奇异摄动拟线性对流扩散问题的区域分解方法

这里初值 V ( 0) ( x m ), m = 1, Λ , M − 1 是预先给定的.
( n) 算法 10 - 14 可以进行并行计算 .在每一个迭代步 n 上 解 v m ( x), m = 1,Λ , M 的 M 个方程 10 (n ) 和解 z m ( x ), m = 1,Λ , M − 1 的 M − 1 个方程
中图分类号 O175
１ 引言
考虑守恒的奇异摄动拟线性对流扩散问题
Tu ≡ −εu ′′ − b( x , u )′ + c ( x, u ) = 0 , u (0) = u (1) = 0 ,
∗ ∗ 存在常数 β , β , γ 和 γ 以至于 b( x, u ) 和 c ( x , u ) 满足
s
即 如 果 网 格 函 数 {ri }
{t i } 满 足 r0 ≤ t 0 , rN∗ ≤ t N ∗ 和
17 18 的解 那么可得出如 19
h
L1ri ≤ L1t i , i = 1,Λ , N ∗ − 1 那么对于 i = 0,1,Λ , N ∗ 都有 ri ≤ t i .
引理 ２ 如果网格函数 w( x) 和 Φ ( x ), s = 1,2 分别是方程 下估计 16 和
Ω m = ( x m −1 , x m ), Ω m ∩ Ω m +1 = x m , x 0 = 0, x M = 1 .
另外 考虑 M − 1 个交界区域 ω m
b m
m = 1, Λ , M − 1
e b e ωm = (x , xm ),ω m−1 ∩ ω m = φ , x m < xm < xm .
万方数据
第 2 期 岑仲迪
奇异摄动拟线性对流扩散问题的区域分解方法 39
Ω = {0 = x 0 < x1 < Λ < x N / 2 < Λ < x N = 1},
且
h
h = 2σN −1 i = 1,Λ , N / 2 hi = . −1 i = N / 2 + 1, Λ , N H = 2(1 − σ ) N
考虑用下面的区域分解迭代算法来解方程
6
7
. 首先
每一个迭代步是在非重叠区域
Ω , m = 1, Λ , M 上来进行计算 Dirichlet 边界条件是由前一个迭代步得到的.因此交界区域上的解可得到
计算.最后 对小区域上的分片解加上连续条件可得整个区域上的连续解.
万方数据
40 在小区域 Ω m , m = 1, Λ , M 上 下面的差分格式
图 1 显示多区域分解
图１
在 Ω m , m = 1, Λ , M 和 ω m , m = 1, Λ M − 1 上
h
分别引入网格 Ω m 和 ω m
m
h
h
这里 8 9
Ω m = { x mi , i = 0,1, Λ , N m , x m0 = x m−1 , x N = x m , hmi = x m,i +1 − x mi } ,
w( x )
Ω∗
h
≤ max{wa , wb , F ( x )
Ω∗
h
/ ν 0 }, F ( x )
Ω∗
h
≡ max F ( x) ,
x∈Ω ∗
h
w( x ) ≤ Φ 1 ( x ) wa + Φ 2 ( x ) wb + [1 − Φ 1 ( x ) − Φ 2 ( x)] F ( x)
证明 估计 19 易从引理 1 得到.
解下面的差分问题 12 13
( n) (n ) ( n) h − εD ′′z m ( x ) − D ′b( x, z m ( x )) + c ( x, z m ( x)) = 0, x ∈ ω m , (n ) b ( n) b ( n) e ( n) e zm ( xm ) = vm ( xm ), z m ( xm ) = vm +1 ( x m ) .
网格函数 V
( n)
( x ) 是由下式给出的 V
( n) ( n) h h ( x) x ∈ Ω h v m m \ (ω m −1 ∪ ω m ) , m = 1, Λ , M ( x) = (n ) , h , m = 1, Λ , M − 1 x ∈ωm z m ( x)
14
ηi
D ′U i =
定理 １ 令 u ( x) 是方程 1 2
,η i =
hi + hi +1 . 2
7
−1
的解.则差分策略 6
的误差满足
max | u ( x) − U ( x) |≤ CN
x∈Ω
h
ln N .
这里常数 C 是独立于 ε 和 N 的． 证明 见参考文献[6].
３ 区域分解算法
把区域 Ω 分解成 M 个不重叠的小区域
(1) (2)
这里 ε 是一个正的小参数 函数 b( x, u ) 和 c ( x , u ) 是充分光滑的.另外 假定对于任意的 x ∈ ( 0,1) 和 u ∈ R
β ∗ ≥ bu ( x, u) ≥ β > 0 γ ≥ c( x, u ) ≥ γ > 0 .
这些条件保证方程 1 2 存在惟一解 u 见参考文献[1]. 对于 ε < <1,问题 1 2
这里
b i = ∫ bu ( xi , t i + s (ri − t i ))dx .
0 ∗ 显然 β ≥ b i ≥ β > 0 .令
1
[Tu ]i ≡ εD ′′ui + D ′b( x i , u i ) ,
那么算子 L 和 T 有如下关系
L(r − t ) = Tr − Tt .
现在考虑下面的差分问题
15
Lw( x ) − ν ( x ) w( x ) = F ( x ), x ∈ Ω h ∗ , w( x0 ) = wa , w( x N∗ ) = wb
和
h LΦ s ( x ) − ν 0 Φ s ( x) = 0, x ∈ Ω ∗ , s = 1,2 ,
16
17 18
Φ 1 ( x 0 ) = 1, Φ 1 ( x N ∗ ) = 0, Φ 2 ( x0 ) = 0, Φ 2 ( x N∗ ) = 1 ,
h e ωm = { X mi , i = 0,1, Λ , N mω , X m 0 = x b m , X Nmω = x m , H mi = X m,i +1 − X mi } .
