圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用
圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。

由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。

本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?
定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则
（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|
cos 1|||2
2αe H
AB -=
； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|
sin 1|||22αe H
AB -=
.
本文仅对焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线为例证明，其它情形请读者自证.
证明：设双曲线方程为12222=-b
y a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a c
e =，弦AB
所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为
为参数）（，
t t y t c x ⎩⎨
⎧=+-=.
sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：
0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：
|
cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24|
|||22
2222
2222
2
2222
22222222
12
2121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=
-=-----=-+=-=）（）（
.|
cos 1|22αe H
-=
推论
（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α
2
2cos 1||e H
AB -=
；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α
2
sin ||H
AB =. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α
22sin 1||e H
AB -=；当
A 、
B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α
2cos ||H
AB =.
典题妙解
下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.
例1（06湖南文第21题）已知椭圆13
4221=+y x C ：，抛物线px m y 22
=-）（（p ＞0）
，且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.
（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上；
（Ⅱ）若3
4
=
p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程. 解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x .
从而点A 的坐标为），（231或），（2
31-.
点A 在抛物线2C 上， .24
9p =∴
即.89
=p
此时抛物线2C 的焦点坐标为
），（016
9
，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2
π
α≠.
则直线AB 的方程为）
（1tan -⋅=x y α. 抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴，焦点在AB 上，通径3
8
2=
=p H ，离心率1=e ，于是有
又 AB 过椭圆1C 的右焦点，通径322==
a
b H ，离心率21
=e . .cos 138
sin ||2
2）
（αα-==H AB
∴.cos 412
|cos 1|||2
22α
α-=-=e H AB ∴
）（α2cos 138-.cos 412
2
α
-= 解之得：6tan 7
1cos 2
±==αα，. 抛物线2C 的焦点）
，（m F 3
2
在直线）（1tan -⋅=x y α上， ∴αtan 31-=m ，从而3
6
±
=m . 当3
6
=
m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ； 当3
6
-
=m 时，直线AB 的方程为066=--y x . 例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12
32
2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.
（1）设P 点的坐标为）
，（00y x ，证明：2
32
020y
x +＜1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值.
（1）证明：在12
32
2=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，
.1||2
1||21===
∴c F F OP 得.12
020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.
显然，圆12
2
=+y x 在椭圆12
32
2=+y x 的内部. 故2
32
020y
x +＜1.
（2）解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角
απ
+2
.
2F
O
A
B
x
y
通径3
3
422=
=a b H ，离心率33=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是
.sin 33
42cos 1||cos 33
4cos 1||2
2
2222ααπα
α-=+-=-=-=
）
（，
e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积
.2sin 2496sin 334cos 33421||||21
2
22αα
α+=-⋅-⋅=⋅=
AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα .
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .
故四边形ABCD 面积的最小值为
25
96. 例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l 、
2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等
差数列，且BF 与FA 同向.
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.
解：（Ⅰ）设双曲线的方程为122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）.
||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||， ∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =
. 从而43||m OA =，4
5||m
OB =. 2F
A
B
C
D O x
y 1F P
又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x a
b y =
. ∴.tan a b
=
α 而.3
4||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α ∴
34)(12tan 1tan 222=-⨯
=-a
b a b αα. 解之得：.2
1
=a b
∴.2
5
)(12=
+=a b e （Ⅱ）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απ
θ+=
2
.
∴αθsin cos -=. 而.51)2
1(1)21
(tan 1tan sin 22
2
2
2=+=+=ααα ∴5
1
cos 2=θ.
通径b a
b
b a b H =⨯==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θ
e H
MN .
即
45
1)25(
12=⨯-b .
解得3=b ，从而6=a .
∴所求的椭圆方程为
19
362
2=-y x . 金指点睛
1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422
=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________. 2. 过双曲线13
22
=-
y x 的左焦点F 作倾斜角为6π
的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.
A B
y
O F x
1l
2l
N M
3. 已知椭圆02222=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的最大面积.
4. 已知抛物线px y 42
=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，求证：m
S 2
为定值.
5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12
2
2
=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.
6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82
=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.
O x
N
P
y M
Q
F
B O x
y A
F y
O F x A
B
（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；
（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.
7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.
（1）求点M 的轨迹方程；
（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.
8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆15
22
=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线.
（1）求双曲线的方程；
（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的面
积的最小值.
参考答案
1. 解：3,1,2===c b a ，离心率23
==a c e ，通径122==
a b H ，直线l 的倾斜角4πα=. ∴5
8
)2
2()23(
11
sin 1||2222=⋅-=
-=
α
e H
AB . 2. 解：2,3,1===c b a ，离心率2==a c e ，通径622==
a b H ，直线的倾斜角6π
α=. ∴3|)2
3(
21|6|
cos 1|||2222=⋅-=
-=
αe H
AB .
