信号与系统习题答案 第三章
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由此可得
又有
可得
则有
当 时，上式为0，则有
3.17已知 ，试求下列函数的频谱：
解： 根据频域微分特性可知
则有
根据尺度变换特性可得
则可得
根据频域微分特性可得
则有
由傅立叶变换的线性性质可得
由时域微分特性可得
又由频域微分特性可得
则有
由反转特性可得
又由时移特性可得
即
由频域微分特性可得
由反转特性可得
又由时移性质可得到
解： 已知
由时移性质可得
再由频移性质可得 的傅立叶变换
又 由时移特性可知 的傅立叶变换为
又
则有
由
利用时移特性可得
再由尺度变换特性可得
即 的傅立叶变换为
3.16试用时域微积分性质，求图示信号的频谱。
解：（1）由 的波形可得其闭合表达式为
由此可得
又有
可得
则有
当 时上式值为0，则有
由 的波形可得其闭合表达式为
则有
即 的傅里叶级数中只含有奇次谐波，包括正弦波和余弦波。
3.9如图的周期性方波电压作用于 电路，试求电流 的前五次谐波。
解：由 的波形图可知周期 ，则有
由此可得傅立叶级数的系数
因 为偶数，则
则电路激励 的前五次谐波为
由电路得系统微分方程为
欲求电流 的前五次谐波，即求此微分方程激励的前五次谐波的特解。
（3）由傅立叶变换微分特性可知
即
由此可知 的傅立叶系数为
（4）由傅立叶变换时域尺度变换特性可知， 时有
由上式可知此时信号基波角频率变为 ，则 的周期变为原来的 倍，即 ，则其傅立叶系数为 ，信号周期为 。
3.26一理想低通滤波器的频率响应
若输入 ，其中 ，求输出 。
解：输入的傅立叶变换为
则有
由于 ，且有
则可得
由于
则由频域卷积定理可得 的频谱函数为
当 时上式为0，则由积分特性可知 的频谱函数为
由 的波形可知
又有
则由频域卷积定理得 的频谱函数
3.22试求图示周期信号的频谱函数。图（b）中冲激函数的强度均为1。
解：(a )由于
利用傅立叶变换的线性性质可得 的频谱函数为
(b) 的傅立叶级数为
则 的频谱函数为
解：：因
由傅立叶变换的对称性，可得
由尺度变换特性可得
则有
又有
根据傅立叶变换频域卷积定理，可得乘法器输出信号的傅立叶变换为
则根据输出信号的傅立叶变换为
又 的波形图及相频特性可得
将 代入上式，可得
由傅立叶变换频域卷积定理可得输出信号为
由此可得
（X？）
周期T=2， ，则有
由此可得： （积分？
3.6如图所示是4个周期相同的信号
用直接求傅里叶系数的方法求图（a）所示信号的傅里叶级数（三角形式）；
将图（a）的函数 左（或右）移，就得图（b）的函数 ，利用 的结果求 的傅里叶级数；
利用以上结果求图（c）的函数 的傅里叶级数；
利用以上结果求图（d）的信号 的傅里叶级数；
3.23图示升余弦脉冲表示为
试用以下方法求其频谱函数
利用傅立叶变换的定义；
利用微分、积分特性
将它看作是门函数 与题3.21(a)图函数的乘积。
解： 由傅立叶变换定义可得
（2）由 的表达式可得
则有
当 时，上式为0，则有
又
则 的频谱函数为
3.24如图所示信号 的频谱函数为 ，求下列各值：
解：由傅立叶变换定义
3.14据傅立叶变换对称性求下列函数的傅立叶变换
解： 由于宽度为 ，幅度为1的门函数 的频谱函数为 ，即
取 幅度为 ，根据傅立叶变换的线性性质有
即
注意到 是偶函数，根据对称性可得
根据时移性和尺度变换可知
由 ，可知
由于
可知
即 的傅立叶变换为
由于
根据对称性可知
根据频域卷积性质，可得
又有
3.15求下列信号的傅立叶变换
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解： 角频率为 ＝ ，周期
角频率为 ，周期
角频率为 ，周期 （先求T，后求omg吧？）
角频率为 ，周期
角频率为 ，周期
角频率为 ，周期
3.5 用直接计算傅里叶系数的方法，求图示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。
解： 周期 ，则有
（k是整数；怎么求的边界条件？）
则有
又有
得
由傅立叶逆变换可知
由此可得
即
由 的波形可知
则由能量等式可得
3.25一周期为T的周期信号 ，已知其指数形式的傅立叶系数为 ，求下列周期信号的傅立叶系数
