珠海市2017-2018学年度第二学期期末试卷及答案

珠海市2017-2018学年度第二学期期末学生学业质量监测
高二理科数学试卷
用时：120分钟 总分：150分
参考公式： （1） ))()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-= （2）-
--=x
b y a ^^
附表：
)(2k K p >
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项）. 1．在复平面内，复数)21()1(i i z -⋅+=， 则其对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
2. 2个人分别从3部电影中选择一部电影购买电影票，不同的购买方式共有 A.6 B.9 C.8 D.27
3. 若函数2
)(x x x f +=，则()=0/
f
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．2
4. 4张卡片上分别写有数字1,1,2,2，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字不相等的概率为
A.
31 B. 21 C. 32 D. 4
3 5. 5名学生4名老师站成一排合影，5名学生站一起的排法种数为
A. 5555A A
B. 6644
A A C. 5544A A D. 4655A A 6. ()10
2-3x 的展开式的第5项的系数是
A. 510C
B. ()5551023-⋅⋅C
C. ()4
641023-⋅⋅C D. 410
C 7. 已知随机变量X 服从正态分布(
)2
,0σ
N ，且0.9)2(=->X P ，则=≤≤)20(x P
A. 1.0
B. 6.0
C. 5.0
D. 4.0
8. 通过随机调查200名性别不同的高中生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 爱好 65 45 不爱好
40
50
计算得: 4.2582
≈K ,参照附表，得到的正确结论是
A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 9. ()ln f x x =在1x =处的切线方程为
A ．01=+-y x
B ．01=--y x
C ．01=-+y x
D ．01=++y x
10. 用数学归纳法证明等式()
)2(2
1
222...321*N n n n n n
∈≥+=
++++，的过程中，第一步归纳基础，等式左边的式子是
A ．21+
B ．4321+++
C ．321++
D ．87654321+++++++
11. 由54321、、、、
五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12345，第2项是12354…，直到末项(第120项)是,则第92项是
A. 43251
B. 43512
C. 45312
D. 45132
12．已知函数a x x y ++=2
3
3有且仅有两个零点1x 和2x ()21x x <，则12x x -的值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分, 请将答案填在答题卡相应位置. 13．设i 1+=z （i 是虚数单位），则
z
2
= 14. 设随机变量()p n B X ,~，其中8=n ，若6.1=EX ，则DX = 15. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
身高x (cm) 160 165 170
175 180 体重y (kg)
65
69
m
72
74
根据上表得到的回归直线方程为155.0ˆ-=x y
，则m 的值为 16. 定积分
()dx x ⎰+π
2cos 1 的值为
17. 若函数1
4)(2
+=
x x
x f 在区间[]1,+m m 上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________
18. 7
1⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 展开式中，系数最大项是第_______项
19. 若曲线x e ax f +=)x ( 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________．
20. 用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由()()b a +⋅+11的展开式ab b a +++1表示出来，如:“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”表示把红球和蓝球都取出来，以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从3个无区别的红球、3个无区别的蓝球、2个有区别的黑球中取出若干个球，且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 ① ()()
()2
332111c b a a a +++++ ② ()()
()2
323111c b b b a +++++
③ ()()()
2323
111c b b b a +++++ ④ ()
()()
23
3111c c b a ++++
三、解答题:本大题共5小题，满分50分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．(本小题满分10分)
2016年2月份海城市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种? (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种?
22. (本小题满分10分)
在一次小型抽奖活动中，抽奖规则如下：一个不透明的口袋中共有6个大小相同的球，它们是1个红球，1个黄球，和4个白球，从中抽到红球中50元，抽到黄球中10元，抽到白球不中奖。

某人从中一次性抽出两球，求： (1)该人中奖的概率；
(2)该人获得的总奖金X (元)的分布列和均值()X E ．
23. (本小题满分10分)
某媒体为了解某地区大学生晚上放学后使用手机上网情况，随机抽取了100名大学生进行调查.右图是根据调查结果绘制的学生每晚使用手机上网平均所用时间的频率分布直方图.将时间不低于40分钟的学生称为“手机迷”． （1）样本中“手机迷”有多少人?
（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“手机迷”与
性别有关?
（3）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量大学 生中，采用随机抽样方法每次抽
取1名大学生，抽取3次，经调查一名“手机迷”比“非手机迷”每月的话费平均多40元，记被抽取的3名大学生中的“手机迷”人数为X ，且设3人每月的总话费比“非手机迷”共多出Y 元，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和Y 的期望EY .
