2020河南中考数学复习专题专题 类比探究题

专题七 类比探究题

专题类型突破

类型一 图形旋转引起得探究

(2019·河南)在△ABC 中,CA ＝CB,∠ACB＝α、点P 就是平面内不与点A,C 重合得任意一点.连接AP,将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP 、

(1)观察猜想

如图1,当α＝60°时,BD CP

得值就是________,直线BD 与直线CP 相交所成得较小角得度数就是________.

(2)类比探究

如图2,当α＝90°时,请写出BD CP

得值及直线BD 与直线CP 相交所成得较小角得度数,并就图2得情形说明理由.

(3)解决问题

当α＝90°时,若点E,F 分别就是CA,CB 得中点,点P 在直线EF 上,请直接写出

点C,P,D 在同一直线上时AD CP

得值.

【分析】(1)延长CP 交BD 得延长线于E,设AB 交EC 于点O 、证明△CAP≌△BAD,即可解决问题.

(2)设BD 交AC 于点O,BD 交PC 于点E 、证明△DAB∽△PAC,即可解决问题.

(3)分两种情况:当点D 在线段PC 上时,延长AD 交BC 得延长线于H 、证明AD ＝DC 即可解决问题;当点P 在线段CD 上时,同法可证DA ＝DC,解决问题.

【自主解答】

1.(2018·河南)(1)问题发现

如图1,在△OAB 与△OCD 中,OA ＝OB,OC ＝OD,∠AOB＝∠COD＝40°,连接AC,BD 交于点M 、填空:

①AC BD

得值为________; ②∠AMB 得度数为________;

(2)类比探究

如图2,在△OAB 与△OCD 中,∠AOB＝∠COD＝90°,∠OAB＝∠OCD＝30°,连接AC

交BD 得延长线于点M 、请判断AC BD

得值及∠AMB 得度数,并说明理由; (3)拓展延伸

在(2)得条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC,BD 所在直线交于点M,若OD ＝1,OB ＝7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 得长.

2.(2017·河南)如图1,在Rt△ABC 中,∠A＝90°,AB＝AC,点D,E 分别在边AB,AC 上,AD ＝AE,连接DC,点M,P,N 分别为DE,DC,BC 得中点.

(1)观察猜想

图1中,线段PM 与PN 得数量关系就是________,位置关系就是________;

(2)探究证明

把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2得位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN 得形状,并说明理由;

(3)拓展延伸

把△ADE 绕A 在平面内自由旋转,若AD ＝4,AB ＝10,请直接写出△PMN 面积得最大值.

图1 图2

3.(2015·河南)如图1,在Rt△ABC 中,∠B＝90°,BC＝2AB ＝8,点D,E 分别就是边BC,AC 得中点,连接DE 、将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α、

(1)问题发现

①当α＝0°时,AE BD

＝________; ②当α＝180°时,AE BD

＝________; (2)拓展探究

试判断:当0°≤α<360°时,AE BD

得大小有无变化？请仅就图2得情形给出证明. (3)解决问题

当△EDC 旋转至A,D,E 三点共线时,直接写出线段BD 得长.

类型二动点引起得探究

(2016·河南)(1)发现

如图1,点A为线段BC外一动点,且BC＝a,AB＝b、

填空:当点A位于________时,线段AC得长取得最大值,且最大值为________(用含a,b得式子表示);

(2)应用

点A为线段BC外一动点,且BC＝3,AB＝1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD与等边三角形ACE,连接CD,BE、

①请找出图中与BE相等得线段,并说明理由;

②直接写出线段BE长得最大值;

(3)拓展

如图3,在平面直角坐标系中,点A得坐标为(2,0),点B得坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA＝2,PM＝PB,∠BPM＝90°,请直接写出线段AM长得最大值及此时点P得坐标.

【分析】(1)根据点A 位于CB 得延长线上时,线段AC 得长取得最大值,即可得到结论;

(2)①根据等边三角形得性质得到AD ＝AB,AC ＝AE,∠BAD＝∠CAE＝60°,推出△CAD≌△EAB,根据全等三角形得性质得到CD ＝BE;

②由于线段BE 得最大值＝线段CD 得最大值,根据(1)中得结论即可得到结果.

(3)将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN 就是等腰直角三角形,根据全等三角形得性质得到PN ＝PA ＝2,BN ＝AM,根据当N 在线段BA 得延长线时,线段BN 取得最大值,即可得到最大值为22＋3;过P 作PE⊥x 轴于E,根据等腰直角三角形得性质即可得到点P 得坐标.

【自主解答】

4.(2019·河南模拟)(1)问题发现

如图1,在Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,AB AC

＝1,点P 就是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD＝90°,∠APD＝∠B,连接CD 、

填空:①PB CD

＝________;

②∠ACD 得度数为________;

(2)拓展探究

如图2,在Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,AB AC

＝k 、点P 就是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD＝90°,∠APD＝∠B,连接CD,请判断∠ACD 与∠B 得数量关系以及PB 与CD 之间得数量关系,并说明理由;

(3)解决问题

如图3,在△ABC 中,∠B＝45°,AB＝42,BC ＝12,P 就是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD＝∠BAC,∠APD＝∠B,连接CD 、若PA ＝5,请直接写出所有CD 得长.

类型三 图形形状变化引起得探究

(2019·信阳一模)(1)观察猜想

如图1,点B,A,C 在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC,且∠DAE＝90°,AD＝AE,则BC,BD,CE 之间得数量关系为________;

(2)问题解决

如图2,在Rt△ABC 中,∠ABC＝90°,CB＝4,AB ＝2,以AC 为直角边向外作等腰Rt△DAC,连接BD,求BD 得长;

(3)拓展延伸

如图3,在四边形ABCD 中,∠ABC＝∠ADC＝90°,CB＝4,AB ＝2,DC ＝DA,请直接写出BD 得长.

【分析】(1)通过证明△ADB≌△EAC,可得结论:BC ＝AB ＋AC ＝BD ＋CE;

(2)过D 作DE⊥AB,交BA 得延长线于E,同理证明△ABC≌△DEA,可得DE ＝AB ＝