（1） （2） （3） （4）
解（1）由傅立叶系数为
（2）由傅立叶变换反转特性可知
令 ，则有
由此可知 的傅立叶系数为
即
由时移性质可得
又由尺度变换特性可得
由尺度变换特性可得
又由时移性质可得
则有
当 时，上式为 ，又有
则利用时域积分性质可得
由尺度变换特性可得
由时移特性可得
又由频移特性可得
由时域微分特性可得
又有
则由时域卷积定理可得
3.18 求下列函数的傅立叶逆变换
解： 傅立叶逆变换为
由于1
由频移特性可得
则有
的傅立叶逆变换为
设
代入上面微分方程比较两边系数可得
则电流 的前五次谐波为
3.10求图示各信号的傅立叶变换。
解：（a）由 的波形可知
则 的傅立叶变换为
（b）由 的波形可知
则 的傅立叶变换为
（c）由 的波形可知
则 的傅立叶变换为
（d）由 的波形可知
则 的傅立叶变换为
3.11根据上题（a）（b）的结果，利用傅立叶变换的性质，求下图所示各信号的傅立叶变换。
则线性系统性质可知
则有输出为
3.27一个LTI系统的频率响应
若输入 ，求该系统的输出 。
解：幅度为 ，宽度为2的窗函数的傅立叶变换为 ，即有
有对称性可得
又有
则有频域卷积定理可得
=
=
=
又由已知可得
则系统输出的傅立叶变换为
又有傅立叶变换对称性可得
且有
则有频域卷积定理可得系统的输出为
提高题
1为了通信保密，可将语音信号在传输前进行倒频（scramble）,接受端收到到频信号后，再设法恢复原频谱。题1图（b）是一个倒频系统。如输入带限信号 的频谱如图（a）所示，其最高角频率为 。已知 ，图（b）中的HP是理想高通滤波器，其截止角频率为 ，即
（e）由 的波形图可知
则 的傅立叶变换为
(f)由 的波形图可知
则 的傅立叶变换为
3.12若 为虚函数，且 ，试证
解：令 ， 为t的实函数，则有
式中频谱函数的实部和虚部为
则有
即
由上面结果可知
3.13若 为复函数，可表示为
且 的频谱函数为 。式中 、 均为实函数，证明：
解：
而 ，则有
由 ， ，可知
由 ，利用傅立叶变换的线性性质可得
3.8利用奇偶性判断图示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
解：
（1）由 的波形可知
= =
则有
则 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。
（2）由 的波形可知
则有
则 的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波。
（3）由 的波形可知 则有
即 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。
（4）由 的波形可知， 为奇谐函数，即
整理得
由频移特性得
又由于
则 的傅里叶逆变换为
3.20试用下列方法求图示信号的频谱函数
利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）；
利用时域积分定理；
将 看作门函数 与冲激函数 ， 的卷积之和。
解： 已知 ，将 代入，得
由傅立叶变换的时移性质可得
根据傅立叶变换的线性性质可得 的傅立叶变换为
由 的波形图可得其闭合表达式为
解：(a)令 ，由上题可知其傅立叶变换为
由 的波形可知
由傅立叶变换的性质可知 的傅立叶变换为
(b)令 ，由上题可知其傅立叶变换为
由 的波形可知
则由傅立叶变换的性质可知， 的傅立叶变换为
(c)由 的波形可知
则由傅立叶变换的性质可知， 的傅立叶变换为
(d)令 ，由前题可知其傅立叶变换为
由 的波形可知
由傅立叶变换的性质可知，
由于 1，得 ，则有
的傅立叶逆变换为
由于 ，则由时移特性可知
， ，
则 的傅立叶逆变换为
3.19用傅里叶变换性质，求如图所示函数的傅里叶逆变换。
（a） 的幅频图和相频图可得
由 ，将 代入，得
由傅里叶变换对称性可得
整理得
由时移特性可得
则 的傅里叶逆变换为
（b）由 的幅频图和相频图可得
由 ，将 代入，得
由傅里叶变换对称性可得
则有
又 ，由时移性质可得
当 时上式为0，则由时域积分定理可得 的频谱函数
已知
由时移特性可得
则由
以及时域卷积定理可知 的频谱函数为
