§2 三角形中的几何计算ppt课件

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第二章 解三角形
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2.三角形内角和定理 在△ABC 中 (1)A＋B＋C＝ π ； (2)sin (A＋B)＝ sin C，cos(A＋B)＝ －cos C ， cos A＋B ＝ sin 2 C ， 2
A＋B cos C sin ＝ . 2 2
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3．三角形的面积公式 1 (1)用边 a 及 a 上的高 ha 表示为 S＝ aha； 2 1 (2)用两边 a，b 及夹角 c 表示为 S＝ 2absin C； (3)用三边 a，b，c 及内切圆半径 r 表示为 S＝
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→ → 4．已知锐角三角形 ABC 中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC → → 的面积为 3，则AB· AC＝________.
1→ → 解析： ∵S＝ |AB||AC|· sin A， 2 1 ∴ 3＝ ×4×sin A 2 3 ∴sin A＝ ，又 A 为锐角， 2 1 ∴cos A＝ ， 2
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如图所示， 已知在四边形 ABCD 中， AD⊥CD， AD＝10， AB＝14，∠BDA＝60° ，∠BCD＝135° ，求 BC 的长．
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[策略点睛]
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[规范作答] 在△ABD 中，设 BD＝x， 由余弦定理有 AB2＝BD2＋AD2－2AD· BD· cos∠ADB， 即 142＝x2＋102－20xcos 60° ，∴x2－10x－96＝0， ∴x＝16(x＝－6 舍去)，即 BD＝16. BC BD 在△BCD 中，由正弦定理 ＝ ， sin ∠CDB sin∠BCD 16sin 30° ∴BC＝ ＝8 2. sin 135°
§2 三角形中的几何计算
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第二章 解三角形
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1.掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 2.提高分析问题、解决问题的能力.
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第二章 解三角形
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1.利用正、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题是本
节考查的热点．
2.本节内容常与平面几何、三角函数等知识综合考查． 3.各种题型均可出现，以中低档题为主.
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(2)在△ABC 中，由正弦定理得 AC 10 5 1 AB＝ · sin C＝ × ＝2，BD＝ AB＝1. sin B 5 2 2 2 在△BCD 中，由余弦定理得 CD＝ BD2＋BC2－2BD· BCcos B ＝ 2 1＋18－2×1×3 2× ＝ 13. 2
求AD的长．
解析：如图，连接 BC， 在△ABC 中，由余弦定理得 BC＝ 22＋12－2×2×1×cos 120° ＝ 7， 在△ABC 中，由正弦定理知： 2 7 ＝ ， sin 120° sin∠ACB
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21 ∴sin∠ACB＝ . 7 又∵∠ACD＝90° ， 21 2 7 ∴cos∠BCD＝ ，sin∠BCD＝ ， 7 7 由 AB⊥BD，AC⊥CD，∠BAC＝120° 得∠BDC＝60° . 在△BCD 中，由正弦定理得，
答案： C
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3．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外
接圆半径为________．
3 1 解析： 设底角为 α，则 cos α＝ ＝ ， 12 4 15 ∴sinα＝ ， 4 12 16 15 ∴2R＝ ＝ ， sin α 5 8 15 ∴R＝ . 5 8 15 答案： 5
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解析： ∵sin2 B＝sin A· sin C， 由正弦定理得 b2＝ac 又∵2b＝a＋c，
2 2 a ＋ c ＋2ac 2 ∴b ＝ ， 4
∴4ac＝a2＋c2＋2ac， ∴(a－c)2＝0，∴a＝c， ∴b2＝a2，∴b＝a，∴a＝b＝c. 答案： C
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[题后感悟] 解决此类问题要处理好两个方面 (1)找出已知某一边长的三角形，从中筛选出可解三角形． (2) 找出要求的线段所在的三角形，确定解该三角形所需的 条件． 解题时，只要将这两方面结合起来，便可得到明确的解题 思路．
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1.已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，
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1 2 2．已知△ABC 的三边长 a，b，c，且面积 S△ABC＝ (b 4 ＋c2－a2)，则角 A 等于( A．15° C．45° )
B．30°
D．120° 1 1 2 2 解析： ∵S△ABC＝ bcsin A＝ (b ＋c －a2) 2 4
b2＋c2－a2 ∴ ＝sin A＝cos A，∴A＝45° . 2bc
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1．正弦定理和余弦定理 三角形中任何一边的平方等 三角形任一边与 于 语言叙 其所对角的正弦值 的 其余两边的平方和减去这两边 述 比相等 与其夹角余弦的两倍 b a 2＋c2－2bcco A b 2 ＝ sin B ＝ a＝ sin A 公式表 b2＝ a2＋c2－2accos B c 达 c2＝ a2＋b2－2abcos C sin C ＝2R
1 → → ∴AB· AC＝4×1× ＝2. 2 答案： 2
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2 5 5．在△ABC 中，B＝45° ，AC＝ 10，cos C＝ . 5 (1)求 BC 边的长； (2)记 AB 的中点为 D，求中线 CD 的长．
2 5 5 解析： (1)由 cos C＝ 得 sin C＝ ， 5 5 2 3 10 sin A＝sin(180° －45° －C)＝ (cos C＋sin C)＝ . 2 10 AC 10 3 10 由正弦定理知 BC＝ · sin A＝ × ＝3 2. sin B 10 2 2
1 r(a＋b＋c) 2
．
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1．在△ABC 中，a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边， 2b＝a＋c 且 sin A，sin B，sin C 成等比数列，则△ABC 的形 状为( ) B．直角三角形 D．等腰直角三角形
A．等腰三角形 C．正三角形