人群健康研究的统计学方法-资料的统计描述

出它的优越性。
缺点：
? 掉失了大量信息，其敏感性不够。
(三) 离散趋势指标
例 有3组同龄男孩体重（kg）如下，其 体重均数 X都是30 （kg），试分析 离散程度。
甲组 26 28 30 32 34 乙组 24 27 30 33 36 丙组 26 29 30 31 34
离散程度（或变异程度）
?指数据参差不齐的程度，反映资料的 离散趋势。
（奇数）
1，3，5，7，18，20 （ 偶数）
?计算
?n为奇数时
?n为偶数时
M ? X ?? n ? 1 ?? ?2?
?
?
M ? ?X ? X ? 2 ??? ? ? ?
n 2
??? ?
??? ?
n 2
?
1 ??? ?
M计算方法
?例: 9人某病潜伏期(天) 分别为3，4，4，5，6
，7，7，19，19，求中 位数。
f lgX 1.8062 7.2246 7.5255 18.0620 8.4288 4.8164 2.7093
∑flgX=50.58
??
G ? lg?1 ?
f ?lgX ??
?? ? f ??
?
? G ? lg?1 ?? ? ?
f
?lgX f
? ??? ?
lg?1?? 50.58 ?? ? ? 30 ?
?离散趋势,tendency of dispersion
? 指变量值围绕中心数值或中心位置的分 布情况。
4 频数分布的类型
?对称分布：集中位置居中，左右两边对称
（特例：正态分布） ?偏态分布：正偏态分布 （峰偏左）
负偏态分布
对称分布
正偏态分布
负偏态分布
5、频数表的用途
?揭示频数的分布特征和分布类型； ?可以代替原始资料，便于计算和分析； ?便于发现某些特大或特小的可疑值。
甲组 26 28 30 32 34 乙组 24 27 30 33 36 丙组 26 29 30 31 34
标准差 3.16 4.74 2.92
甲组：
∑X=26+28+30+32+34=150 ∑X2=262+282+302+322+342=4540
? ? ? ? s ?
X2?
X 2/n ?
4540 ? 1502 / 5 ? 3.16
第 三节
资料的 统计描述
一 计量资料的统计描述
?频数分布 ?集中趋势指标 ?离散趋势指标
（一） 频数分布
一、频数分布表
简称频数表（frequency table)
?例9-7 （P187）
1. 频数表的编制
（1）计算极差（range ）：即最大值与最小值之差，又称为 全距。
本例极差： R=5.91－3.86=2.05（×1012/L） （2） 确定组数、组距和组限：根据研究目的和样本含量n确 定。组数通常分 8-15个组，为方便计，组距参考极差的十分 之一, 再略加调整。本例：i= R /10=2.05/10=0.205≈0.20。
?将反映平均水平与离散程度的指标结 合起来使用，可全面地描述数据的分 布规律。
1 极差（ Range ）
?极差= 最大值 – 最小值 ?优点：简单明了 ?缺点：不能反映组内其他数据的变
异，样本含量相差较大时，不宜用 极差比较分布的离散程度。
2 四分位数间距 inter-quartile range
48.5
?30名麻疹易感儿童接种麻疹疫苗一个 月后血凝抑制抗体滴度为1：48.5
?同一组资料求得的几何均数小于均数。
（三）中位数 Median, M
将一组观察值从小到大按顺序排列，位次 居中的观察值，即为中位数。 ?一半的值比M小，一半的值比M大。
?50 %
?50 %
?X
?M
例：1，3，5，7，18
合计
101
—— 409.75 1705.09
s ? 1705 .09 ? ?409 .75 ?2 / 101 ? 0.654 ( mmol / L )
101 ? 1
标准差的应用：
?反映一组观察值的变异程度； ?衡量均数的代表性； ?结合样本均数描述频数分布特征； ?计算变异系数和标准误；
?适用：数据呈正偏态分布，经对数转换后 呈正态分布。多用于观察值之间呈倍数关 系，如抗体滴度
?计算方法 ?直接法 ?加权法
1. 直接法
G ? n X1X2 ...Xn
? lg?1?? lgX1 ? lgX1 ? ... ? lgXn ??