3.21试用下列方法求图示余弦脉冲的频谱函数。
利用傅立叶变换定义；
利用微分、积分特性；
将它看作函数 与周期余弦函数 的乘积。
解： 由傅立叶变换定义可得
由 的波形图可得其闭合表达式为
第三章习题
基础题
3.1 证明 , ,…, (n为正整数)，在区间 的正交集。它是否是完备集
解： (积分???)此含数集在 为正交集。又有 不属于此含数集 ，对于所有的m和n。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。
3.2 上题的含数集在 是否为正交集？
解：
由此可知此含数集在区间 内是正交的。
3.3实周期信号 在区间 内的能量定义为 。如有和信号 若 与 在区间 内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;
若 与 不是相互正交的，求和信号的总能量。
解： 和信号f(t)的能量为
（少乘以2）
由 与 在区间内正交可得
则有
即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。
和信号的能量为
（少乘以2吧？）
由 与 在区间 内不正交可得
则有
即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。
3.4 求下列周期信号的基波角频率 和周期T。
图中LP为理想低通滤波器，截止角频率为 ，即
画出 和 的频率图。
解：由傅立叶变换频域卷积定理可得
则高通滤波器的输出 的频谱为
再由傅立叶变换频域卷积定理可得理想低通滤波器输入信号的傅立叶变换为
则低通滤波器的输出 的傅立叶变换为
5如题5图（a）的系统，带通滤波器的频率响应如图(b)所示，其相频特性 ，若输入 求输出信号 。
解：
由 的波形可知
令 ，则有
则 的傅里叶级数为
由 和 的波形图可知
或
则 的傅里叶数为
由 的波形可知
则 的傅里叶级数为
有 的波形可知
则 的傅里叶级数为
3.7试画出图示信号的奇分量和偶分量
解：
（1）由 的波形求得 的波形
则奇分量的波形为 = 偶分量的波形为 =
（2）由 的波形求得 的波形
则奇分量的波形为 = 偶分量的波形为 =
又有
可得
则有
当 时，上式为0，则有
3.17已知 ，试求下列函数的频谱：
解： 根据频域微分特性可知
则有
根据尺度变换特性可得
则可得
根据频域微分特性可得
则有
由傅立叶变换的线性性质可得
由时域微分特性可得
又由频域微分特性可得
则有
由反转特性可得
又由时移特性可得
即
由频域微分特性可得
由反转特性可得
又由时移性质可得到
解： 已知
由时移性质可得
再由频移性质可得 的傅立叶变换
又 由时移特性可知 的傅立叶变换为
又
则有
由
利用时移特性可得
再由尺度变换特性可得
即 的傅立叶变换为
3.16试用时域微积分性质，求图示信号的频谱。
解：（1）由 的波形可得其闭合表达式为
由此可得
又有
可得
则有
当 时上式值为0，则有
由 的波形可得其闭合表达式为
则有
即 的傅里叶级数中只含有奇次谐波，包括正弦波和余弦波。
3.9如图的周期性方波电压作用于 电路，试求电流 的前五次谐波。
解：由 的波形图可知周期 ，则有
由此可得傅立叶级数的系数
因 为偶数，则
则电路激励 的前五次谐波为
由电路得系统微分方程为
欲求电流 的前五次谐波，即求此微分方程激励的前五次谐波的特解。
（3）由傅立叶变换微分特性可知
即
由此可知 的傅立叶系数为
（4）由傅立叶变换时域尺度变换特性可知， 时有
由上式可知此时信号基波角频率变为 ，则 的周期变为原来的 倍，即 ，则其傅立叶系数为 ，信号周期为 。
3.26一理想低通滤波器的频率响应
若输入 ，其中 ，求输出 。
解：输入的傅立叶变换为
则有
由于 ，且有
则可得
由于
则由频域卷积定理可得 的频谱函数为
当 时上式为0，则由积分特性可知 的频谱函数为
由 的波形可知
又有
则由频域卷积定理得 的频谱函数
3.22试求图示周期信号的频谱函数。图（b）中冲激函数的强度均为1。
解：(a )由于
利用傅立叶变换的线性性质可得 的频谱函数为
(b) 的傅立叶级数为
则 的频谱函数为
解：：因
由傅立叶变换的对称性，可得
由尺度变换特性可得
则有
又有
根据傅立叶变换频域卷积定理，可得乘法器输出信号的傅立叶变换为
