第4章 非线性系统线性化

x n 1
0
0
0
1
xn1
0
xn 0 0 0 0 xn f (x,u,t)
y 1 0 0x1 x2 xn T
（2.1a）
简记为
x A0 x fb (x,u,t) f0 (x,u,t)
y Cx
（2.1b）
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
其中 x x1 x2 xn T Rn 为状态向量，u Rm1表示控制 u 及其前m阶
因为当状态偏差 e 的欧几里德范数 e 时，V (e) ，平衡状态 e 0 是在大范围内渐近稳定的。从而有t 时，x xd 。由上面的分析可直接给出 如下定理：
定理1.1 给定非线性时变系统（1.1）及模型参考系统（1.2）。设 Ad 稳
定，V (e) eT Pe 是模型参考自由系统（对应于 v 0）在原点平衡状态的李雅普诺 夫函数。那么，若存在控制 u 使
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
取状态偏差的二次型函数
V (e) eT Pe
（1.4）
其中 P PT Rnn ，且 P 0 。则有 V (e) 的导数为：
V(e) eT (AdT P PAd )e 2eT P[ f (x,u,t) (Ad x Bdv)] eTQe 2M
若选取的 u 使 M 0 ，则称非线性系统（1.1）被精确线性化。 我们可给出定理1.1更一般的情况如下：
定理1.2 考虑状态偏差系统（1.3）。设其对应的自由动态系统e Ad e 在 平衡状态 e 0 大范围一致渐近稳定，V (e,t) 是自由系统在平衡状态的李雅普诺夫
函数。如果控制策略 u(x,v,t) 使
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
（1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。
（2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。
y(n) f ( y, y, , y(n1) , u, u', , u(m) , t)
（2.1）
其中为 u(t) 输入，y(t)为输（2.1）可表示为如下的状态空间表达形式：
x1 0 1 0 0 x1 0
x2
0
0
1
0
x2
0
xd Ad xd bd v
（2.2a）
y Cxd
0 1 0
0
其中 xd 为模型的状态向量；Ad
0
0
1
，bd
0
，
C 1 0 0 为常数。
1
2
n
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
根据动平衡状态理论，我们可以将xd 作为被控系统的动平衡状态，通过设
计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态x 对动平衡状态xd 在大范围 内渐近稳定。从而实x现 x对d ，亦y即 yd对 的渐近逼近，使被控系统具有所希
非线性系统的反馈线性化，确切地说还可以分为输入--状态线性化和输 入--输出线性化。
对调节问题（稳定性问题）采用输入--状态线性化通常即可满足要求对 系统的调节要求；但对跟踪问题通常必须采用输入--输出线性化设计才能满 足对系统的性能要求。
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
设系统由下述微分方程表示
V (e, e
t
)
T
[
f
(
x,
u,
t
)
(
Ad
x
Bd
v)]
0
（1.7）
则被控的状态偏差系统（1.3）是大范围一致渐近稳定。
证明： 因为V (e,t) 是偏差自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数，因此有
V (e, t )
dV dt
V e
T
de dt
dV dt
V e
T
Ad e
负定。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
M eT P[ f (x, u,t) ( Ad x Bd v)] 0
（1.6）
则偏差系统（1.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。
若能选择 u 使 M 在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具 有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。
将V (e,t) 作为偏差控制系统（1.3）的可能的李亚普诺夫函数，有
V (e, t )
dV dt
V e
de dt
dV dt
V e
T
(
Ad
e
[
f
(x,u,t) (Ad x
Bd v)]
dV dt
V e
T
Ad
e
V e
T
[ f
(x,u,t) ( Ad x
Bd v)]
由于上式右端第一项负定，显然若式（1.7）成立，则V (e, t )负定。式（1.3） 的被控状态偏差系统大范围一致渐近稳定。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
xd Ad xd Bd v
（1.2）
其中 xd Rn为状态向量，v Rm 为控制向量，Ad Rnn ,Bd Rnm 为常数矩 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设
第四章
非线性系统的线性化
1、传统近似线性化 2、精确线性化 3、现代近似线性化
非线性系统线性化方法
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传统近似 线性化
基本思想： 一阶近似
适用于工作 点范围不大 情况
精确线性化
现代近似 线性化
条件苛刻， 计算复杂
基本思想：通过坐标 变换把强非线性系统 变换成弱非线性系统 或通过状态反馈以保 持线性系统的部分特 点。
计可以实现系统状态 x 对 xd 的渐近跟踪，从而实现非线性系统动态特性的线性
化。
令状态偏差为 e x xd ，则有 e x xd
由式（1.1）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：
e x xd f (x,u,t) ( Ad xd Bd v) Ad e [ f (x,u,t) ( Ad x Bdv)] （1.3）
望的动态特性。实现上述目标的一个直接方法便是利用李雅普诺夫第二方法。 为此，以xd 为动平衡状态，定义误差向量
e x xd
由式（2.1a）及式（2.2a）可得
e x xd A0 x fb (x, u,t) Ad xd bd v Ad e [( A0 Ad )x fb (x,u,t) bd v]
导数。
设上述系统的希望动态特性可用下述线性定常模型系统表示：
y (n) d
n yd (n1)
y (n2) n1 d
2 y 1y
（2.2）
其中 yd 为希望输出，v 为模型的输入，1, 2 , n ， 为常数。同样取 yd 及
其前n-1阶导数为状态变量，可得其对应的可控型状态空间表达式为：
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
其中：
M 为标量函数。
Q (Ad T P PAd ) Rnn M eT P[( A0 Ad )x fb (x,u, t) bd v]
（2.7） （2.8）
由于系统（2.1a）和系统（2.2a）均为可控型，u 的确定可以进一步简化。 由式（2.8）我们有：
ep ，m f 为标量，以后的计算中，只需根据式（2.10）和（2.11）便可确 定控制规律 u 。
（1.5）
其中 Q (AdT P PAd ) Rnn ，M eT P[ f (x,u,t) ( Ad x Bd v)]为标量函数。
由于 Ad 的所有特征值均具有负实部，因此可找到正定矩阵 P ，使 Q 为一 负定矩阵。若能选取控制向量 u(x, xd ,u(d ), v,t)（ u(d) 为可能用到的 u 的各阶导 数），使 M 0 ，则 V (e) 为李雅普诺夫函数。
目前反馈线性化的方法主要有两种：
1）精确线性化方法(exact linearization method)，如微分几何方法，隐函数方 法和逆系统方法等；
2）基于参考模型的渐近线性化方法，如模型参考方法及模型参考自适应方法 等。而确切地说，这两种线性化方法都是模型参考方法，不过前者可称为隐含 模型参考方法（implicit model reference approach），而后者为实际模型参考 方法（real model refernce approach）。
传统近似线性化方法
最小二乘法
近似线性化
误差最小
传统近似线性化
泰勒展开
忽略高阶项
雅可比矩阵 傅里叶级数展开
忽略高阶项 忽略高次谐波
非线性系统反馈线性化_主要内容
• 4.0 绪论 • 4.1 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 • 4.2 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计
– 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 – 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 – 线性定常系统设计—闭环极点配置 – 一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法 • 4.3 反馈线性化与标准型 – 输入—状态线性化 – 输入—输出线性化 – 线性系统的内动态子系统 – 零动态子系统 • 4.4 数学知识 – 微分同胚与状态变换 – 弗罗贝尼斯定理 • 4.5 非线性系统反馈线性化 – 单输入单输出系统的输入—状态线性化 – 单输入单输出系统的输入—输出线性化 – 多输入—多输出系统的反馈线性化 • 4.6 近似线性化方法