第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述.

n11 n21
n12 n22
d c1 0 n13 0 dc2 n23 0 0
0 0 dc3
1
Nr (s) Dr1 (s)
其中dci是G(s)中第i列元素的最小公分母
左MFD 左矩阵分式描述： G(s) = Dl-1(s) Nl(s)
Dl(s)左分母矩阵： q×q 阶方阵 Nl(s)左分子矩阵： q×p 阶矩阵
n( s ) g ( s) n( s)d 1 ( s) d 1 ( s)n( s) d ( s)
MIMO线性时不变系统的传递函数矩阵的MFD G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = Dl-1(s)Nl(s) Dr(s)、Dl(s)为G(s)的分母矩阵 Nr(s)、Nl(s)为G(s)的分子矩阵 “分母矩阵”的行列式的次数 (2) MFD的次数 对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD，规定 Nr(s)Dr-1(s) 的次数 = deg det Dr(s) 对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD，规定 Dl-1(s)Nl(s) 的次数 = deg det Dl(s) 注：对于同一个G(s)，其右MFD的次数和左MFD的次数一般 不相等。
1
G ( s ) N r ( s ) Dr1 ( s ) s 1 Biblioteka Baidu ( s 1)(s 2)(s 3) ( s 2)(s 3)
2
( s 3)(s 4)
( s 1)(s 2)
传递函数矩阵G(s)为
s 1 ( s 2)( s 3) 2 G(s) ( s 1) s3
(3) MFD的不惟一性 对传递函数矩阵G(s)，其右MFD和左MFD 不惟一，且不同的 MFD可能具有不同的次数。 若N ( s) D 1 ( s)为G( s)的一个右MFD,即G( s) N ( s) D 1 ( s),
s ( s 1) 2 ( s 2) 2 例.传递函数矩阵G(s)为 G( s) s ( s 2) 2
第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述
第8章
传递函数矩阵的矩阵分式描述
矩阵分式描述 矩阵分式描述的真性和严真性 从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述 不可简约矩阵分式描述 确定不可简约矩阵分式描述的算法 规范矩阵分式描述
8.1 矩阵分式描述
矩阵分式描述 （MFD, Matrix Fraction Description）
表征线性时不变系统输入输出关系 复频域理论 实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s) 表示为两个多项式矩阵之“比” 传递函数矩阵 p维输入和q维输出的连续线性时不变系统
传递函数矩阵G(s) 为q×p有理分式矩 阵
n11 ( s) d11 ( s) G(s) nq1 ( s) d q1 ( s )
2
( s 1)(s 3)(s 4) ( s 1)(s 2)(s 3) ( s 1)(s 3) 2
1
s 1 2 ( s 1 ) ( s 4)
s ( s 3)(s 4) s ( s 3) 2
MFD的特性 (1) MFD的实质 SISO线性时不变系统的传递函数的分式化表示
s 1 s3 s3 s4
s s 2 s s 1
G(s)的左MFD
G(s)各行的最小公分母如下： dr1(s) = (s+2)(s+3)2 dr2(s) = (s+1)(s+3)(s+4)
G ( s ) Dl1 ( s ) N l ( s ) ( s 2)(s 3)


n1 p ( s ) d1 p ( s) nqp ( s ) d qp ( s)
右MFD 右矩阵分式描述： G(s) = Nr(s)Dr-1(s)
Dr(s)右分母矩阵： p×p 阶方阵 Nr(s)右分子矩阵： q×p 阶矩阵
n11 d 11 n21 d 21 n12 d12 n22 d 22 n13 n11 d13 d c1 n23 n21 d 23 d c1 n12 dc2 n22 dc2 n13 dc3 n23 dc3
s 1 s3 s3 s4
s s 2 s s 1
G(s) 的右MFD
G(s)各列的最小公分母如下： dc1(s) = (s+2)(s+3)2 dc2(s) = (s+3)(s+4) dc3(s) = (s+1)(s+2)
( s 1)(s 4) ( s 3) 2 s ( s 1) s ( s 2)
ˆ12 n ˆ 22 n
ˆ13 n d r1 ˆ23 n dr 2
d r1 0
ˆ13 n ˆ23 n
Dl1 (s) Nl (s)
其中dri是G(s)中第i行元素的最小公分母。
传递函数矩阵G(s)为
s 1 ( s 2)( s 3) 2 G(s) ( s 1) s3
n11 d 11 n21 d 21 n12 d12 n22 d 22 ˆ11 n13 n d13 d r1 ˆ21 n23 n d 23 dr 2
ˆ11 0 n n dr 2 ˆ 21
1
ˆ12 n d r1 ˆ22 n dr 2
则N ( s)W ( s)[D ( s)W ( s)]1也是G( s)的一个右MFD.
s ( s 2) 2 s ( s 2) 2
1
解： G(s)的两个MFD为
G( s)
N1r ( s) D1r1 ( s)