则根据输出信号的傅立叶变换为
又 的波形图及相频特性可得
将 代入上式，可得
由傅立叶变换频域卷积定理可得输出信号为
由此可得
（X？）
周期T=2， ，则有
由此可得： （积分？
3.6如图所示是4个周期相同的信号
用直接求傅里叶系数的方法求图（a）所示信号的傅里叶级数（三角形式）；
将图（a）的函数 左（或右）移，就得图（b）的函数 ，利用 的结果求 的傅里叶级数；
利用以上结果求图（c）的函数 的傅里叶级数；
利用以上结果求图（d）的信号 的傅里叶级数；
3.23图示升余弦脉冲表示为
试用以下方法求其频谱函数
利用傅立叶变换的定义；
利用微分、积分特性
将它看作是门函数 与题3.21(a)图函数的乘积。
解： 由傅立叶变换定义可得
（2）由 的表达式可得
则有
当 时，上式为0，则有
又
则 的频谱函数为
3.24如图所示信号 的频谱函数为 ，求下列各值：
解：由傅立叶变换定义
3.14据傅立叶变换对称性求下列函数的傅立叶变换
解： 由于宽度为 ，幅度为1的门函数 的频谱函数为 ，即
取 幅度为 ，根据傅立叶变换的线性性质有
即
注意到 是偶函数，根据对称性可得
根据时移性和尺度变换可知
由 ，可知
由于
可知
即 的傅立叶变换为
由于
根据对称性可知
根据频域卷积性质，可得
又有
3.15求下列信号的傅立叶变换
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解： 角频率为 ＝ ，周期
角频率为 ，周期
角频率为 ，周期 （先求T，后求omg吧？）
角频率为 ，周期
角频率为 ，周期
角频率为 ，周期
3.5 用直接计算傅里叶系数的方法，求图示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。
解： 周期 ，则有
（k是整数；怎么求的边界条件？）
则有
又有
得
由傅立叶逆变换可知
由此可得
即
由 的波形可知
则由能量等式可得
3.25一周期为T的周期信号 ，已知其指数形式的傅立叶系数为 ，求下列周期信号的傅立叶系数
（1） （2） （3） （4）
解（1）由傅立叶系数为
（2）由傅立叶变换反转特性可知
令 ，则有
由此可知 的傅立叶系数为
即
由时移性质可得
又由尺度变换特性可得
由尺度变换特性可得
又由时移性质可得
则有
当 时，上式为 ，又有
则利用时域积分性质可得
由尺度变换特性可得
由时移特性可得
又由频移特性可得
由时域微分特性可得
又有
则由时域卷积定理可得
3.18 求下列函数的傅立叶逆变换
解： 傅立叶逆变换为
由于1
由频移特性可得
则有
的傅立叶逆变换为
设
代入上面微分方程比较两边系数可得
则电流 的前五次谐波为
3.10求图示各信号的傅立叶变换。
解：（a）由 的波形可知
则 的傅立叶变换为
（b）由 的波形可知
则 的傅立叶变换为
（c）由 的波形可知
则 的傅立叶变换为
（d）由 的波形可知
则 的傅立叶变换为
3.11根据上题（a）（b）的结果，利用傅立叶变换的性质，求下图所示各信号的傅立叶变换。
则线性系统性质可知
则有输出为
3.27一个LTI系统的频率响应
若输入 ，求该系统的输出 。
解：幅度为 ，宽度为2的窗函数的傅立叶变换为 ，即有
有对称性可得
又有
则有频域卷积定理可得
=
=
=
又由已知可得
则系统输出的傅立叶变换为
又有傅立叶变换对称性可得
且有
则有频域卷积定理可得系统的输出为
提高题
1为了通信保密，可将语音信号在传输前进行倒频（scramble）,接受端收到到频信号后，再设法恢复原频谱。题1图（b）是一个倒频系统。如输入带限信号 的频谱如图（a）所示，其最高角频率为 。已知 ，图（b）中的HP是理想高通滤波器，其截止角频率为 ，即
（e）由 的波形图可知
则 的傅立叶变换为
(f)由 的波形图可知
则 的傅立叶变换为
3.12若 为虚函数，且 ，试证
解：令 ， 为t的实函数，则有
式中频谱函数的实部和虚部为
则有
即
由上面结果可知
3.13若 为复函数，可表示为
且 的频谱函数为 。式中 、 均为实函数，证明：
解：
而 ，则有
由 ， ，可知
由 ，利用傅立叶变换的线性性质可得
3.8利用奇偶性判断图示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
