第13讲 代换的思想方法

4．整体自身代换 ．
两边三次方得
即 u3=2x-(2x-1)u．
分解因式，得(u-1)(u2+u+2x)=0．
所以u＝1．原命题得证
5．局部代换 ． 例20 若x2-13x+1=0，求x4+x-4的个位数字
从而有x2+x-2＝167， 也即x4+x-4=1672-2． 易知x4＋x-4的个位数字是7．
2．无理式代换 ．
思路分析 此方程若用平方法，两次平方后将得到一 个四次方程，这是很难求解的．
y2+y-42=0．再往下解答不会遇到太大的困难．
3．倒数方程代换 ． 例3 解方程6x4＋7x3-36x2-7x+6=0． 思路分析 易见x=0不是原方程的根，原方程可变形为
6y2+7y-24=0．
1 3
10．和差代换 ． 例26 已知x＋y+z=0．求证：x3+y3+z3=3xyz． 思路分析 令x=a＋b，y=a-b．由x＋y＋z=0，得z=-2a．故 x3＋y3＋z3=(a+b)3＋(a-b)3+(-2a)3 =a3＋3a2b＋3ab2+b3+a3-3a2b＋3ab2-b3-8a3 =-6a3＋6ab2=3(a+b)(a-b)(-2a) =3xyz．
6．常值代换 ．
(A)P＞Q＞R； (B)P＜Q＜R；(C)P＜R＜Q； (D)P=R＜Q．
所以P=R＜Q．答案选(D)
7．逆向代换 ．
8．增量代换 ． 例23 设x、y、z∈R，x＋y＋z=1．求证：x2＋y2＋z2≥
1 3
结论推广： “设x1，x2，…，xn
9．插值代换 ． 例24 分解因式ab(a+b)-bc(b＋c)-ac(c-a)． 思路分析 作变换b+c=(b＋a)+(c-a)． 原式=ab(a＋b)-bc(a＋b)-bc(c-a)-ac(c-a) =b(a＋b)(a-c)-c(c-a)(b＋a) =(a+b)(a-c)(b+c)． 注：将原式中的(a＋b)变形为a＋c-c＋b，也可达到目的
第13讲 代换的思想方法 讲
----采他山之石,攻顽玉之坚 采他山之石, 采他山之石
一、数学各分支的知识性代换 1．有理式代换 2．无理式代换 ． ． 3．倒数方程代换 4．对称方程组代换 ． ． 5．指数式代换 6．对数式代换 ． ． 7．比值代换 8．复数代换 ． ． 9．取整代换 10．多变量代换 ． ． 二、技巧性代换 1．均值代换 2．比值代换 ． ． 3．轮换对称代换 ． 4．整体自身代换 ． 5．局部代换 6．常值代换 ． ． 7．逆向代换 8．增量代换 ． ． 9．插值代换 10．和差代换 ． ．
因t为整数，所以t=7，因此
7．多变量代换 ．
若u-v≠0，则有
若u-v=0，由u=v解出x3=3．
1．均值代换 ．
2．比值代换 ． 例17 若x、y、z为不等于1的正数，且
求证：xy·yx=yz·zy=xz·zx．
由此即可得所证结论
3．轮换对称代换 ． 对于含b＋c-a，c＋a-b，a＋b-c这类关于a、b、c的轮换对称式的问 题，一般可作代换s=a＋b＋c． 例18 证明：(a+b+c)3+(b+c-a)(a＋b-c)(c＋a-b)＋8abc=4(a+b+c)(ab+bc+ca) 证明 令s=a＋b＋c，则 左边=s3＋(s-2a)(s-2b)(s-2c)＋8abc =s3＋s3-2(a＋b＋c)s2＋4(ab＋bc＋ca)s-8abc＋8abc =4(ab+bc＋ca)s =4(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)=右边
11．中间变量代换 ． 例28 某队伍长l米，在行进中末排的某士兵因事赶赴头排，到 达头排后立刻赶回，当他回到末排时，全队已行进了l米．若 士兵与队伍的行走速度都不变，求这个士兵所走路程的长． 思路分析 这是一道较难的应用问 题，难就难在许多量均不知道，须 增设中间过渡变量． 设队伍行走速度为a米/秒，士兵行走速 度为b米/秒，士兵追到头排时，队伍走 了l1米，用时间为t1秒，士兵回到末排 时，队伍又走了t2秒时间． 由已知与图示，得
1．有理式代换 ． 例1 解方程(x2＋3x＋4)(x2＋3x＋5)=60． 解 :令y= x2＋3x， 则原方程变形为 (y+4)(y+5)＝6, 整理得 y2+9y+14=0, ∴ y1=-2 , y2=-7 . ∴ x2+3x=-2,解得x1=-1,x2=-2. 而 x2+3x=-7无实根, ∴原方程的解为 x1=-1,x2=-2.
以下只须解一个简单的一元二次方程，然后 回代即可．
4．对称方程代换 ．
思路分析 这类方程组仅含有x、y的对称式x＋y和xy，通常可 作变换u=x＋y，v=xy．原方程组变形为
这样使方程组化难为易．ຫໍສະໝຸດ Baidu
5．指数式代换 ．
yy=11…111…1．
6．取整代换 ． 例10 解方程3x＋4[x]-50=0． 思路分析 令t=[x]，原方程可变形为3x＋4t-50=0．