第二章消费者选择练习

计算题

1.某人每周花360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:U=2X2Y,求在均衡状态下,他如何购买效用最大?

解:max:U=2X2Y

S.T 360=3X+2Y

构造拉格朗日函数得:W=2X2Y+λ(360-3X-2Y)

dW/Dx=MUx-3λ=4xy-3λ=0

dW/Dy=MUy-2λ=2x2-2λ=0

求得:4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=60

2、求最佳需求，maxU=X1+(X2-1)3/3

S.T 4X1+4X2=8

(1)如果效用函数变为U=3X1+(X2-1)3,而预算约束不变则最佳需求会改变吗？

(2)如果效用函数不变，而预算约束变为2X1+2X2=4, 则最佳需求会改变吗？

2．解：运用拉格朗日函数，L=X1+(X2-1)3/3+λ(8-4X1-4X2)

dL/dX1=1-4λ=0

dL/dX2=(x2_1)2-4λ=0 显然，（X2-1）2=1,求得：X2=0,X1=2;或X2=2, X1=0 代入总效用函数,可将X2=2, X1=0舍去,因此最佳需求为X2=0,X1=2

当U=3X1+(X2-1)3时，同理求得X1=2,X2=0,即最佳需求不变.

当预算约束变为2X1+2X2=4时,同理求得:X1=2,X2=0,最佳需求也不变.

3.某人的收入为10000元，全部用于购买商品X和商品Y（各自的价格分别为50、20元），其效用函数为u=xy2。假设个人收入税率为10%，商品X的消费税率为20%。为实现效用极大化，该人对商品x、y的需求量应分别为多少？

3. 解：M=10000（1-10%）=9000

Px=50（1+20%）=60

Py=20

预算约束式：60x+20y=9000 由此可得y=450-3x 代入u=xy2的得

u=9(x3-300x2+22500x）

由du/dx=9（3x2-600x+22500）=0得

x1=150 x2=50 由于x1=150时,u=0不合题义，所以该人需求量为x=50，y=300。

4.若某消费者的效用函数为U=XY4，他会把收入的多少用于商品Y上？

4.解:由U=XY4，得MU X=Y4，MU Y=4XY3，根据消费者均衡条件得Y4/P X=4XY3/P Y，变形得：P X X=（1/4）P Y Y，将其代入预算方程得P Y Y=（4/5）M，

即收入中有4/5用于购买商品Y。

5.设某消费者的效用函数为U（x,y）=2lnx+(1-α)lny；消费者的收入为M; x,y两商品的价格分别为P X，P Y；求对于X、Y两商品的需求。

5.解: 构造拉格朗日函数L=2lnX+(1-α)lnY+λ(M-P X X-P Y Y)

对X 、Y 分别求一阶偏导得2Y/(1-α)X=P X/P Y 代入P X X+P Y Y=M

得:X=2M/(3-α) P X Y=(1-α)M/(3-α) P Y

6.某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X，和对商品Y的消费量，购买Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。假设日工资为100元，商品Y的价格为50元，问该人若想实现效用最大化（U=X2Y3），则他每年应安排多少个劳动日？

6.解：预算约束式为50Y=100L，即Y=2L=2（365-X）

构造拉格朗日函数L= X2Y3-λ(Y +2X -730）

对X 、Y 分别求一阶偏导得Y =3X ，进而得X =146，Y =438，L =219,

即该人每年应安排219个工作日.

= 2 ，7.消费X ，Y两种商品的消费者的效用函数为 U = X3Y2 ，两种商品的价格分别为 P

X

P

= 1 ，消费者收入为 M = 20 ，求其对 X ，Y 的需求量。

Y

7.解：P X X + P Y Y = M

2X + Y = 20

U = X3（20-2X）2 = 400X3—80X4 + 4X5

效用极大1200X2 -320X3 + 20X4 = 0

解得X1 = 0 ，X2 = 6 ，X3 = 10

X = 0或10时U = 0 ，不合题意

所以X = 6 ，Y = 8 。

8.令消费者的需求曲线为P=a-bQ,a,b>0,并假定每单位商品征收t 单位的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t)。证明，他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。

8.解:设价格为P时，消费者的需求量为Q1，由P=a-bQ1,得Q1= （a-P）/b。

又设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为Q2，则Q2=[a-P(1+t)]/b 消费者剩余的损失

=∫0Q1(a-bQ)dQ-PQ1-[∫0Q2(a-bQ)dQ-P(1+t)Q2]

=∫Q1Q2(a-bQ)dQ+ P(1+t)Q2-PQ1

=(aQ-bQ2/2)∣Q1Q2+ P(1+t)Q2-PQ1

政府征税而提高的收益= P(1+t)Q2-PQ1

消费者剩余损失—政府征税得到的收益

=(aQ-bQ2/2)∣Q1Q2=(aQ1-bQ12/2)- (aQ2-bQ22/2)

=（2tP+t2P2）/2b

因为b、t、P>0 所以（2tP+t2P2）/2b>0

因此，消费者剩余的损失要超过政府征税而提高的收益。

问答题

1.什么是总效用，什么是边际效用？两者的相互关系如何？

1.答：总效用是指一定时期内消费者消费一定量商品所获得的总满足感，记为TU = f （Q）；而边际效用是指当商品的消费量（或购买量）增加一点时总效用的增加量，记为MU= △TU/△Q。如果消费量的增量非常小，趋近零，则边际效用就是总效用对消费量的一阶导数，即：MU = dU/dQ。总总效用与边际效用有如下关系：（1）只要边际效用大于零，总效用必定上升；（2）当边际效用为零时，总效用达到最高点，即饱和点；（3）当边际效用为负值时，总效用曲线开始下降；（4）边际效用是总效用的一阶导数，反过来，总效用的数值就等于边际效用的积分。

2.消费者均衡的含义及其实现条件是什么？为什么达到这个条件就能实现消费者均衡？

2.答：消费者均衡是指在效用函数确定时，在收入和商品价格均既定的条件下，消费