人教课标版高中数学选修2-3数学视野：杨辉与杨辉三角的奥秘

数学视野

杨辉与杨辉三角的奥秘

杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家，著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩类比乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷.其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.

杨辉三角出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内出除1以外的没一个数都等于它肩上两个数的和.杨辉指出这个方法处于《释锁》算数，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪.

在欧洲，这个表被为是法国数学家、物理学家帕斯卡首先发现的（1623-1662年），他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.

杨辉三角有以下又去的数学排列规律：

1、如图，杨辉三角的第1,3,7,15,…,行，即第21(k k -是正整数）行的各个数字均为奇数；第2k 行除两端的1之外都是偶数.

0行 1

1行 1 1

2行 1 2 1

3行 1 3 3 1

4行 1 4 6 4 1

5行 1 5 10 10 5 1

6行 1 6 15 20 15 6 1

… …

n-1行 1 11n C - 21n C - …11r n C -- 1r n C - … 21n n C -- 1

n 行 1 1n C 2n C … … 1r n C - … … 1n n C - 1

2、杨辉三角中若行数p 是质数（素数），则第p 行，除去两端的数字1以外，行数p 整除其余所有的数.

3、计算杨辉三角中各行数字的和，第n 行数字的和为2n ，前1n -行（含第0行）所有数的和为21n -，它恰好比第n 行的和2n 小1.

第1行 1+1=2

第2行 1+2+1=4=22

第3行 1+3+3+1=8=32

第4行 1+4+6+4+4=16=42

第5行 1+5+10+5+1=32=52

……

第n 行 1+1n C +2n C +…+…+1r n C -+…+…+1n n

C -+1=2n 4、如图7-5，从杨辉三角中一个确定的数的左（右）肩出发，向右（左）上方做一条和做斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数，一般地，在第m 条斜线上（从右上到坐下）前n 个数字的和，等于第1m +条斜线上的第n 个数.

根据这一性质，猜想下列的前n 项和：

1+1+1+…+1=1n C （第1条斜线）

1+2+3+…+11n C -=2n C （第2条斜线）

1+3+6+…+21n C -=3n C （第3条斜线）

1+4+10+…+31n C -=4n C （第4条斜线）

r r C +1r r C ++2r r C ++…+1r n C -=1r n C +（第r+1条斜线）

5、中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假设一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子,并且以后每一个月都生一对小兔子.设说生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡.问一对刚出的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？这就是著名的斐波那契兔子繁殖问题.

兔子繁殖问题可以从杨辉三角 得到答案：右侧从上而下的一列数1,1,2,3,5,8,13, …,正好是刚出生的兔子，第一个月的兔子，第二个月后的兔子，第上个月后的兔子，…n 个月后的兔子的对数.

兔子繁殖问题的答案就是第12行右下侧的数（第13个），即233，如图7-6.斜线上各行数字的和为1,1,2,3,5,8,13,21,31, ….此数列{}n a 满足，()12n n-1n-21,1,+n 3a a a a a ===≥且

6、杨辉三角与弹子游戏

如图，在一块木板上钉一些正六棱柱行的小木块，在它们中间留一些通道，从上面的漏斗可以直通到下面的长方形框子，前面用一块玻璃挡住.把小弹子放在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层（有几个竖直通道就算第几层）的六棱柱上面，然后落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里面去，在然后，它又落到下一层的三个通道之一里边去……依次类推，最终落到最下边的长方形框子里.

假设我们总共在木板上做了n+1层通道，在顶上的漏斗里一共放了

1+1n C +2n C +…+…+1r n C -+…+…+1n n C -+1=2n 颗弹子，让它们自由落下，落到下边n+1个长方形框

子里，那么落在第n+1层中各个框子中弹子的数目（按照可能情形来计算）正好是杨辉三角的第n 行.

解释：把小弹子放在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六棱柱上面，然后，落到第二层中间一个六棱柱的左边或者右边的两个竖直通道里面去，再然后，它又落到下一层的三个竖直通道之一里面边去.这是，如果要弹子落到最左边的通道里，那么它一定是从上一层左边的通道里落下来才行（1种可能情形）；同样，如果它要落到最右边的通道里，它也非要从上一层右边的通道里落下来才行（1种可能情形），而它要落到中间的通道里，那么无论它从上一层的左边或右边落下来都行（2种可能情形）

这样一来，弹子落在第三层的三个通道里就分别有1,2,1个可能情形，概率分别为

121,,444

不难看出，落在第四层的四个通道里就分别有1,3,3,1个可能情形概率分别是33331331,,,2222

，类推下去，很容易发现，弹子落到第n+1层各个框子里的概率分别是

121n n n n n 11,,,,22222

n n n n C C C -. 因此，如果在漏斗里放1+1n C +2n C +…+…+1r n C -+…+…+1n n C -+1=2n 颗弹子让它们自由落下，

落在下边n+1个长方形框子里，那么落在n+1层中各个框子中弹子的数目（按照可能情形来计算）正好是杨辉三角的第n 行.

7、杨辉三角与堆垛术（三角垛，方形垛……）

如图7-9，将圆珠堆成三角垛，底层每边为n 个，向上逐层每边减少1个，顶层是1个.容易看出，当n=1,2,,3,4, …时，三角垛中圆珠总数分别为1,4,10,20, ….根据前面的结论，这样一个n 层

的三角垛的圆珠总数1+3+6+…+2+1n C =()()3+21=+1+23!

n C n n n