空间向量法解决立体几何问题

1 2 x + z = 0 解得： x = − 2 z 2y = 0 y = 0
取z=2得n1=(-1,0,2) 同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1) ∵n1 ·n2 = -2+0+2=0 ∴平面AED⊥平面A1FD
2.求空间中的角
(1)两异面直线的夹角 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用 再把这两条异面直线平移,求出两条异面直 线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直 线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角 就行了.
数学专题二
利用空间向量解决立体几何问题
学习提纲
一、引入两个重要空间向量
1、直线的方向向量； 2、平面的法向量。
二、立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是 AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦 值为_____.
z A1 B1 C1 D1
A M
D
C
y
x
B
C
解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0), 于是： = (−1,−2,0) DB = (2,−2,2) CM 1 设DB1与CM所成角为θ, DB1 CM 与 所成角为α, ∴cosθ =|cosα|
(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n, 且L ⊄ α. ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α ②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥ α. ⊥
n a L n a
α L
α
例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (1)A1E ⊥平面DBC1; A1 (2)AB1 ∥ 平面DBC1
| AB | ⋅ | n |
θ
| AB ⋅ n | = |n|
B
H
.
α
于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模 的比值. 的比值
| AB ⋅ n | d= |n|
例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AA1= 2 ,AC=BC=1,∠ACB=90°, 求B1到面A1BC的距离.
−2+4+0 2 15 = = = 1+ 4 + 0 4 + 4 + 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 30
(2)直线与与平面所成的角 若n是平面α的法向量, a是直线L的方向向量, 设L与α所成的角θ, n与a所成的角α 与 π π 则 θ= α或θ= -α 2
2
n a a
θ n
θ
a⋅n |a⋅n| |= 于是, sin θ =| cos α |=| | a |⋅| n | | a |⋅| n | 因此 θ = arcsin | a ⋅ n |
(1)异面直线间的距离 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用 向量的正射影性质直接计算. n 如图,设两条异面直线a、b的公 a A 垂线的方向向量为n, 这时分别在 a、b上任取A、B两点,则向量在n b 上的正射影长就是两条异面直线 a、b的距离. ∴ d = | AB ⋅ n |= | AB ⋅ n | , |n| |n| B 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值. 线的方向向量模的比值
例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求异面直线AC1与BD间的距离.
z A1 D1
B1
C1
A D
y
x
B
C
z x = − x + y + z = 0 2 ,取 z = 2得 , 解得 z − x + y = 0 y = − 2
解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面 直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z), 则由AC1 = (1,1,1), BD = (−1,1,0,得 ) n=(-1,-1,2).
一.引入两个重要的空间向量 引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向 量都称为直线的方向向量 直线的方向向量.如图,在空间直角 直线的方向向量 坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直 线AB的方向向量是 z
uuu r A =(x2 −x, y2 −y,z2 −z1) B 1 1
z A1 B1 C1 D1
E D A F x B C y
证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐 标系A- xyz, 设：正方体的棱长为2, 那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), ) 于是 AE = (2,0,1， AD = (0,2,0) 设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得 AED n =(x,y,z)
uuur uuuu r 由 OA1 =（-1，-1，2），OD1 =（-1，1，2）
−x − y +2z = 0 得: −x + y +2z = 0
x = 2z 解得: y=0
取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
(2)求平面的法向量的坐标的特殊方法:
第一步:写出平面内两个不平行的向量 a = (x1,y1,z1), b = (x2,y2,z2), 第二步:那么平面法向量为
i n = x1 x2
j y1 y2
k z1 z2
二.立体几何问题的类型及解法 立体几何问题的类型及解法
1.判定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. ①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b ⊥
a
a b b
n1 α n2 β n2 n1
例7 在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°， 侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求 二面角A-SD-C的大小.
z S
y A B x C D
解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1， 0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0， 0，1）. 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 SC = (1,1,−1), CD = (−1,1,0) 得 z x = x + y − z = 0 2 , 取 z = 2 得 n =(1,1,2). , 解得 1 z
∵ AB = (1,0,0) , ∴异面直线AC1与BD间的距离
| AB ⋅ n | | −1 − 0 + 0 | 6 d= = = |n| 6 1+1+ 4
(2)点到平面的距离 A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作 A 平面α的斜线AB及垂线AH. | AH |=| AB | ⋅ sin θ =| AB | ⋅ | cos < AB , n >| n = | AB | ⋅ | AB ⋅ n |
B A x y
2.平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直 于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作 n⊥α,这时向量n叫做平面 的法向量 平面α的法向量 ⊥ 平面 的法向量.
n
α
3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的 坐标呢? 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内 的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直 的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话 ⊥ ⊥ ⊥ 说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α. ⊥
例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ, 求证: C C1⊥BD
B1 A1
C1
D1
B
A
C
D
证明：设 CD= a, CB = b, CC1 = c, 依题意有| a |=| b |， 于是 BD = CD−CB= a – b ∵ CC1 • BD = c (a – b)= c·a –c·b = |c|·|a|cosθ–|c|·|b| cosθ=0 ∴C C1⊥BD
− x + y = 0 y = 2
而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角A-SD-C的大小θ满足
1 1 6 cosθ = cos < n1 , n2 >= = = , 6 1+1+ 4 1+ 0 + 0 6
∴二面角A-SD-C的大小为
arccos
6 . 6
3.求解空间中的距离
z C1 B1 A E D C x B y
解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, 3 ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, 3,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 x = −2 z x + 2z = 0 解之得 y = 0 ， 3y = 0 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) A1E = (2,0,−1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1 (2) AB1 = (1, 3 ,2) ,而 AB ⋅ n =-2+0+2=0 ∴AB1 ∥平面DBC1
例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z wenku.baidu.com1 B1 C1 D1
A
A O D C
y
x
B
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz, 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)
1
1
（3）二面角 设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法 向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小 与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐 标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标 z异号时互补），于是求二面角的大小可转化 为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了 二面角的平面角的作图麻烦.
n
a α
b
(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:
第一步(设 第一步 设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组 x1x + y1y + z1z = 0 x2x + y2 y + z2z = 0 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越 好),便得到平面法向量n的坐标.
| a |⋅| n |
α
α
例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高 为 2a ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
z C1
A1
B1 C O
A B x y
解:建立如图示的直角坐标系,则 a a a 3 A( 2 ,0,0),B(0, 2 a ,0) A1( 2 ,0,). C(- 2 ,0, 2a) 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) a 3 AB = (− , a,0), AA = (0,0, 2a ) 得 2 2 a 3 x = − x + ay + 0 = 0 由 2 2 ，解得 z = 03 y ， 2 az = 0 取y= 3 ,得n=(3, 3 ,0)， 设 AC = (−a,0, 2a) 与n夹角为 夹角为α 夹角为 | −3a + 0 + 0 | 3a 1 而 sin θ =| cos α = = = 2 2 2 3 ⋅ 3a 2 9 + 3 + 0 a + 0 + 2a o ∴ θ = 30 . 故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.
1
(3)平面与平面的位置关系 平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2
n1 α n2 β α n1 n2 β
①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β
例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是 BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FD