固体材料的导电性1解读
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k 0 k / 2
( x, t ) A
k 0 k / 2
e
d i kx ( k 0 ) t ( k k0 ) t dk k0
dk
积分可得：
Aei k0 x ( k0 )t
d i ( k k0 ) x t k / 2 dk k 0
如果一个量子态的准经典描述近似成立，则在量子力学中 的这个态在准经典近似下就常用一个“波包”来表示。 在这种近似下： 自由电子 平均速度 自由电子 的位置 波包的 群速度
波包中 心位置
（4）准经典近似的使用条件： 若金属中自由电子的运动可以使用 k 附近 Δk 范围内的平面 波所组成的波包来描述。 就必然要求：电子的位置分布在波包中心 r 附近的Δr 范围 内，Δr 和Δk必须满足不确定关系。
具体地说就是要求： （a）波包的尺寸要比原胞的尺寸大得多，金属中电子的 运动就可使用波包的运动规律来描述。 （b）同时作用于电子的外场的时空变化应比较缓慢，其 变化的波长 λ＞＞a 。 （c）外场的存在近似认为不破坏电子的能谱，只是引起 波矢 k 的变化，否则就必须重新求解有外场时的薛定格方程。
二、准经典近似下自由电子的运动方程：
（1）准经典近似下自由电子的平均速度 —— 波包的群速度：
在金属中，用平面波函数组成波包，以一维情况为例：
( x, t )
利用：
有：
k0 k / 2
k0 k / 2
Aei kx ( k )t dk
d ( k ) ( k 0 ) ( k k0 ) dk k0
b）在外场较弱且恒定，不考虑电子的干涉、衍射及碰撞 等情况下，把电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。
该方法具有：图象清晰、运算简单的特点，在实际应 用中也是常被采用的。 本节将首先讨论在准经典近似下与电子运动的动力学方 程相关的问题，如：运动方程；有效质量等。
一、金属中自由电子的准经典近似：
本段对自由电子的准经典近似从以下几个方面做出讨论： （1）自由电子状态的经典描述： 经典力学中的自由粒子做匀速直线运动。可以同时具有确 定的动量、能量和位置。 （2）自由电子状态的量子描述： 在量子力学中自由电子的状态由波矢为 k 的平面波来描述。 由于该波函数既是能量算符的本征函数，又是动量算符的本征 函数，所以这时电子的波矢 k 或动量 ħk 是完全确定的。由不确 定原理，电子的位置就完全不能确定。 （3）准经典近似对自由电子状态的描述： 为了给出一个电子在外场中运动时简单而又清晰的物理图像， 也经常使用准经典近似的方法来描述自由电子的状态。
▲ 注意到使用量子力学描述时，自由电子的波函数是平面 波，其波矢是完全确定的。这反映在准经典近似中就要求 Δk 必须很小。具体地说就是要小于第一布里渊区的线度。即有：
2 k a
▲ 这样Δr 就必须远大于晶体原胞的线度。即有：
r a
这是因为已经知道对于波包必须满足 xk x 2 这一条件。
代入自由电 子速度的表 达式得：
1 dk k E F k Edt
dk F 0 dt
第十二章
固体材料的导电性
本章将具体讨论与固体材料的导电性有关的问题。从固体 中的电子在外电场中的运动出发去理解和讨论金属，半导体等 材料的导电的机理。由于金属的导电性与费米面的情况有密切 的联系，而费米面的测量又与电子在磁场当中的运动有关，所 以本章还将具体研究固体中的电子在电磁场中的运动规律。
综上，本章的内容可具体的分为下面四个部分：
在三维情况下，波包的中心位置为：
波包运动的速度为：
1 vk k E k 0 0
1 r0 k E k t 0
（2）准经典近似下自由电子的运动方程： 自由电子能量 E(k) 的改变，应该等于外力所作的功。即有：
E F v dt dk k k
2
相应的几率分布为：
k d x t sin dk k 2 2 0 2 ( x, t ) A 2 ( k ) d k x t 2 dk k0
1）关于固体中电子运动的准经典描述。 2）关于金属的导电性与费米面。 3）关于半导体的导电性。 4）关于能带理论的局限性： 电子的关联效应，Maott绝缘体与哈伯德模型。 有序与无序，安德森模型与安德森转变等。
§1 自由电子的准经典运动
在对金属电导率等问题的讨论中，要涉及到自由电子在外 电场中的运动。对这种问题的讨论，一般有下面两种途径： a）求解含外场的单电子薛定格方程。 这就要求：在这种含外场的单电子薛定格方程能够求解的 前提下，解出描写电子状态的波函数后，在利用流密度的表达 式可求出电流。然后再讨论电流与外场的关系。 否则就不能得到满意的结果。 —— 这些要求一般是很难被满足的。
由此可知波包的中心位置在:
1 dE d x0 t t dk k0 dk k0
这里使用了德布罗意关系式:
E (k ) (k )
波包中心移动的速度为：
dx0 d 1 dE v( k 0 ) dt dk k0 dk k0
k / 2
e
d ( k k0 )
( x, t wenku.baidu.com Aei k x ( k
0
0
