函数正交以及傅里叶展开式

函数的正交解释:

函数的正交是向量正交的推广,函数可看成无穷维向量,在n 维空间中两向量正交是借助内积来定义的,设X=(x1,x2,...,xn),Y=(y1,y2,...,yn),则X 与Y 正交定义为其内积X*Y=x1*y1+x2*y2+...+xn*yn=0,

设f(x),g(x)是定义在[a,b]区间的可积函数,f(x),g(x)中的自变元类似于(有限维)向量下标,向量X 中分量的下标取1,2,..,n 这些离散值,而f(x)中的x 可连续取[a,b]中所有的值,因此f(x)是无穷维向量,两向量内积是对应分量之积的有限和,推广到函数空间,两函数内积是对应分量

(函数值)之积的无限和,积分是有限和的极限,因此积分表示一个无限和,为了看清这一推广,将向量内积表示为

X*Y=x1*y1*1+x2*y2*1+...+xn*yn*1,这个和式中每一项是由X 的分量,Y 的分量和1相乘之积(1

看成下标取1个单位),对应于向量内积的写法,函数内积应写为f(x)g(x)△x,它对应了[a,b]区间某子区间的值,该子区间长为△x,它类似于下标,将所

有这些值加起来,当最大子区间长为趋于零,有限和变为无限和,其值恰为f(x)g(x)在[a,b]的积分。

周期信号的傅里叶级数展开

周期信号是定义在区间，每隔一定时间，按相同规律重复变化的信号，如图3-1所示。它可表示为

(3-1)

式中：－任意整数， －信号的周期

图3-1 周期信号

3.2.1 周期信号的傅里叶级数

三角函数集

()∞∞-,T ()()mT

t f t f +=m T t

}

,sin , ,2sin ,sin , ,cos , ,2cos ,cos ,1{000000 t n t t t n t t ωωωωωω

在区间(式中

)是一个完备正交函数集。

复指数函数集在区间内也是完备正

交函数集。

所以函数在区间内可以展开为正交三角函数或是正交复指数函数的加权和，将函数周期化扩展到整个时间轴，就得到周期函数的三角函数级数展开或复指数函数级数展开，它们是傅里叶级数两种不同的表示形式。

1、三角形式傅里叶级数

设周期信号，其周期为，角频率为，则该信号可展开为下

面三角形式的傅里叶级数

(3-2)

式(3-2)中各正、余弦项的系数

称为傅里叶系数。

上面积分区间可以是周期信号的任意一个周期。式(3-2)还可写成下列形式，

(3-4)

式中

若将式(3-4)转化成式(3-2)，其系数之间的关系如下：

(3-6) (,)t t T 00 +T =

20

π

ω

}e

{0j t

n ω(,,,n =±±012 }

(,)t t T 00 +(,)t t T 00 +f t ()T ω

ππ

022==

f T ()

∑∞

=++

=++++++=1

000020102010sin cos 2sin sin 2cos cos )(n n n

t n b t n a

a t

b t b t a t a a t f ωωωωωω n

n b a ,⎪⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪⎨⎧=====

⎰

⎰

⎰

+++

,2,1d sin )(2,2,1d cos )(2d )(100

0000000n t

t n t f T b n t

t n t f T a t

t f T a T

t t n T

t t n

T

t t ωω()

∑∞

=++

=1

00cos )(n n n

t n A

A t f ϕωA a A a b n b a n n n n

n

00

22

12==+==-⎫⎬

⎪⎪⎪⎭⎪

⎪⎪ arctg

n ,, ϕa A a A n b A n n n 00

12====-⎫⎬

⎪

⎭⎪cos ,,sin ϕϕn n n

（3-3）

（3-5）

从物理概念上来说，式(3-4)中

——信号的直流分量；

——信号的基波或基波分量，它的角频率与原周期信号相同，是基波振幅，是基波初相角；

——信号的二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，

是二次谐波振幅，是其初相角；

以此类推，称为信号的次谐波，是次谐波振幅，

是其初相角；比较大的那些分量有时候又通称为高次谐波。

2、复指数形式傅里叶级数

三角形式傅里叶级数，物理含义明确，但运算不便，因而常用复指数形式的傅里叶

级数。设周期信号，其周期为，角频率为

，该信号复指数形式

的傅里叶级数为

(3-7)

其中

(3-8)

称为复指数形式傅里叶级数系数。

三角形式的傅里叶级数物理含义明确，而指数形式的傅里叶级数数学处理方便，而且很容易与后面介绍的傅里叶变换统一起来。两种形式的傅里叶级数的关系可由（3-9）式表示

(3-9)

其中：

表3-1综合了三角形式和复指数形式的傅里叶级数及其系数之间的关系。图3-2更

直观地表示了两种傅里叶级数系数之间的关系。

A ()t f ()

101cos ϕω+t A ()t f 1A 1ϕ()

2022cos ϕω+t A ()t f 2

A 2ϕ()n n t n A ϕω+0cos ()t f n n A n n

ϕn f t ()

T ω

ππ

022==

f T f t F

n

n t

n ()=

=-∞

∞

∑e

j ω0

2,1, 0,= ,e

)(12

2

j -0±±=

⎰

-

n dt t f T

F T

T t

n n ω∑∑∞

=-∞

=++

=++

-+

=1

j -j 01

j -j 0)

e

e

( )e

2

j e

2

j (

)(0000n t

n n t

n n

n t

n n

n t

n n

n F F F b a b a a t f ωωωω⎪⎪

⎪

⎩⎪

⎪

⎪⎨⎧

=+==-==-

,3,2,1)j (2

1,3,2,1)

j (2100n b a F n b a F a F n n n n n n