第四章哈肯的半经典激光理论

ψ (r , t ) = Ca (t )e −iω tφa (r ) + Cb e− iω tφb (r )
a b
可以得到
1 Ca = Vab eiωt Cb i 1 Cb = Vba e − iωt Ca i
* * * Vab = ∫ φa V φb d 3 r = ∫ φa qrEφb d 3 r = E ∫ φa qrφb d 3 r = Eθ ab
极化强度
Pλ (t ) = Pλ ( + ) (t ) + Pλ ( − ) (t )
( + ) (t )e − iΩλ t = A′ (t )e − iΩλ t Pλ ( + ) (t ) = P λ λ ( − ) (t ) = P ( − ) (t )eiΩλ t = A′ * (t )eiΩλ t P λ λ λ
慢变振幅近似
( + ) (t )e − iΩλ t = A (t )e − iΩλ t Eλ ( + ) (t ) = E λ λ ( + ) (t )e − iΩλ t = A′ (t )e − iΩλ t Pλ ( + ) (t ) = P λ λ
dAλ << Ω λ Aλ dt ′ dAλ ′ << Ω λ Aλ dt
g μλ = g λ exp ⎡ ⎣ikλ xμ ⎤ ⎦,
( ∑ λ
)
α μ = α μ exp ⎡ ⎣ikλ xμ ⎤ ⎦.
(4) 共振
ω = Ωλ = ω
′ + iα μ ′′ = iα μ ′′ αμ = αμ
(5) 引入
g λ = ig
g = θ ab Ω λ / ( 2 ε 0 )
得到
a = ( −iω − κ ) a − ig ∑ α μ ,
再利用慢变振幅近似和旋转波近似对其进行简化
光场
Eλ (t ) = Eλ ( + ) (t ) + Eλ ( − ) (t )
( + ) (t )e − iΩλ t = A (t )e − iΩλ t Eλ ( + ) (t ) = E λ λ ( − ) (t )eiΩλ t = A * (t )eiΩλ t Eλ ( − ) (t ) = E λ λ
* d μ = −γ ( d μ − d 0 ) + 2ig (α μ a* − α μ a ).
得到
λ′
Pλ ( + ) (t ) = −∑ θ ba uλ * ( xμ )α μ (t )
μ
引入第 λ 个模的光场与第 μ 个原子作用的耦合常数
g μλ = iθ abuλ ( xμ ) Ω λ /(2=ε 0 )
哈肯的半经典激光方程
λ = (−iΩ λ − κ λ )aλ − i ∑ g *μλα μ a
第四章 哈肯的半经典激光理论
4.1 麦克斯韦方程与场方程
麦克斯韦方程组 ∇i D = 0 ∇i B = 0
其中
∂B ∇× E = − ∂t ∂D ∇× H = J + ∂t JG JG J G D = ε 0 E + P 电位移矢量 J G JJ G B = μ0 H 磁感应强度 J G JG 电流密度 J =σ E
d 2 Aλ dAλ << Ω λ dt 2 dt ′ ′ d 2 Aλ dAλ << Ω λ 2 dt dt
简化后的M-B方程
( + ) = (−iΩ − κ ) E ( + ) + (iΩ / 2ε ) P ( + ) E 0 λ λ λ λ λ λ
1 μ = ( −iωμ − γ ⊥ ) α μ − d μ ∑ Eλ ( + ) (t )uλ ( xμ )θ ab α i= λ
偶极矩
μ e − iΩ λ t αμ = α
应用旋转波近似，得到
( + ) + (σ / ε ) E ( + ) = (−1/ ε ) P ( + ) Ω λ 2 Eλ ( + ) + E 0 0 λ λ λ
1 μ = ( −iωμ − γ ⊥ ) α μ − d μ ∑ Eλ ( + ) (t )uλ ( xμ )θ ab α i= λ ⎞ (−) = −γ ( d − d ) + 2 ⎛ α * E ( + ) (t )u ( x )θ − α d E t u x θ ( ) ( ) 0 μ & μ μ∑ λ λ μ ab μ∑ λ λ μ ba ⎟ i= ⎜ λ λ ⎝ ⎠
引入量纲为1的光场
Eλ ( + ) = i =Ω λ /(2ε 0 )aλ Eλ ( − ) = −i =Ω λ /(2ε 0 )a*λ
(+) 用原子偶极矩 α μ 表示场方程中的极化强度 Pλ
P ( + ) ( x, t ) = −∑ δ ( x − xμ )θ baα μ (t )
μ
P ( + ) ( x, t ) = ∑ Pλ ′( + ) (t )uλ ′ ( x)
a = α μ = ( d μ − d0 ) = 0
为讨论解的不稳定性， a = a + δ a = δ a,
α μ = α μ + δα μ = δα μ ,
d μ = d μ + δ d μ = d0 + δ d μ .
