最小多项式

§7.9 最小多项式
所以 g ( x ) 被A的最小多项式整除. 其次，如果 则 从而

h( A ) 0,
0 h ( A1 ) h( A ) 0 h ( A2 ) 0
h ( A1 ) 0 , h ( A 2 ) 0 .
g1 ( x ) h( x ) , g 2 ( x ) h( x ) . g ( x ) h( x ) .
3
但A与B不相似.
| E B | ( x 1 ) ( x 2 )
2
2
即 |E
A | | E B | .
所以，A与B不相似.
§7.9 最小多项式
5.（引理3）设A是一个准对角矩阵
A1 0 A 0 A2
并设
A1 , A 2
的最小多项式分别为
如：
1 0 A 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 , B 0 0 2 0
2
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
的最小多项式皆为 ( x 1 ) ( x 2 ),
| E A | ( x 1 ) ( x 2 ),
的最小多项式没有重根.
练习：
1 1 1 1 1 1 A 1 1 1
求矩阵
的最小多项式.
§7.9 最小多项式
解： 的特征多项式
x 1 1 1 x 1 f ( x ) | E A E | 1 1
0
或
( r ( x )) ( g 2 ( x )).
于是有
§7.9 最小多项式
g1 ( A ) q ( A ) g 2 ( A ) r ( A ) 0

r( A) 0
由最小多项式的定义， 即，
g 2 ( x ) g1 ( x ) . g 1 ( x ) g 2 ( x ).
0 0 0 1 0 0 2 (J aE ) 0, 1 0 0

(J aE )
k 1
0 0. 0 1 0 0

J
的最小多项式为
(x a) .
k
§7.9 最小多项式
x 1 1 0 3 f ( x ) | x E A | 0 x 1 0 ( x 1) 0 0 x 1
又
A E 0,
2 2
(A E) A 2A E
1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1
§7.9 最小多项式
二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g 1 ( x ), g 2 ( x ) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g 1 ( x ) 可表成
g1 ( x ) q ( x ) g 2 ( x ) r ( x )
其中 r ( x )
从而
故 g ( x ) 为A的最小多项式.
§7.9 最小多项式
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 As
g i ( x ), i 1, 2 , ..., s [ g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g s ( x )].
且 A i 的最小多项式为 则A的最小多项式是为
∴ A的最小多项式为
§7.9 最小多项式
( x 1) .
2
4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似，g A ( x ), g B ( x )分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 从而
g A ( B ) g A (T
1
使
B T
1
AT .
AT ) T
特别地，若 g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g s ( x ) 两两互素，即 g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g s ( x ) 1
则A的最小多项式是为
§7.9 最小多项式
g 1 ( x ) g 2 ( x )... g s ( x ).
6.（引理4）k 级若当块
a 1 a 1 J 1 a
的最小多项式为
(x a) .
k
证：J的特征多项式为
(J aE ) 0.
k
(x a)
k
§7.9 最小多项式
而
0 1 0 1 0 J aE 0, 1 0
1
g A ( A )T 0
g A ( x ) 也以B为根，
从而
gB ( x) gA( x).
同理可得
gA( x) gB ( x).
g A ( x ) g B ( x ).
又 g A ( x ), g B ( x ) 都是首1多项式，
§7.9 最小多项式
注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
§7.9 最小多项式
若 g ( x )为P上互素的一次因式的乘积：
g ( x ) ( x a 1 )( x a 2 )...( x a s )
则
其中
V V 1 V 2 ... V S , V i { | V , ( a i E )( ) 0 }.
r ( x ) 0,
同理可得，

g 1 ( x ) c g 2 ( x ), c 0
又 故
g 1 ( x ), g 2 ( x ) 都是首1多项式,
g 1 ( x ) g 2 ( x ).
c 1
§7.9 最小多项式
2.（引理2）设
g ( x ) 是矩阵A的最小多项式，则
f ( x ) 以A为根 g ( x ) f ( x ).
( x n)x
n1

1 1 x 1
又
A 0, A nE 0, A 0
2
而
A
A( A nE ) 0.
的最小多项式为
x ( x n ).
§7.9 最小多项式
§7.9 最小多项式
由最小多项式的定义，
g ( x ) f ( x ).
r ( x ) 0.
由此可知： 若
g ( x )是A的最小多项式，则 g ( x ) 整
除 任何一
个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个
因子.
§7.9 最小多项式
例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式 x 特别地，单位矩阵的最小多项式是 零矩阵的最小多项式是
x
x 1
k;
；
.
反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵.
例2、求
1 1 0 A 0 1 0 0 0 1
的最小多项式.
§7.9 最小多项式
解：A的特征多项式为
g 1 ( x ), g 2 ( x ).
则A的最小多项式为 证：记 首先，
g 1 ( x ), g 2 ( x ) 的最小公倍式.
g ( x ) [ g 1 ( x ), g 2 ( x )]
0 g ( A1 ) g( A) 0 g ( A2 ) 0
即A为 g ( x ) 的根.
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义
二、最小多项式的基本性质
§7.9 最小多项式
引入
由哈密尔顿―凯莱定理， A P 是A的特征多项式，则
f ( A ) 0.
A P
n n
n n
, f ( ) | E A |
因此，对任定一个矩阵 多项式
f ( x ) P [ x ],
证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f ( x ) 可表成
f ( x ) q ( x ) g ( x ) r ( x ),
其中 r ( x )
0
或
( r ( x )) ( g ( x )).
于是有

f ( A) q( A)g( A) r( A) 0
r( A) 0
（此结论的证明步骤同定理12） 把 V 1 , V 2 , , V S 各自的基合起来就是V的一组基. 在这组基中，每个向量都属于某个 V i ， 即是 的 特征向量. 所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.
从而A相似于对角矩阵.
§7.9 最小多项式
8.
AC
n n
与对角矩阵相似
A
6.（定理13） A
A
P
n n
与对角矩阵相似
的最小多项式是P上互素的一次因式的积.
证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A，
则 的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 g ( x ), 则
g ( )(V ) 0 .
，总可以找到一个 此时，也称
使
f ( A ) 0.
多项式 f ( x ) 以A为根.
本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的
那个与A的对角化之间的关系.
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义
定义： 设
A P
n n
,
பைடு நூலகம்
在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.