组合投资的收益和风险问题模型

组合投资的收益和风险问题模型

王豪

摘要：本文通过对组合投资问题的分析，建立了一个研究投资收益风险的模型，使用一个双目标优化模型的来描述这个问题。首先对模型进行简化，然后使用了风险偏好度的概念，将双目标问题通过风险偏好参数归结为一个含约束条件的线性规划问题。最后，借助matlab软件，解出了这个问题，给出了优化的投资方案。问题1的优化方案的风险率是0.60%，收益率是20.19%，问题2的优化方案的风险率是6.50%，收益率是30.59%。

关键词：组合投资；线性规划；多目标优化；收益率；风险率

一、问题重述

市场上有n种资产（如股票、债券、…）S i( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买S i的平均收益率为r i，并预测出购买S i的风险损失率为q i。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S i中最大的一个风险来度量。

购买S i要付交易费，费率为p i，并且当购买额不超过给定值u i时，交易费按购买u i计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0, 且既无交易费又无风险。（r0=5%）。

已知n = 4时的相关数据如下：

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

二、问题分析

这是一个证券投资组合管理的优化问题，通过对不同投资项目的组合的风险和收益的权衡，以追求最大的利润和最小的风险为目标。

由于存在一个交易费的问题，相当于成本被划分为两部分，一部分是进行某种投资项目固定成本，一部分是可变成本。

投资的目标是，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。这是一个双目标优化［1］的问题，需要通过某种约束或者加权转换成单目标问题。约束法：方案一，在风险一定的情况下，使收益最大化；方案二，在收益一定的情况下，使得风险最小化。加权法：由于不同的决策者对收益和风险的偏好不同，可以引入偏好系数［2］c进行加权作为投资者偏好度的参数。

三、模型建立

1、参数说明

将银行投资作为投资s

0，则r

＝5％，q

=0，p

=0，u

=0。

x i ：投资第i项投资项目s

i

的成本占总资金M的比例（包括交易费用）

R：总体收益

Q：总体风险

m

i

：第i项投资项目除去交易费后的有效投资c: 收益风险偏好参数

2、模型建立

除去交易费用之后

m i ＝0,x

i

=0;（不考虑买空卖空［2］的情况，恒有x

i

＞０）

x

i

-u

i

p

i

,0

i

i

;

x

i

/(1+p

i

),x

i

>=u

i

;

总体收益：R=∑m

i

（r i－p i）

总体风险：Q=max｛m

i

q i｝

投资约束条件：∑x

i

＝１

双目优化的决策目标

收益最大：max{R};

风险最小：min{Q};

３、模型简化

根据题意，总资金数额M足够大，对一项投资项目的投入资金量不超过u i的情况不符合追求最大利益的目标，考虑到这个因素，可以将模型进行简化：

第i项目有效投资：m

i ＝x

i

/(1+p

i

),x

i

>=u

i

;

总体收益：R=∑m

i

（r i－p i）

总体风险：Q=max｛m

i

q i｝

投资约束条件：∑x

i

＝１

双目优化的决策目标

收益最大：max{R};

风险最小：min{Q};

化简有

双目标决策：max{ ∑[x

i （r i－p i）]/(1+p

i

) } min{max{x

i

q i/(1+p

i

)} }

总投资约束：∑x

i

＝１

四、模型求解

1、双目问题单目化

收益风险偏好参数c的含义是表征投资者对收益和风险的偏好程度， c作为预期收益因素在投资者心目中的考虑权重，（1－c）表示预期风险因素在投资者心目中的考虑权重。c越小，表示投资者对风险的承受能力越差，c越大，则（1－c）越小，表示投资者对风险的承受能力越强。

将上述双目标问题转化成单目标问题：

max{ c∑[x

i （r i－p i）]/(1+p

i

)-(1-c){max{x

i

q i/(1+p

i

)}} }

∑x

i

＝１

2、Linprog简介

在matlab中有一个优化工具包(Optimization Toolbox)，其中有一个函数linprog［3］用来解线性规划[4]问题。

Linprog的作用是在线性约束条件的束缚下，求解最小值问题（最大值可以转换成其负函数的最小值）。约束条件包括线性等式，线性不等式和上下界。

约束条件为：

A*x<=b （线性等式约束）

Aeq*x=beq （线性不等式约束）