控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数

基尔霍夫电流定律：
基尔霍夫电压定律：
i(t ) 0
A
E Ri
u R iR R
uR iR R
iL
L i (t ) u i (t )
R C u o (t )
欧姆定律：
di 电感定律： u L L dt 1 电容定律： u c idt C
1 u L dt L
2. 非线性系统：数学模型表达式是非线性的系统称为非 线性系统 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性 ……
3. 非线性系统的线性化 具有本质非线性特性的系统：忽略非线性因素或用 非线性理论去处理。 非本质非线性特性的系统: 切线法，或称微小偏差 法处理。
1 dui ic C dt
例2 写出下图电气系统的微分方程 R 1 L1 L2
①
u (t)
i 1( t )
i2 ( t ) C uc ( t )
R2
解：
di1 (t ) u (t ) i1 R1 L1 dt u c (t ) (1) di2 (t ) i 2 R2 (2) u c (t ) L2 dt 1 u c (t ) (i1 - i2 )dt (3) C
( ( an xon) (t ) an1 xon1) (t ) a1 xo (t ) a0 xo (t )
bm xi(m) (t ) bm1 xi(m1) (t ) b1 xi (t ) b0 xi (t )
或
a x (t ) bi xi(i ) (t )
3. 列写系统微分方程的步骤：
(1)分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输出 量与输入量；
(2)从系统的输入端开始，依据物理学定律，依次列写组成系统各 元件的动力学方程，其中要考虑相邻两元件间的负载效应；
(3)将各方程式中的中间变量消去，求出描述输入量和输出量之间 关系的微分方程，并将与输入有关的各项放在方程右边，与输 出有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，即得系 统微分方程的标准形式； (4)在列写元件的微分方程或求出系统的微分方程时，对非线性项 应加以线性化。
解：取拉氏变换并求商得
G( s)
Y ( s) 6s 7 3 X ( s ) 5s 2 s 2 s 2
2，实验法
实验测定法：对系统施加一定的激励（输入）， 测得它的输出，根据输入输出的数据（或曲线） 结果，通过一定的数学处理方法，得到能反映 系统输入、输出关系的数学模式。 特点：只能得到反映系统输入、输出关系的数 学模型，不知道（不能反映）系统内部结构和 系统中各物理量之间的关系。
第二章 控制系统的数学基础和数学模型
基本要求
1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。 2.了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列 写机械系统、电网络系统的微分方程。 3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。 4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理 意义。 5.掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数 的定义及求法。掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。 6.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制 系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。 7.了解相似原理的概念。
xi 1( t )
xi 2( t )
系统
系统
xo 1( t )
xo 2( t )
a1xi 1( t )
系统
a1xo 1(t ) + a2 xo 2(t )
a2 xi 2(t )
线性系统满足齐次性：当输入量的数值成比例增加时， 输出量的数值也成比例增加。
如果系统在输入x(t)作用下的输出为Y(t)， 并记为： x(t) → y(t)，则 kx(t) → ky(t)
1）拉普拉斯反变换的应用： 求解微分方程 求原函数 2）拉氏反变换的求法有多种方法，其中比较简单的方法是： 由查拉氏变换表得出 部分分式展开法
3）用拉氏变换解常微分方程的步骤： （1）对给定的微分方程等式两端取拉氏变换，变微分方程为s变量 的代数方程； （2）对以s为变量的代数方程化简整理，得到微分方程求解的变量 的拉氏表达式，然后进行拉氏反变换，即得到时域中的微分方程的 解。
j 0 ( j) j o i 0
n
m
若系数ai,bi是常数，则方程是线性定常的，相应 的系统也称为线性定常系统，若系数是时间的函数， 则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变 系统。
（2）线性系统性质 线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理： 系统在几个外加作用下所产生的响应，等于各个外加作用 单独作用的响应之和。
L
e
at
f (t ) dt

F ( s a)
5.初值定理 若L[f(t)]=F(s)，则
f (0 ) lim f (t ) lim s F ( s )
t 0 s
6.终值定理
若L[f(t)]=F(s)，则有
f () lim f (t ) lim s F ( s )
2.3
传递函数 线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件 为零时，输出量xo(t)的拉氏变换Xo(s)与输入量xi(t)的 拉氏变换 Xi(s)之比叫做系统的传递函数 G(s)。表示为：
X o (s) G (s) X i (s)
2.3.1 传递函数的定义
Xi (s)
G(s)
X (s) o
三要素： 1）线性定常系统； 2）零初始条件：（1）输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； （2）输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0 3）输出与输入的拉氏变换之比 ；
t s 0
7.延迟定理
若L[f(t)]=F(s)，对任一正实数a，则有
L f (t a)


0
f (t a)e st dt e as F ( s)
2.1.3 拉氏反变换 定义:
f(t)=L-1[F(s)],将象函数变换成原函数
s：复变量 F(s)：象函数（s 域、复数域） f(t)：原函数（实域、时间域）
2.2.2 机械/电气系统微分方程
1．机械系统
任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。都可以 使用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。 y (t )
mi i (t ) fi (t ) x
铣刀 工件
1）机械平移系统
动力 滑台 工作台
f (t )
m cx kx f x
2.微分性质
wenku.baidu.com
k1F1 (s) k2 F2 (s)
若L[f(t)]=F(s)，且f(0)=0，（初始条件为零）则
df (t ) L[ ] sF ( s ) dt
3.积分定理 若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则
L
4.平移定理

