四边形的专题复习

第四章四边形性质探索

[复习要求]

(1)了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系．了解四边形的不稳定性；

(2)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）．了解中心对称图形及其基本性质；

(3)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；

(4)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论；

(5)知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺平面，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计；

［概念与规律］（请同学们边画图边记忆----概念很重要）

1．多边形的分类：

2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：

（1）平行四边形

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫对角线。

性质：

平行四边形对边相等。

平行四边形对角相等, 邻角互补.

平行四边形的对角线互相平分。

若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

判定：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（2）菱形：

定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S 菱形=L1.L2/2）。

（3）矩形：

定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：矩形的对角线相等；四个角都是直角。

矩形的判别方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形；

对角线相等且平分的四边形是矩形；

有三个角是直角的四边形是矩形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。

（4）正方形：

定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形的性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角

线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

（5）梯形：

定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。

两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

（6）等腰梯形：

定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

判别方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；

对角线相等的梯形是等腰梯形。

重要辅助线：

①常连结四边形的对角线;

②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

3．在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首位顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。多边形的边、顶点、内角和的含义与三角形相同。

同一个顶点引出对角线（n-3）条

同一个顶点引出三角形（n-2）个

在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形。

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的外角和。

多边形的内角和=（n-2）.180°；

多边形的外角和都等于360；

正n边形的内角（n-2）·180º/n。

一般的，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。三角形、四边形和正六边形都可以密铺。

4．中心对称图形： 在平面内，一个图形绕某个顶点旋转180º，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 当n 为大于或等于3的偶数时，正n 边形为中心对称图形。 ★四边形

1、四边形的内角和定理：四边形内角和等于360°；

2、多边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n －2)×180°；

3、多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°；

4、中心对称：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称。

5、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够和原来的图形互相重合，那么就说这个图形叫做中心对称图形。平行四边形是中心对称图形。

6、中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

7、四边形一般性质（角）

⑴内角和：360°；外角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 2．特殊四边形 ⑴研究四边形的一般方法: 定义→性质→判定

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 ⑵ 判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形──↑ （4）对角线的纽带作用：

[基础训练]（10分钟） 1、（1）在□ABCD 中，∠A=44°，则∠B= ，∠C= 。

（2）若□ABCD 的周长为40cm ， AB:BC=2:3， 则CD= ， AD= 。 2．（1）若菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则此菱形的周长为__ ___cm ，面积为

________cm 2

．

（2）已知四边形ABCD 中，AD ‖BC, AB ‖CD, 要使四边形ABCD 为菱形还需 添加的条件是 。

3．正方形的边长为1cm ，则它的对角线长为______cm ，对角线与一边所夹的角是______°．

角线

积

称性

轴对称

中心

对称