消元法解二元一次方程组

① ②
解:由①-②得: (3x 5 y) (3x 4 y) 5 23
将y=-2代入①,得: 3x 5 2 5
3x 5 y 3x 4 y 18 9 y 18 y 2 即
3 x 10 5 3 x 5 10 3x 15
6x+y=-15
y=-5
x=-2 y=-3
⑵
例3：
2 x 4 y 3 4x 3 y 1
1 x 2 y 1
问题1．这两个方程直接相加减能 消去未知数吗？为什么？ 问题2．那么怎样使方程组中某一 未知数系数的绝对值相等呢？
本例题可以用加减消元法来做吗？
2、 把求出的解代入原方程组，可以检 验解题过程是否正确。
x=y-1
2y – 3y = 1 - 3 -y=-2 y= 2 把y = 2代入②，得 x=y–1=2–1=1
∴方程组的解是 x=1 y=2
2y – 3x = 1 ① 例1 解方程组 x=y-1 ②
谈谈思路:
解： 把②代入①得： 2y – 3（y – 1）= 1 2y – 3y + 3 = 1 2y – 3y = 1 - 3 -y=-2 y= 2 把y = 2代入②，得 x=y–1=2–1=1 =1 ∴方程组的解是 x = 2 y
求a和b的值.
a=1 b=1
• 5、已知钢笔每只5元,圆珠笔每只2元,小
明用16元钱买了这两种笔共5支,试求 小明买钢笔和圆珠笔各多少支?
解:设小明买钢笔x支,买圆珠笔y 支，根据题意列出方程组得 x+y=5 5x+2y=16
6、如图所示，将长方形ＡＢＣＤ的
一个角折叠，折痕为ＡＥ， ∠BAD比∠BAE大48°.设 ∠BAE和∠BAD的度数分别为x ,y度，那么x,y所适合的一个方程 组是 C D y x 48 B
(4) 1、已知（2x+3y-4）+∣x+3y-7∣=0
２
则x= -3
10 — ，y= 3
。
2.已知关于x,y的方程 y=kx+b 的两组 (5)
解是

x 2 x 1 y 3 与 y 2 ，求k,b的值。
(6)若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于 x、y的二元一次方程，求m 、n 的 值.
求解
回代
写解
上面的解方程组的基本思路 是什么？基本步骤有哪些？
上面解方程组的基本思路是把“二元” 转化为“一元” —— ―消元”
将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法， 叫做消元思想。
能力检验
解二元一次方程组
2a b 18, a 3b 2.
2 x y 5, 3x 4 y 2.
y 2 x 90
E A
１７．５探索与实践
设甲数为x,乙数为y,根据下列语句, 列二元一次方程. (1)甲数的3倍比乙数大5; 3x-y=5 (2)甲数比乙数的2倍少2; x=2y-2 (3)甲数的2倍与乙数的3倍的和是 20; 2x+3y=20 (4)甲乙两数之差为2. x-y=2
１７．５探索与实践
(2) 2x+y+z=1 (4)x +2x+1=0 (6)2x+10xy =0
2
(3)x +y=20
(5)2a+3b=5
2
相 1：未知数的个数都是2 同 2：含有未知数的项最高次数是1次 点 3：含有未知数的项是整式而不是分式 （即分母不含有未知数） 含有两个未知数,并且所含未知数的项 的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
7、解法应用：
（1)若方程组
的解为
的值．


mx y n 3 x ny m
2m 3n x 1 ，求 m2 y 2
(1)已知关于x、y的二元一次方程组
ax by 2 x 5 的一组解是 ，求a、b的值。 ax by 22 y 3
x y 3 mx ny 8 已知方程组 与方程组 x y 1 mx ny 4 的解相同，求m、n的值。
即
x5
x 5 所以方程组的解是 y 2
例2：解方程组:
3x 7 y 9 4x 7 y 5
分析：可以发现7y与-7y互为 相反数，若把两个方程的左 边与左边相加,右边与右边相 加，就可以消去未知数y
解:由①+②得: 3x 7 y 4x 7 y 9 5
4. 解方程组 2y = 3x 3y – 2x = 5 x=2
y= 3
x=5 y = -2
5x + 6y = 13
7x+18y= -1
5、解下列方程组： 2（1 － 2x）= 3（y －x）
2（5x － y）－4（3x －2y）= 1
x = 3/4
y = 5/12
6、解下列方程组： x y 1 2 3 2x 1 3y 2 6( )5 2 3 x=2 y=0
X Y 22
使二元一次方程两边的值相等的两个未
知数的值，叫做二元一次方程的解。 X Y
二元一次方程有无穷个解
谈谈思路:
例1 解方程组
2y – 3x = 1 ① 分析 2 y – 3 (y-1) = 1 x ② x=y-1
解： 把②代入①得：
2y – 3（y – 1）= 1 2y – 3y + 3 = 1
3x 5 y 5 3x 4 y 23
还有其他的方法吗?
解方程组:
3x 5 y 5 3x 4 y 23
① ②
3x 5 y 3x 4 y = 5 23
①左边

