南京大学微积分 第一层次 期末试卷

2. 设 为上半球面 z 4 x2 y2 的上侧，计算 zx3dydz zy3dzdx 6z2dxdy .
六.（8
分）判别级数
n1
(1)n1 n sin n
的敛散性（包括条件收敛或绝对收敛）.
七.（8 分）判别广义积分
sin
1 x
dx 的敛散性.
1 2 x
八.（10
分）将
d dx
1 x
) dx
的敛散性.
1
x
6. 已知 u xy z2 ，求 u 在点 M (9,12,10) 梯度 grad u(M ) .
7.
求函数
f
(
x)
1
x
x
2
x
2
在 x 0 的幂级数展开式，并指出收敛范围
.
8.
求与两直线 L1 ：x 1, y
1 t, z
2
t.
及
L2：x
1
1
y2 2
z 1 都平行且过原点的 1
平面方程 .
二、（10 分）证明曲面 xyz a3 (a 0) 上任何一点处的切平面与坐标面所围成的四面体的
体积等于一个常数 .
三 、（ 10 分 ） 计 算 三 重 积 分
(1-
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
)dxdydz
，其
中
为
椭
球体
：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1.
四、（10 分）讨论级数
(ex cos y2
y
m)dy
,
其中 L 为由 A(2a, 0) 沿上半圆周
x2 y2 2ax 至原点 O(0, 0) (a 0) .
五. （8 分）求函数 u ln(x 2 y 3z) 在点 (1，1，1) 处的梯度及沿 l (1, 2, 2) 的方向导数.
六. （6 分×2=12 分）判别下列级数的敛散性（绝对收敛，条件收敛，发散？）
3 cos
t,
y
3sin
t,
z
3t
(0
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
)
.
2. (exsiny+8y)dx (ex cos y 7x)dy ,其中 为由点 A(2, 0) 沿 (x 4)2 y2 9 到点
B(6, 0) 的一段 .
五. 计算曲面积分（2×10 分=20 分）.
1. 求 (x2 y2 z2 )dS ，其中 为 x2 y2 z2 2z (1 z 2) .
线
L:
x
6 2
y3 1
2z 1 2
.
二.（10 分）求曲面 z2 xy 1 上到原点最近的点.
三.（8 分）计算三重积分
x2 y2 z2 dxdydz ，其中 是球体 x2 y2 z2 z .
四. 计算曲线积分（2×8 分=16 分）.
1.
x2
z2
y2
dl
，其中
的参数方程是：
x
南京大学《大学数学》（理一）第二学期期末考试试卷 2006.6.6
一 . （ 10 分 ） 设 z z(x, y) 是 由 方 程 ln(2x 3y 5z) 5z 3y 2x 确 定 的 函 数 ， 求
z x
z y
.
二. （10 分）求球面 x2 y2 z2 4 在柱面 x2 y2 2 y 内部的那部分球面的面积.
三. （8 分）求 (3y2 y sin(2xy)dx (6xy x sin(2xy))dy 的原函数.
四. （8 分×2=16 分）
1. 计算 I1 (x2 y2 )dzdx zdxdy, : x2 y2 z2 (0 z 1) 取下侧.
2. 计算
I2
L
(ex
sin
y
my)dx (x a)2
ex 1
x
在
x0
0
处展开为幂级数.
并证明
n1
(n
n 1) !
1
.
九.（10
分）设
f
(x)
x
x
2 2
, ,
x 0, 求 f (x) 以 2 为周期的傅氏级数与和函数.
0 x,
九．（10
分）求
f
(x)
1, 2,
0 x
x 0, , 的傅氏级数以及该级数的和函数
.
1
十．（8 分）判别广义积分 e x 1dx 的敛散性 .
1
x
南京大学《大学数学》（理一）第二学期期末考试试卷 2007.6.12
一. 简答题（5 分×8=40 分）
1. 计算 xd ，其中 D 为第一象限内 x2 y2 1与 x 轴， y 轴所围的闭区域 .
D
2.
已知 z
sin(
xy 2
)
，求
z x
,
z y
,
2z y2
.
3. 计算 C (x2 y2 z2 )dS ，其中 C 为螺旋线：x a cos t, y a sin t, z bt(0 t 2 ) 的部分 .
4.
求级数
n1
n(n
1
m)
的和，其中
m
是一固定的自然数
.
5. 判别
ln(1
1.
n sin n n2 n2 (1)n n
,
2.
(1)n n2 n (1)n
n
.
七.
（8 分）设有级数
(A) :
n0
an (x
x0 )n , (B) :
n0
an 4n4
xn. 已知（A）的收敛域为[ 1 ,
5)，
（1）求 x0 ， （2）求（B）的收敛半径.
八．（8 分）将 x (t 1)2 et2 2t dt 在 x 1 处展开为幂级数，并指出其收敛域 . 1
n1
n 1 n
n 1 的敛散性 .
五、（10
分）求幂级数
n1
1
1 2
xn
1 3
1 n
的收敛半径，并讨论端点的收敛性
.
六、（10 分）求曲环面：
x (b a cos ) cos, y (b a cos ) sin, z a sin (0 a b) 所界的物体体积 .
七、（10 分）计算曲线积分 [( y)ex my]dx [( y)ex m]dy ，式中( y) 与( y) 为 AmB
连续函数，AmB 为连接点 A(x1, y1)和B(x2 , y2 ) 的任意逐段光滑曲线，但与线段 AB 围成的 面积为 A 的平面区域 D AmB .
南京大学《大学数学》（理一）第二学期期末考试试卷 2008.6.20
一. （10 分）求椭球面 x2 2 y2 3z2 21上某点处的切平面 的方程，使平面 过已知直