代入
a = ( −iω − κ ) a − ig ∑ α μ ,
μ
α μ = ( −iω − γ ⊥ ) α μ + igad μ ,
麦克斯韦方程的应用
4.2 光学布洛赫方程的简明推导
φa ωa φb ωb φa ωa
本征态 能量本征值
φb
ωb
原子跃迁角频率
ω = ( Ea − Eb ) / = ωa − ωb
波函数
ψ (r , t ) = Ca (t )e −iω tφa (r ) + Cb e− iω tφb (r )
a b
μ = ( −iωμ − γ ⊥ ) α μ − α
1 d μ ∑ Eλ (t )uλ ( xμ )θ ab i= λ
2 * d μ = −γ & ( d μ − d 0 ) + (θ abα μ − α μθ ba ) ∑ Eλ (t )uλ ( xμ ) i= λ
其中，引入腔模
Ωλ kλ = c
场方程
JG JG J G 2 JG 1 ∂ E ∂E ∂ P Δ E − 2 2 − μ 0σ = μ0 2 , c ∂t ∂t ∂t
2
2 2 2 ∂ ∂ ∂ Δ = ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
对于非线性介质 如飞秒激光与空气相互作用的非线性薛定谔方程：
Phys. Rev. Lett. 92, 225002 (2004).
He-Ne, Ar, Kr及染料激光器 B类激光器
γ ⊥ >> κ , γ &
红宝石，钕玻璃，YAG和CO2激光器 C类激光器
来自百度文库
κ ≈ γ& ≈ γ⊥
远红外激光器
4.6 激光器M—B方程的稳定性和阈值
哈肯的半经典激光方程
aλ = (−iΩ λ − κ λ )aλ − i ∑ g *μλα μ
μ
α μ = ( −iωμ − γ ⊥ ) α μ + i ∑ g μλ aλ d μ
λ
一维驻波
uλ ( x) = N n sin(kλ x)
Nn =
驻波模式满足
2 L
∫ uλ ( x)uλ ( x)dx = δ λ λ
′ ′
将光场和极化强度按照驻波模式的展开式代入M-B方程
+ (σ / ε ) E = (−1/ ε ) P Ω λ 2 Eλ + E 0 0 λ λ λ
μ
μ = ( −iωμ − γ ⊥ ) α μ + i ∑ g μλ aλ d μ α
λ
= −γ ( d − d ) + 2i ( g * α a* − g α * a ) d ∑ μλ μ λ μλ μ λ μ & μ 0
λ
4.5 激光器的动力学分类
A类激光器
κ << γ ⊥ , γ &
ψ (r , t ) = Ca (t )e −iω tφa (r ) + Cb e− iω tφb (r )
a b
p = −{Ca Cb*e − iωtθba + CbCa*eiωtθ ab }
p = p(+) + p(−) p ( + ) = −α (t )θba p ( − ) = −α * (t )θ ab
光与原子作用的总哈密顿量
H = H0 +V
自由哈密顿量
H 0φa = =ωaφa H 0φb = =ωbφb
φa φb 正交归一
相互作用哈密顿量
V = −p•E
p = er = − e r = −qr
G G H = H 0 + qr • E
薛定谔方程
i ψ = Hψ
G G H = H 0 + qr • E
α (t ) = −iωα − γ ⊥α −
考虑泵浦 和衰减
1 α (t ) = −iωα − γ ⊥α − E (t )θ ab d i 2 d = −γ (d − d 0 ) + E (t )(θ abα * − αθ ba ) i
