福建省厦门市第一中学2020届高三最后一模数学（文）试题

福建省厦门市第一中学2020届高三最后一模数学

（文）试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．

2. 已知复数，则下面关于复数z的命题正确的是（）

B．复数z对应的点在第一象限

A．

C．D．复数z的虚部与实部互为相反数

3. 为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况．

根据该折线图，下列结论正确的是

A．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份

B．2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54%

C．2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大

D．2017年11月的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活

跃，经济运行稳中向好

4. 现有、、、四本书，若将四本书随机分配给甲、乙两人阅读，要求每人两本，则、恰好分到同一人手中的概率为（）

A．B．C．D．

5. 如图，在正方体中，P为的中点，则在该正方体各个面上的正投影（实线部分）可能是（）

A．①④B．①②C．②③D．②④

6. 若，，则的值为（）

A．B．C．或D．

7. 函数的图象大致为（）

A．B．

C．

D．

8. 已知抛物线与椭圆交于点

，若抛物线C的焦点F也是椭圆E的焦点，则实数a的值为（）A．B．

C．D．

9. 执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值是（）

A．2

B．C．-3

D．

10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，

，，则的值为（）A．B．C．D．

11. 已知函数若函数的零点有2个或3个，则实数a的取值范围为（）

A．B．C．D．

12. 已知，为双曲线的左右焦点，点A在双曲线C 的右支上，线段与双曲线C的左支交于点B，，，则双曲线C的离心率为（）

A．B．C．D．

二、填空题

13. 若，，且，则向量、的夹角是__________.

14. 函数的最大值为__________.

15. 已知曲线与直线相切，则实数a的值为__________.

三、双空题

16. 在三棱锥中，，，，则

的外接圆半径为__________；若三棱锥的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为__________.

四、解答题

17. 已知数列满足，，设.

（1）求证数列为等差数列，并求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

18. 如图，在多面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平

面ABCD，平面ABCD，且，MB与ND交于P点.

（1）在棱AB上找一点Q，使平面AMD，给出证明并求BQ的长；

（2）求三棱锥的体积.

19. 为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据

列于下表中，并做出了散点图，

发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，

现分别用模型①与模型；②作为产卵数y和温度x的回

温度x/℃20 22 24 26 28 30 32 产卵数y/个 6 10 21 24 64 113 322 400 484 576 676 784 900 1024

1.79

2.30

3.04 3.18

4.16 4.73

5.77

26 692 80 3.57 1157.54 0.43 0.32 0.00012

其中，，，.

附：对于一组数据，其回归直线的斜率

和截距的最小二乘估计分别为：，.

（1）根据表中数据，模型①、②的相关指数计算分别为，

，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.

（2）根据（1）中的判断，在拟合效果更好的模型下求y关于x的回归方程；

并估计温度为30℃时的产卵数.（，，，与估计值均精确到小数点后两位）

（参考数据：，，）

20. 已知圆与动直线交于A，B两点，线段AB 的中点为M，O为坐标原点.

（1）求M的轨迹方程；

（2）已知点，当时，求l的方程及的面积.

21. 已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，，且，证明：.

22. 已知直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，以x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，. （1）求直线l及曲线C的直角坐标方程；

（2）过曲线C上的一点M作平行于y轴的直线交l于点N，求的取值范围.

23. 已知.

（1）求不等式的解集；

（2）设、、为正实数，且，求证：.