刚体绕定轴转动力矩

例 已知棒长 L ,质量 m，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图)
求 摩擦力对y轴的力矩
y
解 dm M dx df dm g
mL
L
根据力矩
Ox
x
dM df x m gxdx
dx
L
M L m gxdx 1 mgL
0
L
2
练习：质量为 m ，长为 L 的细杆在水平粗糙桌面上绕过其
x
i=2
i=3
x i = 3+2+1= 6
当刚体受到某些限制 ——自由度减少
§5.2 刚体的平动
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自
身平行 — 刚体平动
平动的特点
(1) 刚体中各质点的
运动情况相同
rA rB
rA rB BA
z
rA
A
A A B
vA vB aA aB
O x
rB
r 2dr
2 3
mgL
第5章 刚体运动学
§5.1 刚体和自由度的概念
一. 刚体 —— 力的作用下形状和大小不变的物体
特殊的质点系，形状和体积不变化。在力作用下，组成 物体的所有质点间的距离始终保持不变
二. 自由度
—— 理想化模型
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数
s O
i=1
z
z
(x,y,z)
O
yO
y
yA yB L Rsin(t 0) L
x
2 A
( yA
L)2
R2
v Ax
dxA dt
R
sin(t
0)
v Ay
dyA dt
R
cos(t
0)
vA
v
2 Ax
v
2 Ay
R
25
300
0.26 m /
s
aAx
dv Ax dt
R 2 cos(t
0)
aAy
dv Ay dt
R 2 sin(t
0)
aA
aA2x
一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正比，杆与桌面
间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。
解：设杆的线密度 kr
y
dm dr krdr
mL
m
L
dm
krdr 1 kL2
0
2
k
2m L2
,
dm
2mrdr L2
O
x dx
x
df
dm g
2mg
L2
rdr
dM rdf
M
dM
L
0
2mg
L2
力 F 对z 轴的力矩
刚体获得角加速度
z
Mz (F) Fh Fr sin
• “±”的确定：（右螺旋）从
z轴正端向负端看，
若 若
FF使使刚刚体体逆顺时时针针转转
为M正z 为M负z
h o r A
F
例如
T
•
T'
•
T
T'
Mi TR T' R
讨论
Mi Tr T ' R
1)力平行于转轴或通过转轴时，对该轴力矩为零。
r
3i
4
j
5k (m)
求 p点的速度
解
2n 2 rad / s
60
k
2k（∵
沿 z 轴正向转）
v r
2k (3i 4 j 5k )
8i 6j (m / s)
第6章 刚体动力学
§6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
•力
改变质点的运动状态
质点获得加速度
•
改变刚体的转动状态
dt
角加速度
d
dt
d2
dt 2
f "(t)
z
P
I
II
M
当 βc
0 t
(
0
)
t
1 2
t2
2 02 2 ( 0 )
与质点的匀加速直线运动公式相像
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
z
ω,v
任意点都绕同一轴作圆周运动,
且 ， 都相同
v r'
an r' 2
a
dv dt
r'
r' • P
角加速度矢量为
d
k
dt
④ 定义了角速度矢量后，就可以用它表示出刚体上任意点的
速度
v
dr
ω
r
dt
• 加速度与角加速度的矢量关系式
z ω,v
a
dv
d(ω
r)
dt dω
r
dt ω
dr
dt
dt
r' • P
O
刚体
r
×O
β
rωv
定轴
aτ
r
an v
例 刚体绕 z 轴正向转动，n 60r / min ，某时刻 p点位矢
F不// 能改变刚体绕z轴的转动状态
z
F//
F
F// 对z轴的力矩为零
2)若 F不在垂直于 z轴的平面内 F F F//
h o r
A
F
Hale Waihona Puke Baidu
M z (F) M z (F ) Fh
③ 也可将力 F(位于垂直于z轴的面内)对z轴的力矩视为矢
量，定义矢量力矩
MZ r F
大小：rF sin
a
2 Ay
R 2
25 2
3002
2.7 103
m / s2
§5.3 刚体绕定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 f (t)
角速度
d f '(t)
方向：右螺旋法则
r：：转r和动中的F心夹到角力的作用点的位矢
当 F不在垂直于z轴的平面内
M Z r F
力对定点o的力矩
MO
r
F
Mo
F
大小： M o
方向：垂直于
Mr和o
rF sin
所F 确定的
平面，且指向由右螺
O . r
旋法则给出。
说明：可以证明：力对任意点的力矩，在通过该点的任一 轴上的投影，等于该力对该轴的力矩。
B
y
B
(2) 刚体的平动可归结为质点运动
例 一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m， 供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动， 转速为0.1 r/min。
求 吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。
解 2π 2π π
T 10 60 300
吊箱平动
xA xB R cos(t 0 )
O
刚体
r
×O
角速度与角加速度的矢量表示
① 对于角速度矢量，规定：角速度矢量的大小就是角速度的
大手小四，指方指向向沿刚转体轴转方动向方，向其，指拇向指由指右向手为螺旋方法向则。确定：右
② 角加速度矢量
d
dt
③ 直角坐标系中，设刚体绕kz轴作定轴转动，则角速度矢量为
的方向
0 沿 z正向 0 沿 z负向