?
n
?
? ? lg?1??? ?
lgX n
??? ?
用直接法计算G
例：有8份血清的抗体效价为1:5，1:10，1:20 ，1:40，1:80， 1:160 ，1：320，1:640。
求平均效价。
lg G ? lg 5 ? lg 10 ? lg 20 ? lg 40 ? lg 80 ? lg160 ? 320 ? 640 8
? 1.7526 G ? lg?1 1.7526 ? 56.57
组距=极差/拟分组数 组限：每个组段的起点为上限，终点为下限；第一组段要 包括最小值，最后一个组段必须包含最大值。 （3） 列表划记：用划记法将所有数据归纳到各组段，得到 各组段的频数。
2、频数分布图（graph of frequency distribution)
Histogram
30
25
20
15
σ ? ? ?X ? μ?2 N
一般? 未知，常常用 X 来估计
?数理统计证明，如用样本的变量个 数n来代替N,计算出的样本方差比实
际? 2低，需要用n-1校正，得样本方差
S2。开根号得样本标准差s。
? ?2
s2 ? ? X ? X
n?1
s?
?
?X ?
?2
X
n?1
自由度，degree of freedom
5.60~5.90 合计
频数 f 1
3 6 8 17 20 17 12 9 5 2
1 101
组中值 X 2.45
2.75 3.05 3.35 3.65 3.95 4.25 4.55 4.85 5.15 5.45
5.75 ——
fX 2.45
8.25 18.30 26.80 62.05 79.00 72.25 54.60 43.65 25.75 10.90
?方差计算公式中的n-1被称为自由度，它描 述了当 X 选定时，n个X中能自由变动的X （变量值）的个数。
?例：某样本含有5个数据，要求∑X=15。则 在自由确定了四个数据后，第5个数据只能 是15-(x1+x2+x3+x4) 。 即有4个数据可以自由 变动,其自由度=4 。
?推而广之，任何统计量的自由度? ＝n-k ，k 为限制条件的个数。
30 名麻疹易感儿童血凝抑制抗体滴度
抗体滴度 1:8 1:16 1:32 1:64 1:128 1:256 1:512 合计
人数f 2 6 5 10 4 2 1 30
滴度倒数X
8 16 32 64 128 256 512
lgX 0.9031 1.2041 1.5051 1.8061 2.1072 2.4082 2.7093
M ? X ?? n ? 1 ?? ?2? ? X 5 ? 6 ( day )
?例: 6名新生儿身长(cm) 分别为50.1，52.0，53.0
，55.0，55.0，56.0，求 中位数。
?
?
M
?
? ??
X
?? ?
n 2
?? ?
?
X
?? ?
n 2
?
1
?? ?
? ??
2
? (X3 ? X4)/2 ? (53.0 ? 55.0) / 2
1、算术均数，简称均数
(arithmetic mean/mean)
? 均数是算术均数的简称。 ?总体均数用希腊字母μ(缪，mu) 表示
?样本均数X（X bar）表示。
均数的应用条件
?主要用于对称性或近似对称性分 布的资料;
?尤其是在正态分布或近似正态分 布上的应用。
计算方法 1.直接法
? X ? X1 ? X 2 ? ? X n ? X
?自由度：是随机变量可以“自由”取值的 个数。
标准差 standard deviation
?总体标准差
σ?
?样本标准差
s ? ? ?X - X?2 n?1
? ?X ? μ ?2
N
s?
?
X 2 ? ??
