数列中不等式放缩的两种常见类型

数列中不等式放缩的两种常见类型
数列与不等式相结合的问题，屡次作为高考题的压轴题出现。

常见的形式是形如“证明某个数列n a 的和（或积）大于（或小于）一个常数”的问题，需要利用多种技巧进行放缩，学生普遍感觉困难。

本文尝试对两种最常见的类型与技巧进行总结说明。

一、拆项型
大家熟知的结构是，11
11)1
11(
)
1(11
1
<+-
=+-
=
+∑
∑
==n k k
k k n
k n
k ，推广而言，只要分
母是某个等差数列两项，都可用这种思路，当然，有时需要乘以某个系数，也有时相消
后剩余多于两项。

它的一个变形是，
)2()
1(111
1
2
∑
∑
==≥-<
n
k n
k k k k k。

事实上，只要分母是同一个数列中的两项乘积的分式形式的数列，都可以考虑这一思路。

例1、（改编自2009深圳一模）已知1
2
1-=n n a ，求证： 2
1)
1)(1(2
6
11
1<
++≤
∑
=+-n
k k k k
a a .
分析：=
+++)
1)(1(1
1k k a a
(
2
1)12
1)(
12
1(1
1
k
k
k =++--+1
2
11k
)1
2
1
11
+-k ∑∑
==+--+=
++∴n
k k
n
k kt k k a a 1
1
11
2
11(
)
1)(1(2
)1
2
1
1
1
+-k 2
11
22
-
+=k
k
再利用函数=
+=
1
22
x
x
y 1
2
11+x
在),1[∞+∈x 上为增函数可得证。

例2．（改编自2006年全国卷I ） 已知2
262
42
32+⨯-⨯⨯=n
n
n
n T ，求证：2
31
<
∑=n
i i T 。

分析：
)
22)(12
(232
262
42
31
1
2--⨯=
+⨯-⨯⨯=
++n n n n
n
n
n T =
)2
2
22
2
2(
3)1
2
22
2
2(
32
1
1
1
1
--
-=--
-+++++n n n n
n n
n n
，
所以，2
3)2
21(3)2
2
21(32
12
1
1
=
-
<--
=++++=∑n n n n n
i i T 。

对于有些关于积的不等式，也可以借鉴这种拆项相消的思维。

例3.（改编自08年福建） ①如果对一切n ，不等式22+-
+<
n c n n 恒成立，求实数c 的取值范围；
②求证：
112)
2(42)12(314
2312
1-+<
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+
+⨯⨯+
n n n
分析：对于①易得1≥c 。

对于②，考虑题目的结构特点，我们估计需证
1212)
2(42)12(31--
+<
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯n n n n 。

而由①可
知
1.
<-所以，只需证明
1
21)
2(42)12(31+<
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯n n n ，再次利用拆项相消的经验，我们估计
1
212212+-<
-n n n
n
成立，而上式平方易证。

二、等比型
例4、（改编自2007四川）已知1
3
41
2
-=
-n n b ，n T 是}{n b 的前n 项和，证明3<n T 。

分析：由于21=b ，如果能将}{n b 放大成一个等比数列，使其无穷项和为
311=-q
，则
需3
1=
q 。

于是，只需证明
3
11≤
+n
n b b 。

事实上，
3
11
3
1
4
1
3
1
3
4
1
1
2
2
2
1≤+=-⨯
-=--+n n n
n
n b b 。

于是，当1n >时，21
1211
11()()333
n n n n b b b b ---<
<<<
∴12n n T b b b =+++ 111111()33n b b b -<+++ 11[1()]
3113
n
b -=-
133()33n
=-⋅<． 例5、（改编自2009重庆）已知n
n b b b 14,411+
==+，求证：2
217
1641||-⨯
≤
-n n n b b
分析：当1n =时，结论21117464
b b -=<成立
当2n ≥时，有1111
1
11
1|44|||||17
n n n n n n n
n n n b b b b b b b b b b -+-----=+--
=-≤
所以 2121221n n n n n n n n b b b b b b b b +++---+-++- ≤≤ 2
1
2
21
17
164
117
11)17
11()
171(4
1])171
()171
()
17
1[(4
1----⨯<
-
-=+++n n
n n n n 。

例6、(改编自09成都市一诊)若数列{}n b 满足：3)2(2
1+--=+n n n b n b b ，11>b ，
①用数学归纳法证明：n b n ≥；
②记1
2
3
11113333n n
T b b b b =
+
+
++
++++ ，证明：12
n T <。

分析：第①问略。

对于第②问，观察到
4
1311
≤
+b ，而
2
12
1141
=
-
，所以，只需证
2
1333311
1
≤++=+1+++n n n
n b b b b ，即证321+≥+n n b b ，将3)2(2
1+--=+n n n b n b b 代入，即
证n b n ≥。

上面介绍了数列中不等式放缩的两种常见想法，最终选择哪种方法，应该依赖于通项的
结构特点。

甚至，有些题这两种策略都可以用。

如：
除此以外，证明数列不等式问题也可考虑使用重要不等式或二项式展开等，或者数学归纳法。

篇幅所限，不再赘述。