浅谈级数的绝对收敛与条件收敛

pk
mk 1 1
u
mk 1 2
u )
mk
A A
k
k -1
同理可得：
B B
k
k -1
A B (u
n n 1
mn1 1
u
mn 1 2
mn1 2
u )
mn
mn -1
B (u
n 1
mn1 1
u
n
u )
n1
则
an a
n1 n1


/ n
于是得到
，
,
an = an/
n1 n1


对一般项级数 0
an 设 Un
n1
| an | an 2
0
Vn=
| an | an 2
,
n=1,2,…,
显然有
u n | an | ,
n1
vn | an | , n 1, 2, ,
k
，
k -1
B B
k
并且
k -1
lim( A - B ) 0
k
即证得级数
an 收敛于唯一一点 .
n1
即是
(v v v ) (u u u ) (v v v ) - (u u u ) 0
浅谈级数的绝对收敛与条件收敛
（电子科技大学 倪浩 英才实验学院 2016090201012）
【摘要】 级数的敛散性判断是级数问题研究的关键.本文主要通过研究条件收敛与绝对收敛来探讨一般项 级数的敛散性，进而讨论条件级数与绝对级数的重排问题. 【关键词】 任意项级数 条件收敛 绝对收敛 重排
在研究级数的敛散性时，我们可以通过达朗贝尔判别法和柯西判别法可以判断正项级数 的敛散性，而对于非正项级数来说，我们却没有太多好的办法.目前最常用的就是莱布尼兹 判别法， 但莱布尼兹判别法也仅仅是针对交错级数的一种判别方法， 并不是一般项级数的判 别方法，对于更一般的级数，我们可以将其转化为正项级数，在讨论其敛散性，由此我们想 到要讨论加绝对值后这个级数的敛散性有什么变化， 从而引入了条件收敛与绝对收敛的概念. 然后对比正项级数，我们讨论绝对收敛和条件收敛在交换任意项后级数的性质。 定理 1 如果级数
于是我们可以得到 以此类推，我们可以得到 且
必定包含在闭区间B , A 中；
2 2
A B (u
n nLeabharlann Baidu1 mn1 1
mn1 1
u
mn1 2
u )
mn
B (u
n 1 n 1
u
p n1 1
mn 1 2
u )

| an | 收敛，那么级数 an 也收敛.
n1


n1
证明： 由于级数
| an | 收敛 ，我们可以得到 | an1 | | an2 | | an p | ，
n1
由柯西收敛准则可得，对 又因为 |
0 ，存在 N，当 n>N 时，对一切自然数 p,此式成立.
lim un= lim vn=0
n n
然后我们任意给定的一个
R ，证明必存在 an 的一个重排 an/ ，使得
n1
an/ =
n1

先取
A u u u
1 1 2 m1
且 再令
u u u
1 2 m1 -1
并且
a (u
n1 / n=
v )
/ n =
u
n1

/ n
v
n1

/ n=
un – vn = (un vn ) = an
n1 n1 n1 n1




综上所述，对于绝对收敛的任意项级数重排后仍然收敛，且其和不变.
定理 3 （黎曼级数定理）黎曼说明了如果一个级数条件收敛，那么交换级数中项的次序可 使该级数收敛于任一常数，甚至是发散.
B u u u （ - v v v ）
1 1 2 m1 1 2 p1
且
u u u （ - v v v ）
1 2 m1 1 2
于是我们可以得到 然后我们再令 且
必定包含在闭区间B , A 中；
1 1
p1 1
A B (u u u )
mn
A -u
lim un= lim vn=0
n n
lim A 同理可得 lim B
k k
k k
lim( A - B ) 0
k k k
综上所述：对任意给定的一个ξ R ，必存在
an 的一个重排 a
n1

/ n 使得
an/ =ξ.

an 绝对收敛，则重排的级数 an/ 也是绝对收敛的，且其和不变.
n1 n1 n1 / n 前 n 项和为 Sn,则 Sn


证明：假设
an 是正项级数， a
n1 n1
an ,即 an/ 前 n
n1 n1 n1


项和极限存在.证得
an/ 绝对收敛，同样的我们也可以把 an 看作是 an/ 的重排.
pk 1 1 pk 1 2 pk mk 1 1
mk 1 2
lim un= lim vn=0
n
n
pk 1 2 pk
mk
pk 1 1
mk 1 1
mk 1 2
mk
A A (v
k k 1
pk 1 1
v
pk 1 2
v ) (u
n1 / n n1 n1 / n n1
由比较判别法知正项级数

un 与 vn 均收敛,且 u = un v = vn
n1 n1

从而，级数

| an/ | = (un/ vn/ ) 也收敛，即 an/ 绝对收敛.
n1 n1 n1 / n
n1

【参考文献】 【1】 卢雪莹， 赵福军， 王瑜， 安杨.Riemann 定理的推广.西安： 高等数学研究， ,2012. 【2】陈文灯，黄先开.考研数学复习指南：理工类【M】.2008 版.北京：世界图书出 版公司，2008:199.
由柯西
an1 an 2 an p | | an1 | | an 2 | | an p | ，
收敛准则可知，
an 也收敛.
n1


(1) n1 但是，我们发现这个定理反过来却并不成立，比如交错级数 ，级数本身收 n n 1
敛，但给级数加绝对值后就变成发散的调和级数.原因在于收敛级数的前 n 项和极限存在， 但取绝对值后前 n 项和变大，可能就不再收敛于一个常数.并且我们也不能通过一个级数取 绝对值后发散判定这个级数本身发散.我们称这种本身收敛，但取绝对值后不收敛的级数条 件收敛. 此外，绝对收敛和条件收敛在很多性质上都有着较大差异.正项级数交换任意项后，级 数收敛性保持不变，但条件收敛级数并不具有这样的性质. 定理 2 设级数
证明：设级数
an 条件收敛,记 un=
n1 n1

| an | an 2
,
vn=
| an | an 2
n1
n=1,2,…
显然，数列
un 是级数 an 中的正项组成的数列，数列 vn 是级数 an 中的负项取绝对
值组成的数列.由于
an 条件收敛，我们得到：
n1

2 1 m1 1
m1 2
m2
B (u u u )
1 m1 1
m1 2
m2 -1
同理，我们令 且
B A (v v
2 2 p1 1
p1 2
v )
p2
A (v v v )
2 p1 1 p1 2 p2 -1
mn -1
pn 1 2
B A (v
n
v
pn1 2
v )
pn pn -1
且
A (v
n 1
pn1 1
v
v )
n n
于是我们可以得到
必定包含在闭区间B , A 中；
根据闭区间套定理我们只需要使
k R 都有
k k
A A