数列中不等式放缩的两种常见类型

数列中不等式放缩的两种常见类型

数列与不等式相结合的问题，屡次作为高考题的压轴题出现。常见的形式是形如“证明某个数列n a 的和（或积）大于（或小于）一个常数”的问题，需要利用多种技巧进行放缩，学生普遍感觉困难。本文尝试对两种最常见的类型与技巧进行总结说明。

一、拆项型

大家熟知的结构是，11

11)1

11(

)

1(11

1

<+-

=+-

=

+∑

∑

==n k k

k k n

k n

k ，推广而言，只要分

母是某个等差数列两项，都可用这种思路，当然，有时需要乘以某个系数，也有时相消

后剩余多于两项。它的一个变形是，

)2()

1(111

1

2

∑

∑

==≥-<

n

k n

k k k k k

。

事实上，只要分母是同一个数列中的两项乘积的分式形式的数列，都可以考虑这一思路。

例1、（改编自2009深圳一模）已知1

2

1-=n n a ，求证： 2

1)

1)(1(2

6

11

1<

++≤

∑

=+-n

k k k k

a a .

分析：=

+++)

1)(1(1

1k k a a

(

2

1)12

1)(

12

1(1

1

k

k

k =++--+1

2

11k

)1

2

1

11

+-k ∑∑

==+--+=

++∴n

k k

n

k kt k k a a 1

1

11

2

11(

)

1)(1(2

)1

2

1

1

1

+-k 2

11

22

-

+=k

k

再利用函数=

+=

1

22

x

x

y 1

2

11+x

在),1[∞+∈x 上为增函数可得证。

例2．（改编自2006年全国卷I ） 已知2

262

42

32+⨯-⨯⨯=n

n

n

n T ，求证：2

31

<

∑=n

i i T 。

分析：

)

22)(12

(232

262

42

31

1

2--⨯=

+⨯-⨯⨯=

++n n n n

n

n

n T =

)2

2

22

2

2(

3)1

2

22

2

2(

32

1

1

1

1

--

-=--

-+++++n n n n

n n

n n

，

所以，2

3)2

21(3)2

2

21(32

12

1

1

=

-

<--

=++++=∑n n n n n

i i T 。

对于有些关于积的不等式，也可以借鉴这种拆项相消的思维。 例3.（改编自08年福建） ①如果对一切n ，不等式22+-

+<

n c n n 恒成立，求实数c 的取值范围；

②求证：

112)

2(42)12(314

2312

1-+<

⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+

+⨯⨯+

n n n

分析：对于①易得1≥c 。

对于②，考虑题目的结构特点，我们估计需证

1212)

2(42)12(31--

+<

⨯⨯⨯-⨯⨯⨯n n n n 。

而由①可

知

1.

<-所以，只需证明

1

21)

2(42)12(31+<

⨯⨯⨯-⨯⨯⨯n n n ，再次利用拆项相消的经验，我们估计

1

212212+-<

-n n n

n

成立，而上式平方易证。 二、等比型

例4、（改编自2007四川）已知1

3

41

2

-=

-n n b ，n T 是}{n b 的前n 项和，证明3

分析：由于21=b ，如果能将}{n b 放大成一个等比数列，使其无穷项和为

311=-q

，则

需3

1=

q 。于是，只需证明

3

11≤

+n

n b b 。事实上，

3

11

3

1

4

1

3

1

3

4

1

1

2

2

2

1≤+=-⨯

-=--+n n n

n

n b b 。

于是，当1n >时，21

1211

11()()333

n n n n b b b b ---<

<<<