论文(留数定理及其应用)

学号：**********

石河子大学

本科毕业论文（设计）

留数定理及其应用

院系师范学院

专业数学与应用数学

姓名向必旭

指导老师曹月波

职称讲师

摘要

留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。

1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。

柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。

关键字：留数；留数定理；积分

目录

摘要···············································

1. 引言·············································

2. 留数············································· 2.1 留数的定义及留数定理························ 2.2 留数的求法·································· 2.3 函数在无穷远处的留数························

3. 用留数定理计算实积分

3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π

0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞

−∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x )Q (X )

+∞−∞e imx dx 的积分················

3.4

计算形如∫P (x )Q (x )+∞−∞cos mxdx 和∫P (x )Q (x )

+∞−∞sin mxdx 的积分 3.5 计算积分路径上有奇点的积分···················· 参考文献

1.引言

留数理论是柯西积分理论的延续。其中的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具。留数在复变函数论本身和实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系。此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域函内数的零点分布状况。

2.留数

2.1 留数的定义及留数定理

如果函数f(z)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a,则根据柯西积分定理，有

∫f(z)

C

dz=0

但是，如果a是f(z)的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并包围点a,则积分

∫f(z)

C

dz

的值，一般说来，不再为零。并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概括起来，我们有

定义2.1 设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心领域0<|z−a|

1 2πi ∫f(z)

τ

dz(τ:|z−a|=ρ,0<ρ

为f(z)在点a的留数，记为f(z)

z=a

Res

由柯西积分定理知道，当0<ρ

1 2πi ∫f(z)dz=

τ

c−1

即f(z)

z=a

Res=c−1

这里c−1是f(z)在z=a处的洛朗展式中1

z−a

这一项的系数。

2.2 留数的求法

如果z0为f(z)的简单极点，则

Res[f(z),z0]=lim

z−z0

(z−z0)f(z)

法则2：设f(z)=P(x)

Q(X)

，其中P(x),Q(x)在z0处解析，如果P(z)≠0，z0为Q(z)的一阶零点，则z0为f(z)的一阶极点，且

Res[f(z),z0]=P(z)

Q′(Z)

法则3：如果z0为f(z)的m阶极点，则

Res[f(z),z0]=1

(m−1)!lim

z−z0

d m−1

dz m−1

[(z−z0)m f(z)].

例1求函数f(z)=e iz

1+z2

在奇点处的留数

解f(z)有两个一阶极点z=±i，于是根据法则得

Res[f,i]=P(i)

Q′(i)=e i

2

2i

=−i

2e

Res[f,i]=P(−i)

Q′(−i)=e i

2

−2i

=i

2

e

例2求函数f(z)=e iz

z(1+z2)2

在奇点处的留数

解f(z)有一个一阶极点z=0与两个二阶极点z=±i，于是由法则可得

Res(f,0)=lim

z→0

e iz

(1+z2)2

=1

Res(f,i)=lim

z→i [(z−i)2∙e iz

z(1+z2)2

]

′

=lim

z→i

[e iz

z(1+z2)2

]

′

=

−3

4e

Res(f,−i)=lim

z→i [e iz

z(z−i)2

]

′

=6+i

4

e

2.3 函数在无穷远点的留数

定义设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在圆环域R<|z|<+∞内解析，则称