圆锥曲线综合(讲义)

圆锥曲线综合（讲义）知识点睛

一、圆锥曲线的几何特征综合

注：只讨论了其中一种情况

二、圆锥曲线与直线的位置关系

1.圆锥曲线与直线的交点的个数问题

把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y (或x )，整理得到关于x (或y )的方程

20ax bx c ++=(或20ay by c ++=)，判断方程的解的个数．

2. 圆锥曲线与直线的相交弦长问题

设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，11()A x y ，，22()B x y ，，则

1212||||AB x x y y ==-=-．

3. 弦的中点问题 点差法

在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点坐标求出直线方程．

精讲精练

1. 实数变量m ，n 满足221m n +=，则坐标()m n mn +，表示的点

的轨迹是（ ） A ．椭圆

B ．双曲线的一支

C ．抛物线

D ．抛物线的一部分

2. 已知抛物线2

4y x =的准线与双曲线2

221(0)x y a a

-=>相交于A ，

B 两点，且F 是抛物线的焦点，若△FAB 是直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A

B

C ．2

D ．3

3. 已知M 是2

14

y x =

上一点，F 为抛物线的焦点．若点A 在圆22(1)(4)1C x y -+-=：上，则||||MA MF +的最小值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．10

4. 已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1 )(0)M m m >，到其焦点

的距离为5，双曲线

2

221(0)x

y a a

-=>的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（ ）

A ．19

B ．125

C ．15

D ．13

5. 已知(07)A ，

，(07)B -，，(122)C ，，以C 为一个焦点的椭圆经过A ，B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是（ ）

A ．2

2

1(1)48

x y y -=-≤ B ．2

2

1(1)48

x y y -=≥ C ．2

21(1)48

y x x -=-≤

D ．2

2

1(1)48

y x x -=≥

6. 设点A 为圆22(1)1x y -+=上的动点，PA 是圆的切线，且

||1PA =，则P 点的轨迹方程为（ ）

A ．2

2y x = B ．22

(1)4x y -+= C ．22y x =-

D ．22(1)2x y -+=

7. 已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线(2)y k x =-与此抛物线相交于P ，Q 两点，

则

11

||||

FP FQ +=（ ） A ．12

B ．1

C ．2

D ．4

8. 已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，椭圆C 与过

原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ．若||10AB =，

||6AF =，4

cos 5

ABF ∠=

，则C 的离心率e =__________．

9. 点P 是双曲线22

1221(00)x y C a b a b

-=>>：，与圆2222x y a b +=+的一个交点，且

21122PF F PF F ∠=∠，其中1F ，2F 分别是双曲线1C 的左、右焦点，则双曲线1

C 的离心率为__________．

10. 椭圆22

143

x y +

=的左焦点为F ，直线x =m 与椭圆相交于点A ，B ．当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是__________．

11. 椭圆2212x y +=的一条弦被点11

( )22

，平分，则这条弦所在的

直线方程是__________________．

12. 如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD

上一点，且4

||||5

MD PD =

． （1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；

（2）求过点(3 0)，且斜率为

4

5

的直线被C 所截线段的长度．

13. 已知椭圆2

2114

x C y +=：，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率．

（1）求椭圆2C 的方程；

（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C ，2C 上， 若 =2OB OA −→

−→

，求直线AB 的方程．

14. 如图，双曲线22

221(00)x y a b a b

-=>>，的一条渐近线方程是y =，坐标原

点到直线AB 的距离为3

2

，其中(0)A a ，

，(0)B b -，． （1）求双曲线的方程；

（2）若1B 是双曲线虚轴在y 轴正半轴上的端点，过点B 作直线交双曲线于点M ，N ，求11B M B N ⊥时，直线MN 的方程．