初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题02 乘法公式

专题02 乘法公式

阅读与思考

乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：

1．熟悉每个公式的结构特征；

2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；

5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．

例题与求解

【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．

（全国初中数字联赛试题）

解题思路：因2

2

()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．

【例2】（1）已知,a b 满足等式2

2

20,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )

A ．x y ≤

B ．x y ≥

C ．x y <

D ．x y >

（山西省太原市竞赛试题）

（2）已知,,a b c 满足2

2

2

27,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

（河北省竞赛试题）

解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．

【例3】计算下列各题：

（1） 2

4

8

6(71)(71)(71)(71)1+++++；

（天津市竞赛试题） （2）2

2

1.23450.7655

2.4690.7655++⨯；

（“希望杯”邀请赛试题）

（3）2

2

2

22222(13599)(246100)+++

+-++++．

解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．

【例4】设2

2

1,2a b a b +=+=，求77

a b +的值． （西安市竞赛试题）

解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77

a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

【例5】观察：

22

2123415;

2345111;3456119;

⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+

=

（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．

【例6】设,,a b c 满足2

2

2

3

3

3

1,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：

（1）abc 的值； （2）4

4

4

a b c ++的值．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．

能力训练

A 级

1．已知2

2(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数48

31-能被30以内的两位偶数整除的是 ．

3．已知2

2

2

246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．

（天津市竞赛试题）

4．若3

3

10,100,x y x y +=+=则2

2

x y += ．

5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2

2

2

2

()()a b x y ++的值为 ．

（河北省竞赛试题）

6．若n 满足2

2

(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000-

---等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000

D ．

2001

4000

8．若2

2

2

2

10276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）

A ．正数

B ．负数

C ．非负数

D ．可正可负

9．若2

2

2,4,x y x y -=+=则1992

1992x

y +的值是（ ）

A ．4

B ．19922

C ．21992

D ．41992

（“希望杯”邀请赛试题）

10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能

组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）

11．设9

3

10382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）

12．观察下面各式的规律：

222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;

⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯

+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．