数学分析考试样卷

嘉应学院数学与应用数学专业20XX 年本科插班生考试

《数学分析》考试样卷(A 卷)

一、填空题（每题3分，共18分）：

1、设2211f x x x x ⎛⎫+

=+ ⎪⎝⎭，则()f x =_____________.2、求23sin(3)lim 6

x x x x →-=--_____________.3、设()'f a 存在，则()()

02lim

2t f a t f a t t →+-+=_____________.4、曲线()2ln y x =的拐点是_____________.

5、幂级数()131n n n x n ∞

=+∑的收敛区间是_____________.

6、(

),f x y =则()'2,1y f =_____________.二、用N ε-

定义证明lim 1n n

→∞=.（8分）三、计算题（每题5分，共25分）：

1、0ln sin 3lim ln sin x x x

+→2

、

dx x ⎰3

、2

0π⎰4、设xy y x z )(+=,求dz .

5、二重积分()22D x

y d σ+⎰⎰，其中(

){,01,D x y x y =

≤≤≤≤.四、证明：积分()()()(),220,02cos sin 2cos sin x y x y y x dx y x x y dy -+-⎰与路径无关，并求其

值.（8分）

五、讨论函数列()22

,1,2,1n x f x n n x ==+ 在(),D =-∞+∞是否一致收敛.（8分）

六、求幂级数()11n n n n x

∞=+∑的和函数.（7分）

七、求曲面积分

⎰⎰S

yzdzdx ,其中S 是球面1222=++z y x 的上半部分并取外侧为正向.（8分）八、讨论笛卡尔（Descartes ）叶形线0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x f y =的一阶和

二阶导数,并求隐函数的极值.（8分）九、证明积分2

02π=⎰∞

+-dx e x 并计算含参量反常积分⎰+∞-0cos 2rxdx e x 的值.(5分)十、设函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，函数)(x g 在D 上有界.证明级数

∑)()(x u x g n 在D 上也一致收敛.（5分）