光学布洛赫方程(3.4)
ρab = − ( iω + γ ⊥ ) ρab + i
α (t ) = Ca Cb*e − iωt α * (t ) = CbCa*eiωt
1 α (t ) = −iωα − E (t )θ ab d i d = Ca − Cb d=
考虑泵浦 和衰减
2 2
2 E (t )(θ abα * − αθ ba ) i
1 E (t )θ ab d i 2 d = −γ (d − d 0 ) + E (t )(θ abα * − αθ ba ) i
⎞ (−) = −γ ( d − d ) + 2 ⎛ α * E ( + ) (t )u ( x )θ − α d E t u x θ ( ) ( ) 0 μ & μ μ∑ λ λ μ ab μ∑ λ λ μ ba ⎟ i= ⎜ λ λ ⎝ ⎠
κ λ = σ / 2ε 0
4.4 哈肯的激光方程
−1
Vab ( ρ aa − ρbb )
−1
ρ aa − ρbb = −γ [( ρ aa − ρbb ) − ( ρ aa − ρ bb ) 0 ] − 2(i
Vab = − μab E = θ ab E
Vab ρ ba + c.c.)
麦克斯韦－布洛赫方程
1 ( x, t ) = μ P ΔE ( x, t ) − 2 E ( x, t ) − μ0σ E 0 ( x, t ) , c 1 μ = ( −iωμ − γ ⊥ ) α μ − E ( xμ , t )θ ab d μ , α i=
λ
d μ = −γ ( d μ − d 0 ) + 2i ∑ ( g *μλα μ a*λ − g μλα *μ aλ )
λ
g μλ = iθ abuλ ( xμ ) Ωλ / ( 2=ε 0 )
(1) 对均匀加宽介质，各个原子的中心频率一样，即 ω μ = ω (2) 对于单模激光器，只需考虑一个腔模 Ωλ ，求和符号 只有一项． (3) 对于行波激光器
θ ab = ∫ φa*qrφb d 3 r = qrab = −erab = − μ ab
Ca = 1 1 Vab eiωt Cb = Eθ ab eiωt Cb i i
1 1 − iω t Cb = Vba e Ca = Eθba e− iωt Ca i i
p = ∫ψ * (− qr )ψ d 3 r
= −γ ( d − d ) + 2 E ( x , t ) (θ α * − α θ ) , d μ & μ μ ab μ μ ba 0 i=
4.3 谐振腔中的麦克斯韦布洛赫方程
麦克斯韦－布洛赫方程
1 ( x, t ) = μ P ΔE ( x, t ) − 2 E ( x, t ) − μ0σ E 0 ( x, t ) , c 1 μ = ( −iωμ − γ ⊥ ) α μ − E ( xμ , t )θ ab d μ , α i=
= −γ ( d − d ) + 2 E ( x , t ) (θ α * − α θ ) , d μ & μ μ ab μ μ ba 0 i=
对光场和极化强度按照驻波模式展开
E ( x, t ) = ∑ Eλ (t )uλ ( x)
λ
P ( x, t ) = ∑ Pλ (t )uλ ( x)
μ
α μ = ( −iω − γ ⊥ ) α μ + igad μ ,
* d μ = −γ ( d μ − d 0 ) + 2ig (α μ a* − α μ a ).
′′ 的上标 和 aλ , κ λ 的下标） （略去了α μ
首先考虑 d 0 较小(低于阈值)的情况． 求定态解
a = α μ = dμ = 0