最经典的初中圆复习课件

A A
●
A
●
O C ┐ B
O C B
●
O C
B
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
直线与圆有三种位置关系 O O O 相切 相交 1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。 （1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。 这时直线叫做圆的割线。 这时直线叫做圆的割线。 （2）相切：直线与圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切。 ）相切：直线与圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切。 这时直线叫做圆的切线。 这时直线叫做圆的切线。 （3）相离：直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 ）相离：直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 相离 l
(1)弦是直径； (1)弦是直径； 弦是直径 (2)半圆是弧； (2)半圆是弧； 半圆是弧 (3)过圆心的线段是直径； (3)过圆心的线段是直径； 过圆心的线段是直径 (4)过圆心的直线是直径； (4)过圆心的直线是直径； 过圆心的直线是直径 (5)半圆是最长的弧； (5)半圆是最长的弧； 半圆是最长的弧 (6)直径是最长的弦； (6)直径是最长的弦； 直径是最长的弦 (7)等弧就是拉直以后长度相等的弧 等弧就是拉直以后长度相等的弧
点与圆的位置关系
读作“ 读作“等价 于”，它表示 到圆心的距离OP= 设⊙O 的半径为r，从符号左端可 点P到圆心的距离OP=d， 以得到右端， 以得到右端， 则有： 则有： p d 也可以从右端 得到左端。 得到左端 点P在⊙O内 在 内 d＜r 。 r ＜
点P在⊙O上 在 上 点P在⊙O外 在 外
⌒
⌒
C
D
∴AB∥CD ∥
B
1.如图, 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 如图 ,∠BOC=50° 的大小. 求∠A的大小. 解: ∠A
1 25 = ∠BOC = 25°. 2
A
●
C O
C
如图,AB是直径 则∠ACB=＿＿＿＿ 是直径,则 如图 是直径 ＿＿＿＿ 90 度 B
A
O
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 是直角 90度的圆周角所对的弦是直径。 度的圆周角所对的弦是直径。 是直径
●
O
O
O
B
等弧) 等弧 所对的圆周角相等. 圆周角定理: 同弧 (等弧 所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一 都等于这条弧所对的圆心角的一 半.
思考: 思考
在同圆或等圆中
相等的圆周角所对的弧相等 吗?
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 相等的圆周角所对的弧相等.
A B
Leabharlann Baidu
如图, 如图 若 AC = BD 则 ∠ D=∠A ∠
A C O (1) B D A (2) D C •O B A (3) D C •O B r r
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。 弦的垂直平分线一定是圆的直径。 弦的垂直平分线一定是圆的直径
r
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 r ）平分弧的直线， （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 r ）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦 r ）
d=r d＞r ＞
d
r
p
P d r
1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有 几个？圆心在哪里？
● ●
●
O O
●
A
●
O
●
O
O
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这 点与点A的距离
2、平面上有两点A、B，经过已知点A、B 的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？
●O O
●
无数个。它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 无数个。它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 AB的垂直平分线上 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心, 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,以这点 AB的垂直平分线上的任意一点为圆心 的距离为半径作圆. 半径作圆 到A或B的距离为半径作圆.
A
●
O C
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三 角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形 与它的外心的位置关系.
一、判断是非： 判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 r ）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。 ）平分弦的直线，必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， ）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 条直线垂直这条弦。 那么这 条直线垂直这条弦。
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。 弓形 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的 等圆 半径相等。 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 同心圆 心圆 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 等弧 等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等， 1 2）两弧的度数相等。
注意： 注意：
1、直径是弦，而弦不一定是直径； 2、半圆是弧，而弧不一定是半圆； 3、两条等弧的度数相等，长度也相等， 反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。
C
即直径CD垂直于弦 ，平分弦AB, 即直径 垂直于弦AB，平分弦 垂直于弦 并且平分AB及 ⌒ 并且平分 ⌒及ACB
·
E A
O
B D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 垂径定理： 并且平分弦所对的两条弧． 弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧． 所对的两条弧．
“知二推三” 知二推三” 知二推三
(1)垂直于弦 垂直于弦 (2)过圆心 过圆心 (3)平分弦 平分弦 (4)平分弦所对的优弧 平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3) (1)(3)时 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制. 条弦增加”不是直径”的限制.
