第章控制系统的状态空间描述

6．状态方程
描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶 微分方程组（连续时间系统）。
一般表达式： x fx(t) , u(t) , t
7．输出方程
描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量 之间关系的代数方程（连续时间系统）。
一般表达式： y gx(t), u(t), t
8．状态空间表达式 状态方程
注：状态变量的选取不具有唯一性；
状态变量不一定在物理上可测；
尽可能选取容易测量的量作为状态变量。
系统在任何时刻t的状态变量组（状态）， 实际上是以某种有效的方式，充分地、既不多 也不少地概括和存储了与系统过去历史有关的 信息，这些附加信息与未来的输入变量一道， 就能确定系统未来的行为，由此可见状态变量 组的重要性。
M2
dy2 dt
k1( y1
y2 )
B1( y1
y2 )
k2 y2
B2
y2
①令状态变量
x1 y1, x2 y2 , x3 y1, x4 y2 y2, xˆ2 y1, xˆ3 y2, xˆ4 y2, u f
分别写出系统以f为输入，以y1 和y2为输出的状态空间表达式,进 一步理解状态空间表达式的非惟 一性。
1.2 线性系统状态空间表达式的结构图
x ax bu
一.状态空间表达式结构图绘制步骤
⑴ 画出所有积分器；积分器的个数等于状态变量数， 每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。
⑵ 根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和 比例器；
⑶ 用箭头将这些元件连接起来。
举例: [例1.4-1] 画出下列微分方程的状态变量图
第1章 动力学系统的状态空间描述
1.1 控制系统状态空间描述常用的基本概念 1.2 状态空间表达式的结构图 1.3 根据系统的物理机理建立状态空间表达式 1.4 根据系统输入输出关系建立状态空间描述 1.5 状态空间标准形的表达式 1.6 状态空间的等价变换 1.7 从状态空间描述求传递函数(阵) 1.8 非线性和离散系统的状态空间描述
di 1
Ri L dt C idt ui (2)
y
u0
1 C
idt
(3)
３)通过原始方程的计算和整理，导出状态方程和输出
方程。
Rx1 Lx1 x2 ui
x1
R L
x1
1 L
x2
1 L
ui
由前面的（1）式
得：
x2
1 C
x1
x1 i,
x2
u c
1 C
idt
输出方程： y x2
(1)
(1.3.11)
x1 x2
x2 x3
1u 2u
x3
y
0u
1u
2u
(1.3.12)
x3 y 0u 1u 2u
x1
y x 1
0
0
x2
x3
二．微分方程中包含输入函数导数项
y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) an1 y an y b0u(n) b1u(n1) bn1u bnu (1.3.8)
方法一： 选取如下一组状态变量：
x1 y 0u
x2 y 0u 1u x3 y 0u 1u 2u
0 x1 0
0
x2
0
u
xn1
0
0
00
1
xn
1
0
xn an an1 an2 a2 a1 xn b
(1.3.5)
输出方程：
y x1 1 0 0
x1
0
x2
xn
y Cx
(1.3.6)
系统的状态空间表达式为：
x Ax Bu y Cx
x a1x a2 x a3x bu
设： x1 x x2 x x3 x
x1 x2 x2 x3 x3 a3x1 a2 x2 a1x3 bu
u b
a1
a2
a3
[练习]已知系统状态空间描述如下，画出下列状
态方程的状态变量图
解：写成矩阵形式
x'1 x2
x'2
x3
x'3 6x1 3x2 2x3 u
x1 x2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
1
L 0
ui
y 0
1
x1 x2
简记为： X AX Bui
y cX
另设状态变为： xˆ1 i, xˆ2 C.uc idt (4)
则有：
xxˆˆ12
1RL
1
LC 0
xˆ1 xˆ2
1
L 0
ui
y 0
(1.3.7)
例: x a1x a2x a3x bu
解: 设： x1 x x2 x x3 x
x1 x2 x2 x3 x3 a3x1 a2 x2 a1x3 bu