?2
X /n
n?1
s ? ? fX 2 ? ?? fX ?2 / ? f
? f ?1
标准差的计算
f1 ? f2 ? f3 ? ? fk
?f
? Xj 为各组的组中值。
组中值等于该组的上限加下限之和除以 2。
? fj 为各组的频数。 ?101名正常成年女子的血清总胆固醇 均值为:
? X = 409.75/101 =4.06（ mmol/L ）
（二）几何均数 Geometric mean ，G
?描述一组呈倍数（等比）关系的观察值的 平均水平。
?四分位数间距： P75 - P25 或 QU - QL 比极差稳定，但仍未考虑每个数据的大小 。常和中位数结合使用描述数据的分布规 律。
3 方差和标准差
?离均差平方和: ? ?X ? μ ?2
?考虑每个观察值，但受N的影响。
?对离均差平方和求均数，得总体 方差? 2 ，开根号得标准差? 。
σ2 ? ? ?X ? μ?2 N
Leabharlann Baidu
10
Frequency
5 0
Std. D ev = .66 M ean = 4.03 N = 101.00
2.45
3.65
4.85
6.05
3.05
4.25
5.45
血清总 胆固醇 (mmol /L)
3 频数分布的两个特征
?集中趋势,central tendency
? 指变量值的中心数值或中心位置所在。
n?1
5?1
用频数表法计算标准差
s ? ? fX 2 ? ?? fX ?2 / ? f
? f ?1
组段 频数f 组中值X f X f X2
2.30~
1
2.60~
3
2.90~
6
3.20~
8
3.50 ~
17
2.45 2.45 6.00 2.75 8.25 22.69 3.05 18.30 55.82 3.35 26.80 89.78 3.65 62.05 226.48
? 54(cm )
中位数的应用条件
? 偏态分布或分布状态不明的资料； ? 观察值中有个别过小或过大值的资料 ? 分布的一端或两端无确定的数值；
（如:>50, 或 <10）
注意：在完全对称的单峰曲线分布中，同一 组资料的均数与中位数相同， Mean = Median
中位数的优缺点
优点：
? 不受个别特大或特小的观察值影响； ? 其它平均数不宜使用时，中位数就显示
（二） 集中趋势的描述
?平均数（average ）：用于观察一组同质变 量值的平均水平/集中位置。亦称中心位置 指标。它不但给人一个简明概括的印象， 而且便于事物间的分析比较。
?常用的平均数
?算术均数 (arithmetic mean/mean) ?几何均数 (geometric mean) ?中位数 (median)
3.80 ~
20
4.10 ~
17
4.40 ~
12
4.70 ~
9
5.00 ~
5
5.30~
2
5.60~5.90 1
3.95 4.25 4.55 4.85 5.15 5.45
5.75
79.00 72.25 54.60 43.65 25.75 10.90 5.75
312.05 307.06 248.43 211.70 132.61 59.41 33.06
5.75 409.75
f X2 6.00
22.69 55.82 89.78 226.48 312.05 307.06 248.43 211.70 132.61 59.41
33.06 1705.09
加权法计算均数：
? X ? f1 X1 ? f2 X 2 ? f3 X 3 ? ? fk X k ?
fX
n
n
? Σ：希腊字母(sigma) ，求和符号
? 例9.2 有8名正常人的空腹血糖值（ mmol/L ）：
6.2，5.4，5.7，5.3，6.1，6.0，5.8，5.9
6.2+5.4+5.7+5.3+6.1+6.0+5.8+5.9
X=
=5.8
8
2.加权法
组段 2.30~
2.60~ 2.90~ 3.20~ 3.50 ~ 3.80 ~ 4.10 ~ 4.40 ~ 4.70 ~ 5.00 ~ 5.30~
?将各效价的倒数代入公式，得该 8份血清的平均 抗体效价为 1：56.57，近似为1：57 ?注意：变量值不能有 0
2.加权法
??
G ? lg?1 ?
f ?lgX ??
?? ? f ??
?式中f为频数。
用加权法计算G
?例 30名麻疹易感儿童接种麻疹疫苗一 个月后，血凝抑制抗体滴度如下表所示 ，试求其平均抗体滴度。
?百分位数：指把数据从小到大排列后处于 第X百分位置的数值。它将全部数据分为 两据数部小是分于一，P个X，特在有定不1的包-X百括%的分PX的数位全据数部大P50数于。据PX%中。有中X%位数
?四分位数：下四分位数 P25；上四分位数 P75
P0 —— P25 —— P50 —— P75 —— P100