A
如图， 如图，设⊙O 的半径为r， C A点在圆内 OA＜r ＜ B点在圆上 OB=r OC＞r ＞ C点在圆外 OA＜r ＜ OB=r OC＞r ＞
O
r
B
反过来， 如果已知点到圆心的距离和圆的半径之 反过来 ， 间的关系，可以判断点和圆的位置关系? 间的关系，
点A在⊙O内 在 内 点B在⊙O上 在 上 点C在⊙O外 在 外
垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中 如图 在下列五个条件中: 在下列五个条件中 ⌒ ⌒ 是直径, ① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC, 是直径 ⊥
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论 就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角等于它所对的圆心角的一半
即
A C
●
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 与圆心角 :
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B B
请将自己所画的圆与同伴所画的 圆进行比较， 圆进行比较， 它们是否能够完全重 合？并思考什么情况下两个圆能够完 全重合？半径相等的两个圆叫做等圆。 全重合？半径相等的两个圆叫做等圆。 等圆 r O1 判断题 圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; 圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; 半径相等的两个圆是等圆. 半径相等的两个圆是等圆 O2 r
C
A
M└ └
●
B O
你可以写出相应的命题吗? 你可以写出相应的命题吗 相信自己是最棒的! 相信自己是最棒的
D
C
A
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤ ④⑤ 结论
垂径定理及推论
命题
M└ └
●
B O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 并且平分弦所对的两条弧 D ②④⑤ 平分弦 不是直径)的直径垂直于弦 并且平 分弦所对的两条弧 平分弦(不是直径 的直径垂直于弦 不是直径 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦,并且平分弦所对的 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦 并且平分弦所对的 垂直平分弦 另一条弧. ②③④ 另一条弧 ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧 并且平分这条弦所对的两条弧 ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧 并且平分弦所对的另一条弧. 并且平分弦所对的另一条弧 ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦 并且垂直平分弦
●
O
3、平面上有三点A、B、C，经过 、B、C 平面上有三点 、 、 ，经过A、 、 三点的圆有几个？圆心在哪里？ 三点的圆有几个？圆心在哪里？
经过A,B两点的圆的圆心在线段 经过A,B两点的圆的圆心在线段 A,B两点的圆的圆心 AB的垂直平分线上 的垂直平分线上. AB的垂直平分线上. 经过B,C两点的圆的圆心 B,C两点的圆的圆心在线段 经过B,C两点的圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上 的垂直平分线上. AB的垂直平分线上. 经过A,B,C三点的圆的圆心 A,B,C三点的圆的圆心应该这 经过A,B,C三点的圆的圆心应该这 两条垂直平分线的交点O的位置. 两条垂直平分线的交点O的位置. 交点
B O
·
C
A
劣弧与优弧 小于半圆的弧叫做劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧. 劣弧 大于半圆的弧叫做优弧 大于半圆的弧叫做优弧. 优弧
⌒） （如图中的AC） 如图中的
（如图中的 ）
⌒ (用三个字母表示 如图中的 用三个字母表示,如图中的 用三个字母表示 如图中的ACB)
B O
·
C
A
想一想
判断下列说法的正误： 判断下列说法的正误：
A O· B
●
O
C
B
弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中， 在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等． 对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆（或等圆） 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、 如果圆心角、 弦有一组量相等， 弧、弦有一组量相等，那么它们所 对应的其余两个量都分别相等。 对应的其余两个量都分别相等。
●
A
●
B
┏
●
O
●
C
归纳结论： 归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 的三个点确定一个圆
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个． 经过三角形三个顶点的圆叫做三 角形的外接圆。 。 三角形外接圆的圆心叫做这个 三角形的外心。 B 这个三角形叫做这个圆的内 这个三角形叫做这个圆的内 接三角形。 接三角形。
C B •O A C (4) B C (5) •O A D A •O E D (6)
B
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角 圆心角 圆周角:顶点在圆上 并且两边都与圆相交的 圆周角 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的 顶点在圆上 叫做圆周角 角,叫做圆周角 叫做圆周角. A
探索与发现
直线与圆位置关系的数量特征
演示
O d1
r
O d2 相切
与圆有关的概念
弦
连接圆上任意两点的线段（如图 ） 连接圆上任意两点的线段（如图AC） 叫做弦， 叫做弦 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 经过圆心的弦（如图中的 ）叫做直径． 直径
B O
·
C
A
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B 圆弧 、 ⌒ 读作“圆弧AB”或“弧 为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧 或 AB”． ． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆 半圆． 每一条弧都叫做半圆．