3. 解：1222=+y x ，1,1,2===c b a ，左焦点)0,1(-F ，离心率2
2==a c e ，通径y
O F x
A B
D
E
C l
α
m P
222
==a
b H .
当直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴，这时22||2
===a
b H AB ，高1||==
c OF ，△AOB 的面积2
2
1221=
⨯⨯=
S . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的倾斜角为α，则其方程为)1(tan +⋅=x y α，即
0t a n t a n =+-⋅ααy x ，原点O 到直线AB 的距离ααααααsin |
sec ||
tan |1
tan |
tan 0tan 0|2==
++-⨯=
d .
α
ααα
2222
22sin 12
2cos 222cos )2
2(
12
cos 1||+=
-=
⋅-=
-=
e H
AB . ∴△AOB 的面积α
α
2
sin 1sin 2||21+=⨯⨯=d AB S . 0＜α＜π，
∴αsin ＞0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴2
2sin 2sin 2=
≤
ααS . 当且仅当1sin =α，即2
π
α=
时，“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为
2
2
. 4. 解：焦点为)0,(p F ，通径p H 4=.
当直线AB 的斜率不存在时，x AB ⊥轴，这时p m AB 4||==，高p OF =||，△AOB 的面积
22||||2
1
p OF AB S =⨯⨯=
. ∴34
42444p p
p m p m S ===，是定值. 当直线AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α，则其方程为)(tan p x y -⋅=α，即
0t a n t a n =+-⋅ααp y x ，原点O 到直线AB 的距离αααααsin |
sec ||
tan |1
tan |tan |2p p p d ==
+=
.
B O x
y A
F
α
α22sin 4sin ||p
H AB ==
.
∴△AOB 的面积α
sin 2||212
p d AB S =
⨯⨯=. ∴
3
2242424sin sin 41sin 4p p
p m p m S =⨯=⨯=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置，均有32
p m S =（3p 为定值）. 5. 解：在椭圆12
2
2
=+y x 中，.112===c b a ，， 由已知条件，MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F ，且PQ MN ⊥.
如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角
απ
+2
.
通径222==a b H ，离心率2
2
=e .于是有 .sin 22
2sin 1||cos 22
2)
2
(
sin 1||2
222
22α
αα
απ
-=-=
-=+-=
e H PQ e H
MN ，
∴四边形PQMN 的面积
.2sin 816sin 222cos 22221||||21
22
2αα
α+=-⋅-⋅=⋅=
PQ MN S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα .
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∴2916，S .
故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为
9
16
和2. 6.（Ⅰ）解：4,82==p p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(，
O x
N
P
y M
Q
F
y
O F x A
B
准线l 的方程为2-=x .
（Ⅱ）证明：作l AC ⊥于C ，AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααα
αcos ||||,cos ||||,sin 8
sin ||2
2AF AD FP EF H AB ====
. ∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF . ∴α
cos 14
||-=
AF . ∴α
ααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=--=
-=-=AB AF AE AF EF ， 从而α
α2sin 4
cos ||||==EF FP . ∴8sin 2sin 4
)2cos 1(||2cos ||||22
=⋅=-=-αα
ααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值，此定值为8.
7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等，
∴点M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F 是它的焦点，直线2:-=y l 是它的准线.
从而
22
=p
，∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.
（2） 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， ∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α， 则直线CD 的倾斜角为α+︒90. 抛物线的通径82==p H ，于是有：
α
ααα2
222sin 8
)90(cos ||,cos 8cos ||=+︒===
H CD H AB . ∴四边形ACBD 的面积
.2sin 128sin 8
cos 821||||21
2
2
2ααα=⋅⋅=⋅=
CD AB S 当且仅当α2sin 2
取得最大值1时，128min =S ，这时︒=︒=45,902αα.
∴四边形ACBD 的最小面积为128.
y O F x
A B
D
E
C
l
α
m P F
O x
A B
D
C
y
q q q q
ss 8. 解：（1）在椭圆15
22
=+y x 中，2,1,522=-===b a c b a ，∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F . 在抛物线x y 22-=中，1=p ，∴其准线方程为2
12==p x . 在双曲线中，2
1,22==c a c ，∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为132
2
=-y x . （2） 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，
∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90. 双曲线的通径622==a
b H ，离心率2==a
c e . 于是有： α
ααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+︒-=-=-=e H CD e H AB . ∴四边形ACBD 的面积 .2sin 4318sin 416cos 41621||||21222ααα+-=-⋅-⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，18min =S ，这时︒=︒=45,902αα.
∴四边形ACBD 的最小面积为18.
y
2F
A
O x 1l 2
l B C
D。