断裂力学基础

-I 型裂纹-张开型裂纹，受拉力作用，裂纹面张开；y
方向位移分量 v 不连续；
I
-II 型裂纹-滑开型裂纹，受面内剪力作用，裂纹面位
移分量 u 不连续；(刃型位错，剪切应力)
-III 型裂纹-撕开型裂纹，受面外剪力作用，裂纹面位移分量 w 不连续。（螺旋位
错，剪切应力）
II
III
y
x z
※ 裂纹尖端区的弹性应力场、应力强度因子
σ
W
力强度因子高于无限宽板含中心裂纹 2a 的应力强度因子，可写成：
K I = Y2σ
πa ,
Y2
=
Y2
(a W
)
> 1 ，Y2称为背表面修正系数。
※ 脆性断裂判据和断裂韧性
（在此前讨论含裂纹体的应力场，给出裂尖区域的应力分布直接与应力强度因子
关联。我们知道，在外力作用下，如果裂纹发生快速的，无预兆的扩展，在工程
断裂。对于I型裂纹，断裂判据为： K I = Kc 。 K c 是材料的断裂韧度，与材料性
质和试件样品的厚度相关，通过试验实测得到。由应力强度因子的量纲可直接得
到断裂韧度 K c 的量纲=力(长度)1/2。
-能量释放率与脆性断裂判据（G 判据） Griffith理论：无限大平板，含中心裂纹 2a，承受分布拉伸应力，其总能量为： U= UE+Γ-W，其中UE为平板中形成裂纹后弹性应变能的变化；Γ为裂纹表面能； W为外力所作的功。Griffith考虑恒位移（恒力）加载情况下薄平板中形成裂纹， 外力所作的功W=0，总能量仅由裂纹体弹性应变能和裂纹表面能两项组成。当裂 纹扩展，含裂纹体的弹性应变能必然减小↓，这是因为在裂纹扩展时，裂纹两侧 的约束力突然松弛。另一方面，裂纹扩展形成新的裂纹面，表面能随裂纹扩展而 增加↑。这样一来，总能量中的两项的平衡与否决定了裂纹是否是稳定扩展还是 失稳扩展。标准能量平衡方程： dU = 0 。
由实部、虚部对应，不难得到 I 型裂纹问题的应力通解：
σ xx = Re Z1 − y Im Z1' , σ yy = Re Z1 + y Im Z1' , σ xy = −2 y Re Z1' 。将这些应力解代
入弹性力学平面问题的物理方程，可得到三个应变分量。再代入几何方程积分后
得到位移通解：
∫ u
上就会导致灾难性的断裂事故。这是完全有可能的。力学上称裂纹发生快速的，
无预兆的扩展为裂纹失稳扩展，是一种低应力脆性断裂。）根据含裂纹体弹性应
力场的分析，线弹性断裂力学采用两种脆性断裂判据作为断裂强度和工程设计极
限依据：
-应力强度因子判据（K判据）当含裂纹弹性体在外力作用下，其裂纹尖端应力 强度因子K达到临界应力强度因子时，裂纹就发生失稳扩展，即裂纹体发生脆性
da 比如在平面应力状态下，恒位移加载，裂纹形成时外力功为W=0；对于薄板含中 心裂纹 2a时情况下, 由于生成裂纹, 在其周围单位体积内应变能密度改变可由线
弹性理论算出为：U E
=
πa
2σ
2 L
E
，式中，σL是垂直于裂纹面的张应力，E是弹性
模量。单位宽度的裂纹系统的表面能：Γ = 4aγ ，γ为单位面积的自由表面能。总
对于无限大板含长为 2a 的中心裂纹，承受双向均匀拉伸载荷σ 。根据该问题的
边界条件，选取解析函数为： Z1(z) =
σz = z2 − a2
σ
。代入前应力形式，
1− a2 / z2
σ xx = Re Z1 − y Im Z1' , σ yy = Re Z1 + y Im Z1' , σ xy = −2 y Re Z1' 。可以证明，该函 数满足该问题的边界条件：
（1）
z
→
∞
:
Z
' 1
= 0,
Z1
=
0⇒σx
=σy
= σ xy
=0
（2） x < a, y = 0 : Re Z1 = 0 ⇒ σ y = 0, σ xy = 0 （除载荷作用点外，均为自由
表面）
∞
∫ （3）沿 y=0 面将板切开，两块板满足静力平衡条件： 2P = 2 σ yydx ； a
坐标平移到裂纹右端点，ζ=z-a，
σ
σyy
σxy
r
σxx
θ
a
a
σ
心裂纹的无限大板+承受 x 方向拉伸载荷的含中心裂纹的无限大板。因此应力
强度因子亦满足该迭加原理，K I (a)
=
K (b) I
−
K I (c) 。由于在承受
x
方向拉伸载
荷的含中心裂纹的无限大板中，x 方向
σ
σyy σxy
r
σxx
θ
σ
σ
a
a
σ
σyy