1 f (t )dt F ( s ) s

若L[f(t)]=F(s)，则
2）机械旋转系统
f∶外力；x∶位移； m∶质量；c∶粘性阻力系数； k∶弹簧刚度
J BJ k J T
T∶扭转力；θ ∶转角；J∶转动惯量；BJ∶回转粘性阻力系数； kJ∶扭转弹簧刚度
例1 写出下图机械系统的微分方程
y(t) k
m
c
f(t )
ky(t) cy(t)
m
f(t)
f(t)∶外力；y(t)∶位移；k∶弹簧刚度；c∶粘性阻力系数；m∶质量
解：
f
ma
f (t ) ky (t ) cy(t ) m(t ) y m(t ) cy(t ) ky (t ) f (t ) y
惯性力+阻尼力+弹簧力=外力
2．电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔 霍夫定律来建立电气系统的数学模型。
at
7 8
sin t
s2 2
s s 2
2
1 sa
cost
0
t
cost
2.1.2 拉氏变换的主要性质
1.线性性质
设L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，k1，k2为常数 ，则
L[k1 f1 (t ) k2 f 2 (t )] k1L[ f1 (t )] k2 L[ f 2 (t )]
2.2 系统的数学模型
数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构 与参数之间的数学表达式。 工程上常用的数学模型有： 微分方程 传递函数 状态方程
建立数学模型的方法有： 理论分析（解析法） 试验的方法获取
2.2.1 线性系统与非线性系统
1. 线性系统 (1)定义：数学模型表达式是线性的系统称为线性系统 系统微分方程的规范化形式如下：
根据传递函数的定义，即得系统的传递函数G(s)为: L[ xo (t )] X o ( s) G( s) L[ xi (t )] X i ( s)
（2）传递函数的零、极点、放大系数
系统的传递函数G(s)是以复变数s作为自变量的函数．经因子分解 后，G(s)可以写成如下一般形式：
G( s)
2.1
拉普拉斯(Laplace)变换
1.拉氏变换的定义
2.1.1 拉氏变换概述
jω

[s]
F (s) L f (t ) f (t )e st dt
0
0
σ
e st : 拉氏算子
f(t)：原函数（实域、时间域） F(s)：象函数（s 域、复数域） s：复变量，s=σ +jω
拉氏变换存在的条件：原函数必须满足狄里赫利条件。 该条件在工程上通常都满足。
2.3.2 传递函数的求法：解析法、实验法
1.解析法
(1)根据定义求取 设线性定常系统输入为xi(t)，输出为xo(t)， 描述系统的微分 方程的一般形式为 :
an x o (t ) a1 xo (t ) a0 xo (t ) bm xi
( n) ( m)
(t ) b1 xi (t ) b0 xi (t )
l ( s z1 )(s z 2 )( s z m ) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
l 为常数
当 s z (j=1，2，…，m)时，均能使 G(s) 0，故称为 G(s)的零点。 j 当 s pi (i＝1，2，…，n)时，均能使G(s)的分母为0，G(s)取极 值，lim G(s)= (i=1，2，…，n)， pi ，称 pi (i=1，2，…，n)为 s G(s)的极点． l 为放大系数。
传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比 方法二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量 整理成传递函数的形式
例
试写出具有下述微分方程式的传递函数。
d3y d 2 y dy dx 5 3 2 2 2 y 6 7x dt dt dt dt
式中，n≥m ；an，bm均为系统结构参数所决定的定常数（n， m=0、1、2、3…）。 如果变量及其各阶导数初值为零（初始条件为零），取等式两 边拉氏变换后得:
(an s n an 1s n 1 a1s a0 ) X o ( s)
(bm s m bm 1 s m 1 b1 s b) X i ( s )
本章重点
1.拉氏变换定理。 2.列写系统的微分方程。 3.传递函数的概念、特点及求法。 4.典型环节的传递函数。 5.系统的方框图及其化简。
本章难点
1.列写系统微分方程。 2.系统的方框图及其化简。
2.1
拉普拉斯(Laplace)变换
2.1.1 拉氏变换概述 拉普拉斯变换，简称拉氏变换，能够很方便地解微分 方程，成为控制工程及研究动力学系统的一个基本数学方 法。拉氏变换的主要有如下优点： （1）以时间表示的微分方程经拉氏变换后，变为以s表示 的代数方程，使得求解很容易。 （2）因自动地引入了初始条件，使得微分方程的补解和 特解同时求出。
2.基本函数的拉氏变换
(t)
序号 原函数
xi (t)
f (t )
象函数 F (s ) 1
1 s k s
0
t
0
u ( t) 1
t
1
单位脉冲函数 (t )
2
3
t
单位阶跃函数 1(t )
K 常数
e-at
0
t
4
t 单位斜坡函数
k
k
t
5
6
r (t)
t
t
e
n
1 s2 n! s n 1
sin t
0
t