假定 Ω = ∪Ω m
h
h
h
而且 ω m , m = 1, Λ , M − 1 中的网格点与 Ω 中的一致.
h
h
万方数据
第 2 期 岑仲迪 这里ν ( x ) ≥ ν 0 > 0 . 定义内积
奇异摄动拟线性对流扩散问题的区域分解方法 41
(r , t ) k =
N∗ −1 i =1
∑ η r t , r, t ∈ R
i i i
N∗ −1
.
∗ 令 L1 = L − ν . L1 表示 L1 关于 (⋅,⋅) k 的共轭算子 即 N ∗ −1 ˆ, y ) k = ( y ˆ, L∗ ˆ ( L1 y , 1 y ) k , y, y ∈ R
现给出一个简单迎风策略
5
− εD ′′U i − D ′b( xi , U i ) + c ( x i , U i ) = 0 , i = 1,Λ , N − 1 , U0 = UN = 0 ,
这里
6 7
D ′′U i =
1 U i +1 − U i U i − U i −1 ( − ), ηi hi +1 hi U i +1 − U i
那么
− ′′ [ L∗ 1 y ] j = εD y j − b j D y j − ν j y j ,
这儿 D y j =
−
y j − y j −1
η
j
.定义与网格点 x i 相联系的离散 Green 函数 G i 为
i N L∗ 1 G j = δ ij , j = 1, Λ , N − 1 , i i G0 = GN = 0,
浙江万里学院学报 Vol.16 No.2 2003 年 6 月 Journal of Zhejiang Wanli University June 2003
第 16 卷 第 2 期 文章编号 1671-2250 2003 02-0038-07
２ 非分解算法
在 Shishkin 网格上考虑一个有限差分策略来解问题 一个偶的正整数 且 σ = min{ , 1 2 .定义 Shishkin 网格如下形式 令N是
1 ε N ln N } .区间 [0, σ ] 和 [σ ,1] 分别分解成 个等距小区间. ∗ 2 β 2
更直观地 导出
收稿日期 2003 –02–15 作者简介 岑仲迪 1975 男 浙江慈溪人 浙江万里学院数学研究所讲师 主要从事计算数学的研究 .
∗
3 4
和
是奇异摄动的
在
x = 0 处存在一个指数边界层.解奇异摄动拟线性方程的有关方法可见参考文献[2].
由于具有显著的计算速度和并行特性 基于 Schwarz 迭代方法的区域分解算法用于解决奇异摄动问题 越来越受到关注[3
4 5]
. 不管是在

本文给出有限区域分解方法来解决奇异摄动拟线性问题.利用 Shishkin 型的分片等距网格
奇异摄动拟线性对流扩散问题的区域分解方法
岑仲迪
浙江万里学院数学研究所 宁波 315100
摘
要 文章利用区域分解的迭代方法来解决奇异摄动拟线性对流扩散问题.文中算法是基于有限区域分解
方法的 是非常适合并行计算的 且给出了算法的有关收敛特性. 关 键 词 拟线性 奇异摄动 Shishkin 网络 O241 文献标识码 A 区域分解 并行计算
Ω∗
h
/ν 0 , x ∈ Ω ∗ .
20
万方数据
42 引入网格函数W ( x ) 其满足
浙江万里学院学报 2003 年 6 月
LW ( x ) − ν 0W ( x) = − F ( x )
这里
η −1 i = j δ ij = . 0 i≠ j
因此
i i N ∗ −1 y i = ( y, L∗ . 1 G ) k = ( L1 y , G ) k , y ∈ R
由于 ν ( x ) ≥ ν 0 > 0
故算子 L1 是单调的
∗ 1
[7]
∗
且满足比较原理.因此可以通过相应的 ( N ∗ − 1) × ( N ∗ − 1) 三角
h
浙江万里学院学报 2003 年 6 月
( n) 引入网格函数 v m ( x), m = 1,Λ , M
这里上标 n 表示迭代步数 10 11
满足
( n) (n ) ( n) − εD ′′v m ( x ) − D ′b( x, v m ( x )) + c ( x, v m ( x)) = 0, x ∈ Ω h m, ( n) (n ) vm ( x ) = V ( n−1) ( x ), x = x m −1 , x m , v1( n) (0) = v M (1) = 0 . h 在交界区域 ω m , m = 1,Λ , M − 1 上
11
12
13
是能够同时进行计算的.
４
算法的收敛性
下面给出算法 10 - 14 的收敛特性.
r ( x) t ( x) 是 Ω ∗ = { xi , i = 0,1,Λ , N ∗ ; x 0 = x a , x N = x b }( x a < xb )
*
h
上的网格函数.定义离散线性算子
[ Lu]i ≡ εD ′′u i + D ′(bu ) i ,
1 2 N −1 矩阵来建立算子 L1 和 L 间的联系 .令 G = (G , G , Λ , G ) ∗ L1 = (ML1 M −1 ) T
M = diag(η 1 , η 2 , Λ , η N −1 ) ,那么成立
与
−1 L∗ . 1G = M
故
( L∗ ) −1 = G T M .
由上可得下面的引理. 引 理 １ 算 子 L1 满 足 离 散 比 较 原 理
边界层的外部和内部都可以分解计算区域成一些小区域 使得具有并行性. 这些特性对于在并行计算机上 执行迭代算法是非常重要的 这样可以避免由于处理器的空闲造成效率的损失. 剖分计算区域 Ω 成不重叠 的小区域 其交界面为 Γ . 在交界面 Γ 附近 可得小的交界区域 通过估计边界值用来在非重叠小区域上 进行计算.因此这个方法可以看成 Gauss-Seidel 迭代的一种变形.