σxy
r
σxx
θ
σ
σ
a
a
σ
σ
σ
=
2a
2a
-
2a
σ
σ
σ
拉伸载荷与裂纹平行，裂纹尖端无奇异性，即：K I (c)
=
0 ，故 K I (a)
=
K (b) I
=σ
πa 。
3．半无限大板含边裂纹a，无限远处承受垂直于裂纹面的单向拉伸载荷-该问题
同样可在第二例题结果（无限宽板含中心裂纹 2a的KI）的基础上进行讨论。 从几何结构上来看，可将无限宽板含中心裂纹 2a沿中心线切开取其一半，切
v
= =
1 [(1 E'
−
v')
Re
Z~1
−
(1
+
v')
y
Im
Z1
]
，式中，
1 E'
[2
Im
Z~1
−
(1
+
v')
y
Re
Z1
]
Z~1
=
Z1dz 。
平面应力问题， E' = E, v' = v ；平面应变问题， E' = E /(1 − v2 ), v' = v /(1 − v) 。
I型裂纹的解析函数Z1(z)
K I sin θ cos θ cos 3θ 2πr 2 2 2
⎧0 平面应力 σ zz = ⎩⎨v(σ xx + σ yy ) 平面应变 位移分量为：
y
a
z=x+iy ζ=z-a y’
r
θ
x
a
u = KI 2G
v = KI 2G
r
θ cos
(κ
−1+
2 sin 2
θ
)
2π 2
2
r sin θ (κ + 1 − 2 cos2 θ )
主要介绍 I 型裂纹（常见的、也是研究内容最多的） -I 型裂纹尖端区域的应力场和应力强度因子 I型裂纹是平面问题：面内应力，面内位移。其基本形式是无限大平面中含裂纹， 长为 2a，这是复连通域问题。弹性力学中可用复变函数方法求解这样的问题。 假定在不受力状态下，裂纹端部是完全尖锐的，由复变函数解法可得到关于椭圆
（1） z → ∞ : Z1' = 0, Z1 = σ ⇒ σ x = σ y = σ , σ xy = 0 外边界； （2） x < a, y = 0 : Re Z1 = 0 ⇒ σ y = 0, σ xy = 0 裂纹面为自由表面。
σ
σyy σxy
r
σxx
θ
σ
σ
a
a
σ
裂纹尖端区域的应力场和应力强度因子
2πr 2
2
Z1' (ζ ) = −
K I ⋅ 1 (cos 3θ − i sin 3θ ) 。
2πr 2r 2
2
应力分量可以写成：
σ xx = σ yy = σ xy =
KI
θ cos
(1 −
sin
θ
sin
3θ
),
2πr 2
22
K I cos θ (1 + sin θ sin 3θ )
2πr 2
22
定义 K I
=
lim
ζ →0
2πζ ⋅ Z1(ζ ) =I 型裂纹尖端应力强度因子。
Z1(ζ ) 函 数 可 写 成 ： Z1 (ζ ) =
K I 。 在 极 坐 标 系 下 ， ζ = r(cosθ + i sinθ ) ， 2πζ
Z1 (ζ ) =
K I (cos θ − i sin θ ),
孔（I型裂纹）的解析函数Z1(z)，其中Z1(z)满足：
ψ
'(z)
=
1 2
Z1
χ"(z)
=
−
1 2
zZ
' 1
。面内应力分量可表示成：
σ xx + σ yy = 2 Re Z1 ,
。
σ yy
− σ xx
+ 2iσ xy
=
zZ
' 1
− zZ1'
=
−2iyZ1'
=
2 y Im Z1'
− 2i Re Z1'
开侧边不是自由边，其上作用有另一半对它的作用力，沿y方向的非均匀的x
向分布力。这些非均匀分布力会造成附加弯曲，引起裂纹闭合。这样一来，
此结构是与原未切开大板相同的， K I = σ πa 。而在半无限大板含边裂纹a
问题中，侧边上没有力系作用，在顶边拉应力作用下，比较容易使裂纹张开。
因此该问题的应力强度因子KI必定大于无
限宽板含中心裂纹 2a的KI。由数值计算得
y
到的结果为：
K I = Y1σ πa Y1 = 1.12 。
P
b
bP
r
4．无限宽板含中心裂纹 2a，承受作用于裂纹
面上的楔力 P（单位厚度上的力）。解析函
a
a
数取为：
Z1
(z)
=
π
(
2Pz z2 −b
a2 2)
− b2 z2 − a2
，代
P
P
入应力表达式可得到应力解，并满足全部边界条件：
2π 2
2
其中平面应力状态：κ = (3 − v) /(1 + v) ；平面应变状态：κ = 3 − 4v 。
