§5-4 弯曲切应力
2、沿 kl 截面截开，根据切应力的互等定理：
FN 1
1
m
k
n
l S F

分析
（1）确定危险截面 （2） max M max Wz （3）计算 M max （4）计算 Wz ，选择工 字钢型号
23
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
解：（1）计算简图 （2）绘弯矩图
（3）根据 max
M max
M max 计算 Wz
Wz

(6.7 50) 103 9.5 4 140106
第五章 弯曲应力
1
目录
回顾与比较 内力 应力
F A
T IP
M FS
目录
FAy
? ?
2
第五章
• • • • • •
弯曲内力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高梁强度的措施
1.弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
t ,max t
c,max c
16
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m x
180
例题6-1
120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
My IZ
min
M
max
My max IZ
z
C y z z dA
x
σ
IZ WZ ymax
max
y
max
M WZ WZ
11
min M
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y 2 dA
3
目录
§5-1 纯弯曲
1、纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
4
目录
§5-1 纯弯曲
2 纯弯曲时的现象
(1) 横向直线仍然保持为直线,绕 某轴转动,仍然与纵向线垂直。 (2) 纵向线弯曲成弧线并有伸缩, 只有一层纤维不发生伸缩。 中性层:纵向纤维不发生伸缩的面. 中性轴:中性层与横截面的交线.
* FS S z ( y) I z
翼缘 z
y
式中
(y)：截面上距中性轴y处的切应力
* Sz ：y处横线一侧的部分面积对中性轴的静矩
( y)
腹板
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
：y处的宽度
34
§5-4 弯曲切应力
max
FS S z ,max
I z
FS ( I z / S z ,max )
y
26
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4kN.m
4 103 52103 t ,max 7.64106 27.2 106 Pa 27.2MPa t
4 103 88103 c,max 7.64106 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
A
WZ
IZ y max
圆截面 空心圆截面 I Z 矩形截面 空心矩形截面
IZ
d 4
64
3
WZ
d 3
32
D 4
64
b0 h0 bh 3 IZ 12 12
3
32 2 bh bh WZ IZ 6 12 3 b0 h0 bh 3 WZ ( ) /( h0 / 2) 12 12 12
EI Z 200 109 5.832 10 5 C MC 60 103 194.4m
20
目录

x
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-2
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
d1 160mm d2 130mm, a 0.267m,b 0.16m, F 62.5kN, 材料的许用应力 60MPa.
28
目录
§5-4 弯曲切应力
假 设
在有切应力存在的情形下，弯曲正应 力公式依然存在

切应力方向与剪力的方向相同，并 沿截面宽度方向切应力均匀分布（对于

狭长的矩形截面适用） 在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的
切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物理
关系”。
29
§5-4 弯曲切应力
（一）矩形截面
2 FN 2

∵dx很小，在 kl 面上 可认为均布。
3、列平衡方程，由
F
x
0 ：
FN1 FS FN 2 0
即
dA (bdx )
A1 1 A2
2
dA 0
31
§5-4 弯曲切应力
而 代入得：
My1 1 , Iz
( M dM ) y1 2 Iz
分析（1）
max
M
max
ymax
Iz
M
max
（2）弯矩 M 最大的截面
（3）抗弯截面系数 Wz 最 小的截面
21
目录
ห้องสมุดไป่ตู้
max
Wz

§5-3 横力弯曲时的正应力
解： （1）计算简图 （2）绘弯矩图 （3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 B截面：
Fa 62.5 267 32 max 3 WzB d1 0.163 32 41.5 106 Pa 41.5MPa MB
25
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
52 z1 z
解：（1）求截面形心
yc 80 20 10 120 20 80 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
80 203 Iz 80 20 422 12 201203 20120 282 12 7.64106 m 4
K
FBY
FS 90kN
y 解：1. 求支反力 FAy 90kN FBy 90kN
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ

M
27
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
c,max 46.1MPa c
4kN.m
（5）C截面要不要校核？
2.5 103 88103 t ,max 7.64106 28.8 106 Pa 28.8MPa t
目录
(1 4 ) WZ
D 3
(1 4 )
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
13
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
M ( x) y IZ
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
Fa
C截面：
max
MC WzC
Fb
Fb 62.5 160 32 6 46 . 4 10 P a 46.4MPa 3 3 d 2 0.13 32
22
目录
（5）结论:满足强度条件
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-3
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 自重 F1 6.7kN,起重量 F2 50kN, 跨度 l 9.5m, 材料的许用应力 140MPa, 试选择工字钢的型号。
17
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180
120
2. C 截面最大正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
M C 60kN m
z y
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
I Z 5.832 105 m4

M

x 90kN
Cmax
M C ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
腹板上的切应力呈抛物线变化，腹板部分的切应力合力 占总剪力的95~97%。
35
§5-4 弯曲切应力
2、翼缘
( z)
翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽 度按直线规律变化，并与腹板部分 的竖向剪力形成“切应力流” 。 翼缘部分的切应力强度计算时一
( y)
般不予考虑。
腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角上 发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使这里 的切应力实际值接近以腹板切应力公式所得到的 结果。
max
M max ymax IZ
14
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力公式
My IZ
适用范围:
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲
•横截面惯性积 IYZ = 0
•弹性变形阶段
15
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
σ
σmax
M max σ Wz
a
A P (+) Pa (+) (-) -P
P
P a
B
Q 图
M 图
3 假设
平面假设:
纵向纤维间无正应力假设:
5
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力推导
一、变形几何关系
6
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
dx
7
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
dx bb bb
dx dx
二、物理关系
胡克定理
962106 m3 962cm3
（4）选择工字钢型号
3 36c工字钢 Wz 962cm
（5）讨论
q 67.6kg/m
24
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
试校核梁的强度。
例题6-4
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 t 30MPa, c 60MPa,
分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 t ,max t , c,max c

ql 2 / 8 67.5kN m

bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 105 m 4 12 12 90kN 180 60 103 ( 30) 10 3 M y 2 K C K IZ 5.832 10 5
x x
61.7 106 Pa 61.7MPa （压应力）