k d x sin t dk k 2 )t 0 1 d x t 2 dk k 0
( x, t ) A
k 0 k / 2
e
d i kx ( k 0 ) t ( k k0 ) t dk k0
dk
积分可得：
Aei k0 x ( k0 )t
d i ( k k0 ) x t k / 2 dk k 0
如果一个量子态的准经典描述近似成立，则在量子力学中 的这个态在准经典近似下就常用一个“波包”来表示。 在这种近似下： 自由电子 平均速度 自由电子 的位置 波包的 群速度
波包中 心位置
（4）准经典近似的使用条件： 若金属中自由电子的运动可以使用 k 附近 Δk 范围内的平面 波所组成的波包来描述。 就必然要求：电子的位置分布在波包中心 r 附近的Δr 范围 内，Δr 和Δk必须满足不确定关系。
具体地说就是要求： （a）波包的尺寸要比原胞的尺寸大得多，金属中电子的 运动就可使用波包的运动规律来描述。 （b）同时作用于电子的外场的时空变化应比较缓慢，其 变化的波长 λ＞＞a 。 （c）外场的存在近似认为不破坏电子的能谱，只是引起 波矢 k 的变化，否则就必须重新求解有外场时的薛定格方程。
二、准经典近似下自由电子的运动方程：
（1）准经典近似下自由电子的平均速度 —— 波包的群速度：
在金属中，用平面波函数组成波包，以一维情况为例：
( x, t )
利用：
有：
k0 k / 2
k0 k / 2
Aei kx ( k )t dk
d ( k ) ( k 0 ) ( k k0 ) dk k0
b）在外场较弱且恒定，不考虑电子的干涉、衍射及碰撞 等情况下，把电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。
该方法具有：图象清晰、运算简单的特点，在实际应 用中也是常被采用的。 本节将首先讨论在准经典近似下与电子运动的动力学方 程相关的问题，如：运动方程；有效质量等。
一、金属中自由电子的准经典近似：
本段对自由电子的准经典近似从以下几个方面做出讨论： （1）自由电子状态的经典描述： 经典力学中的自由粒子做匀速直线运动。可以同时具有确 定的动量、能量和位置。 （2）自由电子状态的量子描述： 在量子力学中自由电子的状态由波矢为 k 的平面波来描述。 由于该波函数既是能量算符的本征函数，又是动量算符的本征 函数，所以这时电子的波矢 k 或动量 ħk 是完全确定的。由不确 定原理，电子的位置就完全不能确定。 （3）准经典近似对自由电子状态的描述： 为了给出一个电子在外场中运动时简单而又清晰的物理图像， 也经常使用准经典近似的方法来描述自由电子的状态。
▲ 注意到使用量子力学描述时，自由电子的波函数是平面 波，其波矢是完全确定的。这反映在准经典近似中就要求 Δk 必须很小。具体地说就是要小于第一布里渊区的线度。即有：
2 k a
▲ 这样Δr 就必须远大于晶体原胞的线度。即有：
r a
这是因为已经知道对于波包必须满足 xk x 2 这一条件。
代入自由电 子速度的表 达式得：
1 dk k E F k Edt
dk F 0 dt
第十二章
固体材料的导电性
本章将具体讨论与固体材料的导电性有关的问题。从固体 中的电子在外电场中的运动出发去理解和讨论金属，半导体等 材料的导电的机理。由于金属的导电性与费米面的情况有密切 的联系，而费米面的测量又与电子在磁场当中的运动有关，所 以本章还将具体研究固体中的电子在电磁场中的运动规律。
综上，本章的内容可具体的分为下面四个部分：
在三维情况下，波包的中心位置为：
波包运动的速度为：
1 vk k E k 0 0
1 r0 k E k t 0
（2）准经典近似下自由电子的运动方程： 自由电子能量 E(k) 的改变，应该等于外力所作的功。即有：
E F v dt dk k k
2
相应的几率分布为：
k d x t sin dk k 2 2 0 2 ( x, t ) A 2 ( k ) d k x t 2 dk k0
1）关于固体中电子运动的准经典描述。 2）关于金属的导电性与费米面。 3）关于半导体的导电性。 4）关于能带理论的局限性： 电子的关联效应，Maott绝缘体与哈伯德模型。 有序与无序，安德森模型与安德森转变等。
§1 自由电子的准经典运动
在对金属电导率等问题的讨论中，要涉及到自由电子在外 电场中的运动。对这种问题的讨论，一般有下面两种途径： a）求解含外场的单电子薛定格方程。 这就要求：在这种含外场的单电子薛定格方程能够求解的 前提下，解出描写电子状态的波函数后，在利用流密度的表达 式可求出电流。然后再讨论电流与外场的关系。 否则就不能得到满意的结果。 —— 这些要求一般是很难被满足的。
由此可知波包的中心位置在:
1 dE d x0 t t dk k0 dk k0
这里使用了德布罗意关系式:
E (k ) (k )
波包中心移动的速度为：
dx0 d 1 dE v( k 0 ) dt dk k0 dk k0
k / 2
e
d ( k k0 )
( x, t wenku.baidu.com Aei k x ( k
0
0
k d x sin t dk k 2 )t 0 1 d x t 2 dk k 0