柯西不等式的证明及其应用

柯西不等式的证明及其应用

基础知识：

定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则

2222222

11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*）

当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是

12

12n n

a a a

b b b ===……。我们称不等式（*）为柯西不等式。 证明：

1）两个实数的柯西不等式的证明：

对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222

11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当

12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12

12

a a

b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有

2222

22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当12210a b a b -=时等号成立。

不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有

异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式

得：|OP

|=，|OQ

|=

|PQ

|=设OP 与OQ 的夹角为θ， 由余弦定理得

222||||||cos 2||||OP OQ PQ OP OQ θ+-

==

。 因为1cos 1θ-≤≤，所以2

cos 1θ≤

21≤，

即22222

11221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当2cos 1θ=时等号成立，

即OPQ 共线时等号成立。这时有12

12

a a

b b =，即12210a b a b -=。 （2）多元柯西不等式的证明：

1）配方法：作差：因为2221

1

1()()()n n n

i

j

i i i j i a b a b ===-∑∑∑

221

1

1

1

()()()()n n n n i

j

i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑2211

11

n n

n n

i j

i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑

2222111111

1(2)2n n n n n n

i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211

1()02n n

i j j i i j a b a b ===-≥∑∑

所以222

1

1

1

()()()n

n

n

i

j

i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221

1

1

()()()n

n

n

i

j

i i i j i a b a b ===≥∑∑∑

即2222222

11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………

当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==……

即(1,2,,;1,2,,;0)j

i j i j a a i n j n b b b ===≠…………时等号成立。 3）利用判别式证明（构造二次函数法） i)若120n a a a ====……，则不等式显然成立。

ii)若12n a a a ，，……，至少有一个不为0，则222

12n

a a a +++……>0 对于任意的实数x ，总有2()0i i a x

b -≥(1,2,,)i n =……, 22220i i i i a x a b x b ++≥。 当1,2,,i n =……时，将以上n 个式子相加，有

2222222

12112212()2()()0n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++-+++++++≥……………… 当222120n a a a +++>……时，上面的不等式对于所有的x 均成立。

故有判别式

2222222112212124()4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤……………… 即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………。

当

1212n n a a a b b b ===……时，因为11221222121

n n n a b a b a b a

b b b b ====……。 故

11221222121n n n a b a b a b a b b b b +++=+++…………。同理可得11221

222

121

n n n a b a b a b b a a a a +++=+++…………。 两式相乘，得

2222222

11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++=++++++………………

即不等式的等号成立。 不等式的等号成立，即

2222222

11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++=++++++………………时，有 222222*********[2()]4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b -+++-++++++=………………

则关于x 的方程

222222212112212()2()()0n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++-+++++++=………………

则有2221122()()()0n n a x b a x b a x b -+-++-=…… 于是0(1,2,)i i a x b i n -==……，即

1

(1,2,)i i a i n b x

==……，即12

12n n

a a a

b b b ===……。 5）用向量法证明

设n 维空间中有二个向量a 12,,,n a a a =（……）

，b 12(,,,)n b b b =……，其中 1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为任意两组实数。

由向量的长度定义，有||

a =||

b =又由内积的定义，||||cos a b a b θ⋅=,θ是,a b 的夹角，

且有 a b ⋅1222n n a b a b a b =+++……。 因|cos θ|1≤，故||||||a b a b ⋅≤⋅|，于是

|1122n n a b a b a b +++……|

≤

2222222

11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………

当且仅当|cos θ|1=时，即a 与b 共线时等号成立。

由a b ⋅共线可知1122,,,n n a b a b a b λλλ===……λ∈（R ）