逆向思维在数学论证中的作用与培养

摘要

学习数学的过程是学思维的形成与发展的过程，数学教学需要培养学生的数学思维。逆向思维是从已有的习惯思路的反面去思考和分析问题，从而使问题得到解决的一种思维过程。本文先阐述逆向思维的重要性，再研究逆向思维的作用与培养，论证培养逆向思维是为了我们更好地运用逆向思维去摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式。

Learning math is to learn the process of the thinking process of the formation and development of mathematics teaching need to cultivate the students' mathematical thinking.Reverse thinking from the opposite of have the habit of thinking to think and analyze problems, a thought process so that the issue is resolved. This paper first expounds the importance of reverse thinking, and then studies the role of reverse thinking and cultivate, argument is to cultivate the reverse thinking we better use reverse thinking to get rid of the mindset, break through the old ideological framework, generate new ideas, find new knowledge of important ways of thinking.

关键词：逆向思维反证法反例法

目录

1.什么是逆向思维 3 1.1、思维的分类 3 1.2、详谈逆向思维 3

1.3、逆向思维的具体表现 3

2.逆向思维的重要性 4

2.2逆向思维是一种重要的探究过程 4

2.3逆向思维是一种重要的思维方法 4

3.逆向思维在数学论证中的作用 5 3.1逆向思维可以开拓学生的想象空间 5 3.2逆向思维有利于加深学生基础知识的理解 5

3 .3逆向思维可以发现解题技巧，有利于培养学生的创造能力 6

4.逆向思维在数学论证中的培养 6 4.1从反证法的论证中培养逆向思维 6 4.2通过构造反例来训练学生的逆向思维 8 4.3通过分析法来培养学生的逆向思维 9 4.4利用“逆向变式”训练培养学生的逆向思维 10 结论 11 参考文献 12 致谢 12

数学是思维创新的体操，是一门使人聪明的学问.思维是智力的核心，是人的理性认识的过程。逆向思维是逆着习惯的、常规的思维方向进行的思维活动，属于创造性思维。许多情况下将问题倒过来想一想，在思维过程中“反其道而行之”，能使人得到许多通常思路所得不到的思维成果。

1、什么是逆向思维.

1.1、思维的分类

根据思维过程的指向性，可将思维分为常规思维（正向思维）和逆向思维，正向思维是指思维活动按照事物发展的方向进行，而逆向思维是指思维活动从一个方向转向相反方向.

1.2、详谈逆向思维

逆向思维又被称为反向思维，它是发散思维的一种重要形式.逆向思维是从已有的习惯思路的反面去思考和分析问题，从而使问题得到解决的一种思维过程.是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式.

我们在学习数学和解决数学问题的过程中，也都有一些比较自然的习惯，例如在公式的运用中，我们习惯性地会从左往右正用，而不是从右往左逆用，这样的习惯虽然正确，但正是由于这样的习惯的影响，有时会使我们运作单调，思维固化.

1.3、逆向思维的具体表现

中学数学课本中的逆运算、反证法、反例法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性，在数学论证中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些问题总是按照这种思维定式解答则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则反，往往可以使问题简化，经常性注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性.

例如从“一组平行且相等的四边形是平行四边形”中我们可以反过来想，平行四边形还有什么性质？或者还有什么性质可以证明一个四边形是平行四边形？再例如，当直线的倾斜角是锐角时，直线的斜率是正数，那我们会问，如果直线斜率为负数或零时，直线的倾斜角会是什么角？

还有，一些定义或概念之间也会体现着逆向思维，例如函数与反函数：指数函数y=a x 的反函数是对数函数y=㏒a x.

2、逆向思维的重要性.

2.1

运用逆向思维去思考和处理问题，实际上就是以“出奇”去达到“制胜”。对于全面人才的创造能力及解决问题能力具有非常重大的意义。在实践中使用这一方法，可能取得惊人的效果。

因为逆向思维的训练可以排除顺向思维中的困难,并且能够培养学生的创造性,挖掘学生思维的潜能,使看似简单的习题,却能给学生带来深刻的思考。

2.2、逆向思维是一种重要的探究过程.

逆向思维从反面观察问题，打破心理学上的心理定势现象，冲破习惯思维的束缚，在与原来认识方向相反的方向上寻找解决办法的新方法，有时会产生意想不到的良好效果或获得新的发明和创造.

例1 设3a-b是2的倍数，求证：3a2+2ab-b2能被2整除

分析：设法从3a2+2ab-b2中先找出3a-b的因式，再证另一个因式也是2的倍数.

原式=(3a-b)(a+b)，至此可以看出求证式已有一个能被2整除的因式3a-b，只需再证另一个因式a+b也能被2整除即可.由于a+b=(3a-b)-2(a-b)，而3a-b是2的倍数，2(a-b)也是2的倍数，故a+b能被2整除，因此，本题得证.

2.3、逆向思维是一种重要的思维方法.

逆向思维作为数学中的一种重要的思维方法，它是在习惯性的思维方向上做完全相反的探索，在社会实践和学习的过程中，人们都有这样一个经验：当你对某一问题冥思苦想而不得其解时，不妨从它的反面去想一想，这样常使人茅塞顿开，获得意外的成功.

例2：若实数a，b，c满足a-b=10，ab+c2+5=0，求证a+b+c=0

分析：由a-b=10得a+(-b)=10