【人教版】七年级数学下册第五章相交线与平行线备课资料教案(含答案)

第五章 5.1.1相交线

知识点1:相交线

当两条直线有且只有一个公共点时,则称这两条直线相交,如图.

知识点2：邻补角

1. 定义:两条直线相交所得的四个角中,有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角是邻补角.如图,∠1和∠2有一条公共边O A,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,称互为邻补角.

2. 性质:如果∠1和∠2是一对邻补角,那么∠1+∠2=180°.

注意：(1)判定两个角是否为邻补角,关键是看这两个角的两边是否满足“其中一边是公共边,另一边互为反向延长线”的条件.

(2)邻补角是成对的,包含了两层含义:①是位置关系:相邻;②是数量关系:两角之和等于180°.

(3)邻补角也可以看作是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角.

(4)注意邻补角和补角的区别:邻补角一定互补,但互补的两个角不一定是邻补角.因为邻补角既相邻又互补,但互补的两个角不管其位置如何,只要它们的和为180°就是一对互补的角.

知识点3：对顶角

1. 定义:两个角,如果它们有一个公共的顶点,并且角的两边互为反向延长线,那么它们就互为对顶角.如图,∠1和∠3,∠2和∠4互为对顶角.

2. 性质:对顶角相等.

注意:(1)判断两角是否为对顶角,要抓住它的特征:①有公共顶点;②两个角的两边互为反向延长线.

(2)对顶角是成对出现的,单独一个角不能构成对顶角.

(3)互为对顶角的两个角相等,但相等的两个角不一定是对顶角.

考点1:利用对顶角、邻补角建立起角度之间的联系

【例1】如图,直线AB,CD,EF相交于点O,∠AOE=30°,∠BOC=2∠AOC,求∠DOF的度数.

解:设∠AOC=x°,则∠BOC=2x°.

由邻补角的定义得2x+x=180.

解之,得x=60.∴∠AOC=60°.

∴∠EOC=∠AOC-∠AOE=60°-30°=30°.

∴∠DOF=∠EOC=30°.

点拨：∠EOC与∠DOF互为对顶角,因此要求∠DOF的度数只需求出∠EOC的度数.由已知∠BOC=2∠AOC且∠BOC与∠AOC互为邻补角,从而可求出∠BOC和∠AOC的度数,再由∠EOC的度数等于∠AOC 和∠AOE的度数之差,且∠AOE的度数已知,不难求出∠EOC的度数.

考点2:角度计算问题常见解题思路

【例2】如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠AOD∶∠BOE=4∶1,求∠AOF的度数.

解:方法一:由已知可设∠AOD=4x°,∠BOE=x°.∵OE平分∠BOD,∴∠BOD=2∠BOE=2x°.∵∠AOD+∠BOD=180°,∴4x+2x=180,解得x=30,∴∠BOE=30°,∠AOD=120°,∴∠COE=150°.∵OF平分∠COE,∴∠EOF=∠COE=75°,∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=45°,∴∠AOF=180°-∠BOF=135°.

方法二:∵OE平分∠BOD,∴∠DOE=∠BOE.∵∠AOD∶∠BOE=4∶1,∴设∠AOD=4x,则∠BOE=∠DOE=x.∵点O在直线AB上,∴∠AOD+∠BOD=180°,∴4x+x+x=180°,解得x=30°.∴∠DOE=30°,∠BOD=60°,∴∠COE=180°-∠DOE=150°,∠AOC=∠BOD=60°.∵OF平分∠COE,∴∠COF=∠COE=75°,∴∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135°.

点拨：由于∠AOF=∠AOC+∠COF,因此求∠AOF的度数可以转化为求∠AOC的度数和∠COF的度数.由于∠AOC=∠BOD,∠COF=∠COE,因此求出∠BOD的度数和∠COE的度数是解题的关键.

第五章 5.1.2垂线

知识点1：垂直的定义

1. 垂直:直线a,b相交于点O(如图),当有一个夹角为90°时,称直线a,b互相垂直,记作a⊥b 或b⊥a.在图中我们用⊥作为表示两条直线互相垂直的标识,它们相交的交点O叫做垂足.日常生活中,如墙角、黑板、窗框、书边、课桌等都给我们垂直的形象.

2. 垂线段:过直线外一点作已知直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做这条直线的垂线段.如图,过直线l外一点P,作PO⊥直线l,垂足为O,则线段OP叫做点P到直线l的垂线段.

知识点2：垂线的画法

1. 垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,这是我们必须掌握的基本作图之一.那么如何才能画出呢?具体地说来,可以有下面的三种方法:

(1)利用三角板;(2)利用量角器;(3)利用直尺和圆规.

运用(1)或(2)两种工具作图时可以按下面的步骤操作:

①一贴:将三角板的一条直角边紧贴于已知直线(或是将量角器的0°线与已知直线重合);

②二过:使三角板的另一直角边经过已知点(或是使量角器的90°线经过这一点);

③三画:沿着已知点所在的这条直角边画出所求直线(或者是沿量角器90°线所在直线画出).如图所画的PQ就是直线AB的垂线.

2. 点到直线的距离:直线外一点到这条直线垂线段的长度,叫做点到直线的距离,在上图

中,PQ的长度就是点P到直线AB的距离.

注意：(1)垂线、垂线段的垂足都要作垂直符号;(2)垂线段和表示距离的线段要画出端点,而垂线则可向两方延伸;(3)作线段(射线)的垂线时,如果垂足在其延长线(反向延长线)上,则应将其延长(或反向延长),并且用虚线表示.

知识点3：垂线的性质

性质(1):在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.这里的“过一点”的点既可以在直线上,也可以在直线外;“有”表示存在,“只有”则表示唯一,意思是说,肯定有一条并且不能多于一条.

性质(2):连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单的说成:垂线段最短.

考点1:利用垂直定义求角度的大小

【例1】如图所示,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB于点O,∠EOD∶∠BOD=3∶1,求∠COE的度数.

解:∵OE⊥AB,∴∠EOB=∠AOE=90°.

∵∠EOD∶∠DOB=3∶1,

∴∠BOD=∠EOB=×90°=22.5°.

又∵∠AOC=∠BOD=22.5°,∠COE=∠AOC+∠AOE,

∴∠COE=22.5°+90°=112.5°.

点拨：垂直是两条直线的位置关系,而90°是一个角的大小,垂直定义建立起两直线垂直与90°的角之间的联系.由于∠COE=∠AOC+∠AOE,∠AOE=90°,因此只需求出∠AOC即可,又因为∠AOC=∠BOD,故将求∠AOC的度数转化成求∠BOD的度数,又由于∠EOD∶∠BOD=3∶1,∠EOD+∠BOD=90°,从而可求出∠BOD的度数.

考点2:垂线段与点到直线的距离的应用

【例2】点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4 cm,PB=5 cm,PC=2 cm,则点P 到直线m的距离( )

A.为4 cm

B.为2 cm

C.小于2 cm

D.不大于2 cm

答案:D

点拨：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度,虽然垂线段最短,但是在PA,PB,PC 中并没有说明PC是垂线段,所以垂线段的长可能小于2 cm,也可能等于2 cm.

考点3:垂线段与点到直线的距离的应用

【例3】如图,点A表示小明家,点B表示小明的外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短?请画出行走路线.