巧用圆锥曲线的定义解题

焦 点 ， 实半 轴 长 为 １的 双 曲线 （ － ３ 一 且 ｘ ） ：１ （ 上 见
当 Ｍ 为 Ｆ 的延 长线 与 椭 圆的 Ｂ 交点 时 ， ： 有
一
＼＼
（ＭＢｆ ｌ １ —
１ 一～２／ｏ ） ｖ１ ．
故 ｌＩ ＋ １ ／Ａ１ ＭＢ１ Ｖ 的最 大值 为 １＋ ２ 最小 值 为 ｉ － ． ｏ ， ０ ２
距 离相等． 由抛 物 线 定 义 可 知 ， ｌ ３时 ， 迹 为 顶 点 在 原 当 ＜ 轨
点 ， Ａ（ 。） 焦 点 的 抛 物 线 的 一 部 分 ， 程 为 ｙ 一４ （ ≤ 以 １Ｏ 为 方 。 ｘＯ ＜３； ） 当 ≥ ３时 候 ， 样 可 得 点 Ｐ 的 轨 迹 方 程 为 一 同
Ｆ
，
线 为 ｌ若 过 Ｆ且 垂 直 于 轴 的 弦 ＡＢ 的 长 等 于 Ｆ 到 ｌ的距 ， 离 ， 该椭 圆的离心率． 求
解 ： 陶 １ 过 Ａ 作 ＡＣ上 ｌ 如 ， 于
东 生
Ｃ， 由 题 意 知 Ｉ 则 ＡＣｌ Ｉ — ＡＢｌ ，
又 ‘ ＡＢＩ ２ ＡＦＩ ． 由 椭 圆 ｛ 一 ｌ ，‘ ．
劂 锥 曲线 的 定 义 揭 示 ＿它 们 的 几 何 本 质 属 性 ， 是 推 导 ｒ 它
ｆ ｘ（ ≤ ｘ＜ ３ ， ４ Ｏ ）
（
方 程 或 性 质 的依 据 ， 是 解 题 常 用 的 一 把 钥 匙 ． 用 圆 锥 曲线 也 利
的定 义 解 题 能 够 捕 捉 题 设 信 息 同 有 的 本 质 属 性 ， 时 能 达 到 有
‘ ．
… …… … …＿ 。
。 ＤＩ Ｆｌ Ｃ Ａ Ｅ Ｂ ，
ｆ Ｂｌ Ａ ’ ，
例２ 知 （。 Ｂ ，在 圆 ２ 寺一 内Ｍ 已 点Ａ４ ） （２ 椭 ＋ ２ ｌ ， ，和＇２ ）
是椭 圆上的动点 ， 求 ｆ 试 ＭＡＩ Ｉ Ｂｌ ＋ Ｍ 的最 大 值 和 最 小 值 ． 解 ： 已知 得 点 Ａ 及 Ｆ（ ， ） 椭 圆 的 焦 点 ， 椭 圆 定 由 一４ ０ 是 由 义知 Ｉ ｌ ａ ｌ 而 ｎ ＭＡ 一２ － Ｊ ＭＦ ， ＝５ 则 ： ， ＭＡ ｆ ｌ Ｂｌ ２ ＋ Ｉ ＋ Ｍ 一 ａ ＭＢ 的延 长线 与椭 圆的焦 点 时 ， ： 有 （ Ｉ
例 ６ 解 不 等 式 ｌ —２ ２ ＇４ ，ｘ －１ｘ ２ ＜ ２ ￣ｘ － —１ 一 ／ ￣ ０ ＋ ８１ ． ｘ ＂ — —
。。。＿＾。＿＿＇＿＿＿＿＿＿＿－＿－＿。。。。。。＿●●＇ 。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿－－－。。●。。。。。●。。。●＿＿＿＿＿＿＿一
蠢
０
． 图 ２
． ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｅ － ．Ｅ 一 丽 ＭＩ Ｉ 一］ ＦＩ Ｉ Ｍ Ｉ ］ ￣ Ｂ 一 Ｉ ＩＡ ｝ ｌ ＡＤｌ ｌ Ｃ ＡＢｌ
・ ．
丽 ＭＩ Ｉ Ｆ 一—
・
ｆＭｌ Ｆ 一
一１ Ｉ Ｍ Ｉ ｔ Ｍ Ｉ Ｅ — Ｆ ， Ｉ ＡＦＩ ’
— ｌ Ｍ ｌ Ｃｌ ｌ Ｆ Ｂ 一
． ．
・
ＭＦ｝ ０ ｆ 一１ ＋ ＭＢｆ ｝ 一 ＭＦ
，
如图 ２明显 ， Ｍ 为 线段 Ｂ ， 当 Ｆ ｌ ｌ — ＭＦ１ 一 ｌ Ｂｌ ） 一 Ｆ
故 直 线 Ａ 经 过 线 段 Ｅ 的 中 点． Ｃ Ｆ ５ 巧 用 定 义 解 某 些 代 数 或 三 角 问 题 ．
一
ｌ。１ ｝ ５ ４ － ４ ５ － １ ＋， ｛ ＡＣ１ ５ ＡＣ ４ 一 １ ． －ｚ ｛ １ 一 Ｃ 一 。
－ 一 一
１ ＋
～ ｌ ＡＢ ｉ
Ｉ ＋５ 三 ｚ ＋５ ＡＢＩ ＋ｚ ＋４ ＋
４… ～ 。
９
１（ ２ 一４ （ ≤ ｚ＜ ４ ． 所 求 点 Ｐ 的 轨 迹 方 程 为 ｙ ）３ ）故 一
解 ： 不 等 式 可 化 为 ｆ￣（ －１＋（－ ／） 一 原 ／ｘ ） ｏ ￣ ３
￣（ ／ 一５ 。 ０ ３ ｆ ， ）＋（ 一√ ） ＜２ 此式的几何意 义是点 Ｐ ｘ，） （ ｏ 到两定点 Ａ（ ，３ 和 Ｂ（ ， １√ ） ５ √ ） 的距离之差 的绝 对值小于 ２ 若等 于 ２ 则 Ｐ在 以 Ａ、 ． ， Ｂ为
灵 活转化很有必要． Ｉ 巧 用 圆 锥 曲线 的 定 义 （ ． 以下 简 称 定 义 ） 离 心 率 求
一
条 弦 ＡＢ ， Ｂ 作 Ｂ 平 行 于焦 点 所 在 过 Ｃ
的轴 ， 相 应 准 线 ｆ 点 Ｃ． ｊ 点 所 交 于 ｆ上焦 在 的 轴 交 与 点 Ｅ． 证 直 线 Ａ 求 Ｃ经 过 线 段
厂 ｌ —、
．
Ｂ 上 ｚ 南 网 锥 曲 线 统 Ｃ ，
一
＼
图４
定 义 得
，
＝
的 二 义 一 ． 第 定 知一 专
２ 巧 用 定 义 求 圆 锥 曲线 有 关最 值 ．
网 １
Ｉ ＦＩ Ｂ ￣ Ｉ Ｄ］ Ｂ Ｉ ｝Ｃ１ Ｉ ． ＩＡ ．Ｉ Ｆ 一 Ｂ ．ＡＦＩ Ｉ
一
于 ｔ导・ 是ａ ｎ
． ‘
Ｃｔ Ｏ 璺 …１ ｃ ｓ ｓ Ｂ …１Ｉ ｏＣ 旦 １ ＂ ｏＣ ｉ ｎ －ｃ ｓ － ２ … １ ｃｓ １ ＂ ｏＢ ■ — ｓ Ｃ …１ ｃｓ ｉ ｎ １ ． ｏＢ
一
４ ．点 Ｐ 到 定 点 Ａ（ ，） 定 直 线 一 一 １或 定 直 线 ＝ ７的 ，． １Ｏ 与
Ｅ Ｆ的 中点 ． 证明： 如 ４ 设 直 ，
‘
一 雷 成 国
王
２
． ２
例 １ 没椭圆 ＋告 一１ “ ＞ ０ 的右 焦点 为 Ｆ， 准 （ ＞６ ） 右
口
线Ａ Ｃ与焦 点 Ｆ所在 轴