解：
（1）由 的波形可知
= =
则有
则 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。
（2）由 的波形可知
则有
则 的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波。
（3）由 的波形可知 则有
即 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。
（4）由 的波形可知， 为奇谐函数，即
整理得
由频移特性得
又由于
则 的傅里叶逆变换为
3.20试用下列方法求图示信号的频谱函数
利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）；
利用时域积分定理；
将 看作门函数 与冲激函数 ， 的卷积之和。
解： 已知 ，将 代入，得
由傅立叶变换的时移性质可得
根据傅立叶变换的线性性质可得 的傅立叶变换为
由 的波形图可得其闭合表达式为
解：(a)令 ，由上题可知其傅立叶变换为
由 的波形可知
由傅立叶变换的性质可知 的傅立叶变换为
(b)令 ，由上题可知其傅立叶变换为
由 的波形可知
则由傅立叶变换的性质可知， 的傅立叶变换为
(c)由 的波形可知
则由傅立叶变换的性质可知， 的傅立叶变换为
(d)令 ，由前题可知其傅立叶变换为
由 的波形可知
由傅立叶变换的性质可知，
由于 1，得 ，则有
的傅立叶逆变换为
由于 ，则由时移特性可知
， ，
则 的傅立叶逆变换为
3.19用傅里叶变换性质，求如图所示函数的傅里叶逆变换。
（a） 的幅频图和相频图可得
由 ，将 代入，得
由傅里叶变换对称性可得
整理得
由时移特性可得
则 的傅里叶逆变换为
（b）由 的幅频图和相频图可得
由 ，将 代入，得
由傅里叶变换对称性可得
则有
又 ，由时移性质可得
当 时上式为0，则由时域积分定理可得 的频谱函数
已知
由时移特性可得
则由
以及时域卷积定理可知 的频谱函数为
3.21试用下列方法求图示余弦脉冲的频谱函数。
利用傅立叶变换定义；
利用微分、积分特性；
将它看作函数 与周期余弦函数 的乘积。
解： 由傅立叶变换定义可得
由 的波形图可得其闭合表达式为
第三章习题
基础题
3.1 证明 , ,…, (n为正整数)，在区间 的正交集。它是否是完备集
解： (积分???)此含数集在 为正交集。又有 不属于此含数集 ，对于所有的m和n。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。
3.2 上题的含数集在 是否为正交集？
解：
由此可知此含数集在区间 内是正交的。
3.3实周期信号 在区间 内的能量定义为 。如有和信号 若 与 在区间 内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;
若 与 不是相互正交的，求和信号的总能量。
解： 和信号f(t)的能量为
（少乘以2）
由 与 在区间内正交可得
则有
即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。
和信号的能量为
（少乘以2吧？）
由 与 在区间 内不正交可得
则有
即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。
3.4 求下列周期信号的基波角频率 和周期T。
图中LP为理想低通滤波器，截止角频率为 ，即
画出 和 的频率图。
解：由傅立叶变换频域卷积定理可得
则高通滤波器的输出 的频谱为
再由傅立叶变换频域卷积定理可得理想低通滤波器输入信号的傅立叶变换为
则低通滤波器的输出 的傅立叶变换为
5如题5图（a）的系统，带通滤波器的频率响应如图(b)所示，其相频特性 ，若输入 求输出信号 。
解：
由 的波形可知
令 ，则有
则 的傅里叶级数为
由 和 的波形图可知
或
则 的傅里叶数为
由 的波形可知
则 的傅里叶级数为
有 的波形可知
则 的傅里叶级数为
3.7试画出图示信号的奇分量和偶分量
解：
（1）由 的波形求得 的波形
则奇分量的波形为 = 偶分量的波形为 =
（2）由 的波形求得 的波形
则奇分量的波形为 = 偶分量的波形为 =