Байду номын сангаас②左边
=
①右边②右边
解方程组: 3x 5 y 5 3x 4 y 23
s 3t 4, 0.25s 0.5t 0.
4( x y 1) 3(1 y ) 2, x y 2. 2 3
知识拓展
2、用代入法解二元一次方程组 （2） （1）
x y 8 5 x 2( x y) 1
x 1 2 y, 3 2( x 1) y 11.
①
②
1、若方程组
x+y=8m 的解满足 x-y=2m 2x-5y=-1，则m 为多少？
2、若(3x+2y-5)
2
+|5x+3y-
8|=0 求x +y-1的值。
2
你能把我们今天内容小结一下吗？ 1、 本节课我们知道了用加减消元法解 二元一次方程组的基本思路仍是“消 元”。主要步骤是：通过两式相加（减） 消去其中一个未知数。
（1）
7x 4 y 4 ① 5x 4 y 4 ②
4s+3t=5
2s-t=-5
s=-1 t=3
5x-6y=9 7x-4y=-5
x=-3
y=-4
（3）
3x 4 y 16 5x 6 y 33
（2）
3x 4 y 14 5x 4 y 2
同减异加
一.填空题：
x+3y=17 1.已知方程组 2x-3y=6 两个方程 分别相加 就可以消去未知数 y 只要两边 25x-7y=16 两个方程 2.已知方程组 25x+6y=10 只要两边 分别相减 就可以消去未知数 x
做一做
二：用加减法解二元一次方程组。 ⑴
7x-2y=3
x=-1
9x+2y=-19 6x-5y=3
x –y = 3 ① 例2 解方程组 3x -8 y = 14 ②
解：
说说方法:
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
x= 由①得： 3+ y ③
变形
代入
把③代入②得： 3（3+y）– 8y= 14 9+3y– 8y= 14 – 5y= 5 y= – 1 把y= – 1代入③，得 x=2
x =2 ∴方程组的解是 y = -1
例4：
2x 4 y 2 3x 5 y 1
上述哪种解法更好呢？
x 7 y 4
应选择方程组中 同一未知数系数 绝对值的最小公 倍数较小的未知 数消元．
加减法归纳：
用加减法解同一个未知数的 系数绝对值不相等，且不成整 数倍的二元一次方程组时，把 一个（或两个）方程的两边乘 以适当的数，使两个方程中某 一未知数的系数绝对值相等， 从而化为第一类型方程组求 解．
(2)甲数比乙数的2倍少2; (1)甲数的3倍比乙 数大5;
3x-y=5 3x-y=5 x=2y-2 3x-y=5 2x+3y=20 3x-y=5 x-y=2
(3)甲数的2倍与乙数的3 倍的和是20; (4)甲乙两数之差为2.
3、解方程组：

x y 5 3 x 2 y 10 2 x 7 y8 y 2 x 3.2
“一切问题都可以转化为数学问题，一切 数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数 问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解 决了方程问题，一切问题将迎刃而解!‖ ——法国数学家 笛卡儿
消元
——用代入法解二元一次方程组
请判断下列各方程中，哪些是二元 一次方程，哪些不是？并说明理由。
(1)2x+5y=10
知识梳理
1、二元一次方程组
代入消元法
转化
一元一次方程
2、代入消元法的一般步骤：
3、思想方法：转化思想、消元思想、
1
方程（组）思想.
知识拓展
3.
x 1 bx+ay = 5 已知 y 2是二元一次方程组 ax+by = 7
的解，则 a= 1 ，b= 3 。
4.已知 (a+2b-5)2+|4a+b-6|=0，
3x 7 y 4 x 7 y 9 5
将x=2代入①,得:
7 x 14 x2
3 2 7 y 9
6 7y 9
.......
总结：当两个二元一次方程中同 一个未知数的系数相反或相等时， 把两个方程的两边分别相加或相 减，就能消去这个未知数，得到 一个一元一次方程。这种方法叫 做加减消元法，简称加减法。
3 1 m的值为 ，n的值为 7 7
加减消元法
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c . (等式性质 1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac=bc (等式性质 . 2)
2、用代入法解方程的关键是什么？
二元 消元 转化 一元
例1：解方程组