交于 Ｍ 点 ， Ａ 作 Ａ 过 Ｄ ＿ ｚ Ｄ， 由 已 知 得 Ｌ 于 又
图 ３
８ ． 由双 曲线 定 义 知 。 Ａ（ ） 双 ， ． 点 ， 在
／
图 ５
ｌＦＩ一口 ｌＦＩ所 以 又 由椭 圆定 义知 ， 的轨 迹 是 以 （、 为 Ｐ ） ＞ Ｏ ， Ｍ ）Ｆ
焦点 、 轴长 为 ｎ的椭 圆． 长 例 ４ 已 知 动 点 Ｐ ｘ， ） 定 点 Ａ（ ， ） 至 定 直 线 ３—３ （ ３到 ， １Ｏ与 ｑ ７
３ 巧用定义求轨 迹（ 程） ． 方
求 线段 Ｐ 巧用圆锥曲线的定义解题 Ｆ中点 Ｍ 的轨迹．
解 ： 图 ３ 设 椭 圆 的 中心 如 ， 为 Ｏ， 轴 长 为 ２ ， 是 其 右 焦 长 ｎＦ
例 ３ 已知 Ｐ为椭圆上任意一 点 ， 为椭 圆的一个 焦点 ， Ｆ
图 ４ ． 以 不 等 式 的 解 集 即 为 该 双 曲线 与 轴 交 点 之 间 的 点 ）所
申掌生数理化 ． 掌所版
，
・
ｃ ｏ
一百 ‘
证明 ： 立如图 ５ 示坐标 系． 建 所 ．
Ｂ ０ Ｈ
ＪＦ ＝２． ｆ ｌ 去『 Ｉ Ｐ ｌ ａ而 ＭＯ 一— Ｐ ， ＿
１
故 ｌＯｌ Ｊ ｌ 去（Ｐ ｌ Ｍ ＋ ＭＦ 一＿ １ ＋ －
ｎ １ 一 ｌ Ｃｌ ｌ Ｂ｛ ｌ 一 ０ Ｂ ，Ａ 一 ＡＣＩ ｃ — — 一６
【 １（ 一 ２ ｚ一 ４ （ ≤ ｚ＜ ４ 。 ）３ ）
４ 巧 用 定 义 研 究 圆 锥 曲线 共 同 性 质 ． 例 ５ 过 嘲 锥 线 的 … 个焦 点 Ｆ 作
一
化 繁 为 简 、 半 功俯 的 效 果 ． 学 们 在 平 时 解 题 时 往 往 习 惯 于 币 朋 方 程 或 性 质 ， 忽 略 ＿ 用 圆 锥 『 线 的 定 义 寻找 解 题 途 Ｊ Ｉ 而 『运 ｝ Ｉ ｉ 经 或绕 过 思 维 障 碍 ． 此 ， 注意 研 究 圆 锥 曲 线 定 义 的 有 效 运 刖
的横坐标． 把 一０ 代人 双曲线方 程得 ｚ 士√ ． 一３ ２
所 以 原 不 等 式 的解 集 为 ｛ 一 ＜ － ３ ｚｌ ３ ｚ ＋ ） ＜ ．
口
点 ， 取其 左 焦点 ， 接 Ｐ 、 再 连 ＭＯ， 由椭 圆 定 义 知 ｌ ｌ 则 Ｐ ＋
１
３
例 ７ 在 △ Ａ ｃ 中 ， 知 口 １ ， — ｂ ， 证 ｔｎ Ｂ 已 一 ０ ｆ ＝８ 求 ａ
作 者 单 位 ： 南 省 嘉 禾 县 第 一 中 学 湖
曲 嚣 等一 的 支 ，双 线 线 一 １ 有 上由 曲
焦半径公式 的Ｉ ＡＢ１ ＋ ４ １ 一 ５ｚ Ａｃ｝ ５ｚ ＝ 一４
，
．
的 距 离 之 和 为 ４求 Ｐ 点 的 轨 迹 方 程 ． ，
解 ： ‘ Ｐ 到 定 点 Ａ（ ， ） 定 直 线 ｚ ３的 距 离 之 和 为 。点 ． １０与 一