应力分布特点：弹性裂纹尖端区域应力场具有 1/2 阶奇异性，应力强度因子KI是 表征奇异性应力场的唯一参量：=奇异性项r -1/2+角分布函数。
应变分布特点：由于弹性应力与应变呈线性关系，裂纹尖端区域的应变场也具有
KI 2πr
fij (θ ) 。
下面将给出几种常见的 I 型裂纹问题中的应力强度因子的表达式：
1．承受双向拉伸载荷的无限大板问题：按定义，在无限远处承受均匀双向拉伸
载荷，板中心裂纹长为 2a，满足边界条件的解析函数为： Z1(z) =
σz ， z2 − a2
坐 标 平 移 后 解 析 函 数 为 ： Z1 (ζ ) =
第八章 断裂
断裂力学研究含裂纹固体裂尖区域的应力场和应变场，并分析裂纹扩展的条件和
规律；
从裂纹长度上可有宏观裂纹（长度>0.1 mm），微裂纹
（长度<0.1mm）往往出现在固体材料内部；在载荷作
用下，微裂纹可以发展成为宏观裂纹，因此裂纹扩展
规律、裂纹起始及其失稳判据也是断裂力学研究的范
围。
※ 裂纹的基本类型-三种基本变形方式
p
p
a1
a1
于裂纹面(a1<x<a)上的分布楔力p（单
r
位面积上的力）。该情形可利用 4 的
结果，考虑在b=x的微段dx上的微楔
aБайду номын сангаас
a
力dP=pdx作用下得到微应力强度因
p
p
子 dK I =
2 pdx a ，考虑x在a1-a π (a2 − x2 )
变化时的积分，即求到分布楔力p作用下的应力强度因子
KI = 2p
现考虑裂纹尖端区域的应力场和位移场-这是断裂力学关心的重点。原坐标原点 平移到裂尖端点，z=x+iy ，ζ=z-a，得到新坐标下的解析函数为：
Z1 (ζ ) =
σ (ζ + a) = (ζ + a)2 − a 2
σ (ζ + a) 。在裂尖， ζ (ζ + 2a)
ζ → 0 : σ (ζ + a) 趋近于一实常数。 (ζ + 2a)
a π
arccos(a1 a
)
。特别地，当a1=0，分布
楔力p作用于整个裂纹面上，此时应力强度因子 σ
K I = p πa
6．有限宽板含中心裂纹并承受单向拉伸载荷。该
问题分析同前，可将无限宽板含中心裂纹 2a 结
2a
构中截取含中心裂纹有限宽板，宽为 W。由于
截取的侧边均不是自由边，其上作用有截取部 分对它的作用力。这些分布力仍然是 x 向的正 应力，会促使裂纹闭合。因此，有限宽板的应
具体的KI形式往往是人们更为关心的。一般地说，I型裂纹尖端的应力场为：
σ xx = σ yy = σ xy =
KI
θ cos
(1 −
sin
θ
sin
3θ
),
2πr 2
22
KI
θ cos
(1
+
sin
θ
sin
3θ
)
2πr 2
22
K I sin θ cos θ cos 3θ 2πr 2 2 2
或 σ ij =
σ (ζ + a) 。 因 为 应 力 强 度 因 子 ζ (ζ + 2a)
KI
=
lim
ζ →0
2πζ ⋅ Z1(ζ ) ，代入解析函数后，即有：
KI
=
lim
ζ →0
2πζ
σ (ζ + a) = σ πa 。 ζ (ζ + 2a)
2．承受单向（沿 y 轴方向）拉伸载荷的含中心裂纹的无限大板问题：根据迭加 原理，该受力情况可视为两种受力情况的线性迭加=承受双向拉伸载荷的含中
1/2 阶奇异性。但是位移场无奇异性。
裂纹面位移 裂纹面为自由表面，由前解析函数的性质，可以得到在远场双向拉
应力作用下，裂纹面的张开位移为 v
=
2 E'
Im Z~1
=
2σ E
应力强度因子KI的确定
a2 − x2
应力强度因子KI是表征奇异性应力场的唯一参量：=奇异性项r -1/2+角分布函数。
不同的构件载荷和裂纹的几何长度的I型裂纹， 其KI的表达式都不同。如何确定
Z1
(ζ
)
=
π
2P(ζ [(ζ + a)
+ a) 2 − b2
a ]
2
ζ
−b (ζ
2
+
2a)
当 b≠0 时， K I =
2P π (a2
a − b2 )
；b=0，P
作用在裂纹中点， K I
=
2P （当裂纹 πa
长度增大时，裂尖应力强度因子递减，
y
与远场加载时的结果完全不同。）
5．无限宽板含中心裂纹 2a，承受作用
系统能量为U = −U E + Γ (负号表明裂纹扩展时，应力松弛，应变能<0）