二元非线性方程组求根的牛顿迭代法

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山 东 轻 工 业 学 院 学 报
第 23 卷
有直到 ( n + 1 ) 阶的连续偏导数 , ( x0 + h, y0 + k ) 为 此邻域内任一点 , 则有 9 9 +k f ( x0 , y0 ) + 9x 9y 2 n 9 9 9 9 1 h +k h +k f ( x0 , y0 ) + … + 9x 9y 9x 9y n!
收稿日期 : 2009 - 09 - 03 作者简介 : 徐瑞民 ( 1981 - ) ,男 ,山东省滨州市人 ,山东轻工业学院数理学院助教 ,硕士 ,研究方向 : 主要从事金融数学理论研究 .
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
2!
( x - x0 )
2
+…
+
f
( n)
( x0 ) n!
( x - x0 )
n
+ Rn ( x )
( n + 1)
其中 R n ( x ) =
(ξ ) f n +1 ( x - x0 ) , 这里 ξ 是 x0 ( n + 1) !
[3 ]
与 x 之间的某个值 。 定理 2 (二元函数的 Taylor公式 ) 设 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续且
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迭代公式为 :
xk + 1 = xk + yk + 1 = yk +
通过迭代公式 ( 3 ) 可迭代出当 k = 1, 2, …时 , ( xk , yk )的值 , 当 | ( xk + 1 , yk + 1 ) | ≤ δ(δ > 0 为给定的 误差控制项 ) 时 , 原方程组的根即为 ( xk , yk ) 。这就 是二元函数牛顿 ( New ton ) 法 。
9 9 h f ( x, y ) | x = x 0 + k f ( x, y ) | y = y 0 9x 9y 其中 h = x - x0 , k = y - y0 于是方程 f ( x, y ) = 0 可近似的表示为 9 9 f ( xk , yk ) + h f ( x, y ) |x = x k + k f ( x, y) | y = yk =0 9x 9y 即 f ( xk , yk ) + ( x - xk ) fx ( xk , yk ) + ( y - yk ) fy ( xk , yk ) = 0 同理设 z = g ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内 连续且有直到 2 阶的连续偏导数 , ( x0 + h, y0 + k ) 为 此邻域内任一点 , 则同样有 g ( x0 + h, y0 + k ) ≈ g ( x0 , y0 ) + 9 9 h g ( x, y ) | x = x 0 + k g ( x, y ) | y = y 0 9x 9x 其中 h = x - x0 , k = y - y0 于是方程 g ( x, y ) = 0 可近似的表示为
(0 < θ < 1 ). 其 中
m
9 9 h +k 9x 9y
f ( x0 , y0 ) 表 示
p =0
∑
Cm h k
p
p m - p
9 f m - p | ( x 0, y 0) 9x 9y
p [1 ]
m
定理 3:一元非线性方程求根的牛顿牛顿法 ( xk ) ≠0, 设已知方程 f ( x ) = 0有近似根 xk (假定 f′ 将函数 f ( x )在点 xk 处展开 ,有 ( xk ) ( x - xk ) , f ( x ) ≈ f ( xk ) + f ′ 于是方程 f ( x ) = 0 可近似的表示为 ( xk ) ( x - xk ) = 0 f ( xk ) + f ′ 这是个线性方程 , 记其根为 xk + 1 , 则 xk + 1的计算 公式为 xk + 1
0 引言
非线性方程 f ( x ) = 0 的数值解法有逐步搜索 [1 ] 法、 区间二分法 、 迭代法 、 牛顿迭代法等 , 那么 , 对 f ( x, y ) = 0 于对于非线性方程组 , 其牛顿迭代法的 g ( x, y ) = 0 迭代方程是什么 ? 本文根据一元函数的 Taylor公式 和一元非线性方程牛顿迭代法之间的关系 , 利用多 元函数的 Taylor公式推导出了二元非线性方程组的 牛顿迭代法 , 在此基础上利用推导出的二元非线性 方程组求根的牛顿迭代法通过 m atlab 仿真计算出 一个方程组的根 , 检验了所得方法的有效性 。
f ( x0 + h, y0 + k) = f ( x0 , y0 ) + h
g ( xk , yk ) + h
9 9 g ( x, y ) | x = x k + k g ( x, y ) | y = y k = 0 9x 9x
即 g ( xk , yk ) + ( x - xk ) gx ( xk , yk ) + ( y - yk ) gy ( xk , yk ) =0 于是得到方程组
第 23 卷 第 4期 2009 年 11 月
山 东 轻 工 业 学 院 学 报 JOURNAL OF SHANDONG I N STITUTE OF L IGHT I NDUSTRY
Vol . 23 No. 4 Nov . 2009
文章编号 : 1004 - 4280 (2009) 04 - 0089 - 03
Abstract: According to the relation betw een Taylor’ s law for one independent variable and New ton ’ s m ethod about the nonlinear function of one independent variable, a New ton ’ s method for the nonlinear equation set of two independent variables was derived by Taylor’s law for moltivariate function based on this . it is possible to verify the m ethod through MATLAb to calculate the root of the equation. Key words: New ton ’ s Iterative m ethod; function of one independent variable; function of t wo independent variables; Taylor for mula; M atlab
二元非线性方程组求根的牛顿迭代法
徐瑞民
(山东轻工业学院 数理学院 ,山东 济南 250353)
摘要 : 本文根据一元函数的 Taylor公式和求解一元非线性方程的牛顿迭代法之间的关系 ,利用多元函数的 Taylor公 式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法 ; 在此基础上 ,通过 MATLAB 仿真计算一个方程组的根来说明该方法 是可行的 。 关键词 : 牛顿迭代法 ; 一元函数 ; 二元函数 ; Tay来自百度文库r公式 ; M atlab 中图分类号 : O242. 1 文献标识码 : A
f ( xk , yk ) + ( x - xk ) fx ( xk , yk ) + ( y - yk ) fy ( xk , yk ) = 0 g ( xk , yk ) + ( x - xk ) gx ( xk , yk ) + ( y - yk ) gy ( xk , yk ) = 0
1 2!
f ( xk ) = xk ( k = 0, 1, …) ( xk ) f′
从而 :
x = xk + y = yk + f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) ( 1)
2 二元函数的牛顿迭代法
设 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续且 有直到 2 阶的连续偏导数 , ( x0 + h, y0 + k ) 为此邻域 内任一点 , 则有
f ( x0 + h, y0 + k ) ≈ f ( x0 , y0 ) +
记符号
gfx - fgx | ( x k, y k) = g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fgy - gfy | ( x k, y k) = f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx fy - fx gy | ( x k, y k) = gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) ( 1 ) 式可改写为 x = xk + y = yk + fgy - gfy | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) gfx - fgx | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) fgy - gfy | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) gfx - fgx | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) ( 3) ( 2)
f ( x0 , y0 ) +
1
( n + 1) !
h
9 9 +k 9x 9y
n +1
f ( x0 +θ k, y0 +θ k) ,
m
求解这个方程组 : 当 gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) ≠
0时
x= xk + f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) y= yk + g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk )
Newton ’ s m ethod for the non lin ear function of two i n dependen t var ia bles
XU Rui2 m in
( School of M athematics and Physics, Shandong Institute of L ight Industry, J inan 250353, China)
1 基本定理 、 结论
定理 1 (一元函数的 Taylor公式 )
[2 ]
如果函数 f ( x ) 在含有 x0 的某个开区间 ( a, b ) 内具有直 ( n + 1 ) 阶的导数 , 则对任一 x ∈ ( a, b ) , 有
( x0 ) ( x - x0 ) + f ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) f″