状态空间表达式:
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
x3 a3 a2 a1x3 b
对电感电路系统，输入为u(t),输出为i(t)，其输
入输出关系为：
L di(t) u(t) dt
(1.1 2)
系统输出表达式：
i(t)
i(t0
)
1 L
t t0
u(
)d
(1.1 3)
i(t0 )是初始时刻t0在电感L中流过的初始电流。
在该电路中，由于包含了一个储能元件—电感， 它有存储信息的能力，才使得系统的未来行为受过去 历史的影响，因而必须引入一个量（状态变量）来概 括这种影响。
1.1 控制系统状态空间描述常用的基本概念
1．动力学系统 ：一个能贮存输入信息的系统
称为动力学系统。 [例1.1-1] 设有图1.1所示系统。 教材P7
i(t) 1 u(t) R1 R2
(1.1 1)
式(1.1-1)为一代数 方程，它表明此系统的行 为可以由输出与输入之间 的瞬间关系来确定，与系 统的过去历史无关。
La
di dt
Rai eb
ea
J
d
dt
B
T
kai
3. 整理状态方程和输出方程：
x1 x2
kRLa aa
J
kb La B
J
x1 x2
1
L 0
ea
y 0
1
x1 x2
练习一对：于如图所示的机械阻尼运动系统，已知系统的
微分方程：
M1
dy1 dt
f
k1( y1
y2 ) B1( y1 y2 )
y x1 x2
x'1 0 1
x'2
0
0
x'3 6 3
x1
y 1
1
0
x2
x3
0 x1 0
1
x2
0u
2x3 1
反之，已知系统的状态变量图，也能列写系统的 状态方程。
由控制系统的结构图建立状态空间表达式
将系统结构图模型转化为状态空间表达式，一般有下 列三个步骤： 第一步：将系统结构图各环节等效变换分解，使得整 个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及加法 器组成;
x
x1 x2
xˆ
xˆ1 xˆ2
1 0
P 0
1 C
[例2]弹簧-质量-阻尼系统
fy ky
1.设状态变量为: x1 y, x2 y
2.根据牛顿定律组成系统的原始 方程。
F(t)
d 2 y(t) m dt 2
F (t) ky
f
•
y
３.通过原始方程的计算和整理 ，导出状态方程和输出方程。
8 1 0 0 0
x
64
0
1
0
x
0u
1 0 3 1 1
y
1
1 0
0 0
0
0x
2
1
1.3 根据系统的物理机理建立状态空间表达式
1.根据系统机理建立状态空间表达式步骤： 1)选择系统中一个“线性无关极大变量组”作为状
态变量组。通常可选为各个储能元件（如电路中电 容和电感）的相应变量（如电容的端电压和流经电 感的电流）。
第二步：将分解后的每个标准积分器（1/s）的输出 作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状 态变量的一阶导数dxi/dt。
第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可 以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系 统的状态方程。根据指定的输出变量，还可以从结 构图写出系统的输出方程。
【例1.4-2】某控制系统的结构图如图所示，试求出其 动态方程。
my F(t) fy ky
则： x1 y x2
x2
y
k m
y
f m
y
1 m
F (t )
y x1
系统状态空间矩阵表达式：
x1 x2
0
k m
1 f
m
x1 x2
0 1
m
ui
y 1
0
x1 x2
[例3]直流电动机系统
1. 设状态变量
x1
i, x2
d
dt
2. 建立原始方程：
3．状态向量
若系统有n个状态变量x1(t),x2(t)…,xn(t)，以这n个 状态变量为分量组成的向量称为状态向量，如：
x1 (t)
x(t)
x2
(t)
xn
(t
)
4．状态空间
以n个状态变量x1(t),x2(t)…,xn(t)为坐标构成的 n维欧氏空间称为状态空间。
5．状态轨线
系统在任意时刻t的状态,在状态空间中用一点来 表示。随着时间的推移，系统的状态在变化，并在状 态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态 空间中随时间变化的轨迹为状态轨迹（线）。