模块二讲重点立体几何公开课PPT全文课件立体几何小题(一)线面关系及空间角-2021届高考数学二轮复

③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心，半径r＝
2 2
a(a
为正方体的棱长)．
(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体
的一部分)：
①外接球：球心是正四面体的中心，半径r＝
6 4
a(a为正四面
体的棱长)．
②内切球：球心是正四面体的中心，半径r＝
6 12
a(a为正四面
体的棱长)．
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面面垂直证明的两种思路 (1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一 个平面的一条垂线． (2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直 二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问 题．
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求二面角的常用方法 (1)传统方法： 定义法：如图，cosθ＝APBB. 三垂线法：点P到平面α的距离PA＝d，点P到交线l的距离PB＝ d1，则sinθ＝dd1. 关键：求出点P到平面α的距离d.
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面面平行的性质 (1)面面平行的性质定理的作用：主要用来证明线线平行． (2)面面平行的性质的几个重要结论： ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于 另一个平面．
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(2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与平面内两条相 交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．
(3)用线面垂直的性质：若两平行线中的一条垂直于平面， 则另一条也垂直于这个平面．
第8讲 立体几何
热点调研
一、基础知识
与球有关的组合体的常用结论
(1)长方体的外接球： ①球心：体对角线的交点；
②半径：r＝ a2＋2b2＋c2(a，b，c为长方体的长、宽、高)． (2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：
①外接球：球心是正方体中心，半径r＝
3 2
a(a为正方体的棱
长)；
②内切球：球心是正方体中心，半径r＝2a(a为正方体的棱长)；
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(3)空间向量法求线面角的规范步骤： ①说明并证明共点三线两两垂直，建立空间直角坐标系， 写相关点的坐标，写相关向量e的坐标． ②求相关平面的法向量n. ③设相关线面角为θ，则sinθ＝||ee|··|nn||. ④精准回答！
(4)用面面平行的性质：若一条直线垂直于两平行平面之 一，则必垂直于另一平面．
(5)用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂 直于交线的直线必垂直于另一个平面．
(6)用面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平 面，则两平面的交线垂直于第三个平面．
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与球有关的组合体问题常涉及内切和外接．解题时要认 真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量 关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体时，切点为正 方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正 方体时，正方体的各个顶点均在球面上，正方体的体对角线长 等于球的直径．球与其他旋转体组合时，通常作它们的轴截面 解题；球与多面体组合时，通常过多面体的一条侧棱和球心及 切点或接点作截面图进行解题．
(2)向量法：此法解题关键在于找出两异面直线的方向向
量，求两向量的数量积，而要求两向量的数量积，可以求两向
量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示，两向量的夹
角范围是[0，π]，而两异面直线所成角的范围是 0，π2 ，应注
意加以区分．设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝
a·b |a||b|
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二、常用方法结论 求异面直线所成的角主要有两种方法
(1)作图法：其解决方法常采用“平移线段法”，平移的方 法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点 (线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．最终将空间角转 化为平面角，利用解三角形的知识求解．
斛米”(古制1丈10尺，1斛1.62立方尺，圆周率π取3)，则该圆
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(1)证线面平行的方法： ①利用判定定理证明，即“线线平行，则线面平行”，但 要注意强调两点，即“线在面内”和“线不在面内”． ②利用面面平行的性质定理证明，即“面面平行，则线面 平行”． ③利用平面的垂线(法线)证明，即“垂直于平面的法线的直 线与平面平行或在平面内”． (2)有中点，证平行，联想中位线，三角形的中位线平行且 等于底边的一半．
线面角、二面角 (1)求线面角的关键是确定直Baidu Nhomakorabea在平面内的射影．为此，必 须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线．可以 利用两个平面垂直的性质作线面垂直．同时，垂线段的确定， 应体现已知条件，便于求解．
(2)二面角的大小是用它的平面角来度量 的．找(或作)出二面角的平面角，并且求出其大 小，常用下面的方法：如图，由一个在半平面α内 不在棱l上的A点向另一半平面β作垂线，垂足为 B，由点B(或点A)向二面角的棱l作垂线，垂足为O，连接AO， BO，则∠AOB即为二面角的平面角．然后通过解三角形求解．
(3)空间向量法求二面角的规范步骤：
①说明或证明共点的三线两两垂直，建立空间直角坐标
系，写相关点坐标，写相关向量的坐标．
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(3)若直线a的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线a与平
面α所成的角为θ，则sinθ＝|vv|·|nn|.
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(2)空间向量法： 二面角的范围：θ∈[0，π]．
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|
cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|
②求两个半平面的法向量n1，n2. ③计算cos〈n1·n2〉＝|nn11|··n|n22|. ④说明由图知二面角是锐角还是钝角，根据需要适当调整 函数值．
⑤精确回答：看准题目要求，是求余弦，还是求正弦还是 正切？是求角还是求三角函数值？
判定面面垂直的方法 (1)利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面 角，计算平面角为90°)； (2)利用面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β. (3)向量法：证明两个平面的法向量m，n垂直，即证m·n＝0.
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线面平行的判定方法 (1)利用直线与平面平行的判定定理，使用该定理时，应注 意定理成立时所满足的条件． (2)利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行．
，
其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
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点到面的距离
(1)直接法：作点到面的垂线．
(2)在三棱锥中用等体积法求解．
(3)向量法：d＝
|n·M→A| |n|
(n为平面的法向量，A为平面上一
点，MA为过A点的斜线段)．
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②夹在两个平行平面之间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段对应成 比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面 互相平行．
判定直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内任意一 条直线，则这条直线垂直于该平面．
第一课时 立体几何小题(一) 线面关系及空间角
押题一 简单几何体面积与体积的计算
(1)(2020·唐山市第一次模拟)《孙子算经》是我国古代 内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五
丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形
容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少
求线面角的常用方法 (1)传统方法：如图1，sinθ＝AdB. 难点：O点的位置不易确定． 突破点：无需确定O点的位置，只需求出到平面α的距离d. (2)空间向量法求线面角： 如图2，sinθ＝|cos〈A→B，n〉|＝||A→ A→BB|··|nn||.
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