24. (本小题满分10分)
已知函数),0()(3R c R a a cx ax x f ∈∈≠+=，，当1=x 时，)(x f 取得极值2-. (1)求函数)(x f 的解析式；
(2)求函数)(x f 的单调区间和极大值；
(3)若对任意[]1,121-∈x x 、，不等式t (-)21≤）（x f x f 恒成立,求实数t 的最小值.
25. (本小题满分10分)
已知函数2ln )(+-=kx x x f ，R k ∈． （1）若1=k ，求函数)x (f 的单调区间；
（2）若2)(<x f 在R +
上恒成立，求k 的取值范围； （3）若21212100x ex x x x x <+>>，，，求证121>+x x ．
非手机迷 手机迷 合计 男 女 10 55 合计
100
珠海市2017-2018学年度第二学期期末中学教学质量调研监测
高二理科数学试卷参考答案
一、单选 DBACA CDABB DC
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B A C A C D A B B D C
二、填空
13. 1i - 14. 1.28 15. 70
16. π 17. []0,1- 18. 5 19. a<0 20. ① 三、解答题 21. 解答：（1）
-----5分 （2）
-------10分
22. 解析：(1)方法一：设“该人中奖”为事件A ，
则5
3
15611)(1)(2624=-=-=-=C C A P A P
方法二：53
1581)(2
61
41222=+=+=C C C C A P ………………………………3分 即该顾客中奖的概率为5
3
.…………………………………………………4分
(2)X 的所有可能值为0,10,50,60………………………………………………5分
52)0(2624===C C X P 15
4
)10(261114===C C C X P
154)50(261114===C C C X P 15
1
)60(261111===C C C X P ……………7分
故X 的分布列如下.
X
0 10 50 60
P 52 154 154 15
1 ……………8分
2015
1
601545015410520=⨯+⨯+⨯+⨯=EX （元）……………10分
23. 解析：
（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机迷”有100(0.20.05)25⨯+=人…2分 （2）从而22⨯列联表如下：
非手机迷 手机迷 合计 男
30
15
45
女 45 10 55 合计
75
25
100
………………3分
假设0H ：“手机迷”与性别没有关系. 将22⨯列联表中的数据代入公式，计算得
222
()100(30101545)100
3.030()()()()4555752533
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯.………………5分
当0H 成立时，2( 3.841)0.05P K ≥≈.……………6分
因为3.030 3.841<，所以没有95%把握认为“手机迷”与性别有关．……………7分
（3）由频率分布直方图知，抽到“手机迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从大学生中抽取一名“手机迷”的概率为
1
4.由题意知，1~(3,)4
X B .且X Y 40= 所以X 的分布列为
X
1
2
3
P
2764
2764 964 1
64 13
344EX np ==⨯=，304
34040=⨯==EX EY ……………10分
24. 【解析】：(1)由已知得:f ′(x )＝3ax 2＋c ……………1分
又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
f ＝－2，f ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
c ＝－3.
……………3分
∴f (x )＝x 3－3x . ……………4分
(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；
∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．……………6分 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2. ……………7分
(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2. ……………910分 ∴对任意x 1、x 2∈[]11-，，|f (x 1)－f (x 2)|≤M －m ＝4成立． 故4t ≥，t 的最小值为4……………10分
25. 【解析】：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()11
/-=
x
x f ….1分 ()011
/>-=
x x f 10<<∴x ()011
/<-=x x f 1x >∴ ….2分
故函数()f x 的递增区间为()10， ，递减区间为()∞+，1 …. 3分 （2）欲使⇔<2)(x f ln 0x kx -<＜在R +
上恒成立， 只需
ln x
k x
< 在R +上恒成立…. 4分 设ln ()(0)x g x x x
=
>，'2
1ln ()x
g x x -=
(0,)x e ∈，'()0g x >，()g x 为增函数,(,)x e ∈+∞，'()0g x <，()g x 为减函数
∴x e =时，1()g e e =是最大值 只需1k e <，即1
k e
>………6分 （3）∵01
111
21>>+>
x x x e 由（2）可知()g x 在(0,)e 上单调增， ………7分
11
212111ln 1111ln x x x x x x >+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，那1212111ln 1111ln 1x x x x x x >+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，同理
22
12121ln 1111ln 1x x x x x x >+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ………9分
相加得 212
121211ln 1ln 1111ln 11x x x x x x x x +>+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴2121
1ln 11ln x x x x >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 得：121>+x x .………10分。