统计力学的系综理论

统计力学的系综理论

（一）相关预备知识概念简介：

（1）经典力学如何描述一个刚性物体的运动状态? 一个刚性物体在某一时刻，只要它的坐标以及它在各个坐标轴上的分动量均确定。那么这个物体的运动状态也就确定了，即一个物体的运动状态可以用(,,,,,)x y z x y z p p p 六个参数来描述。物体在某一时间段内，所有的运动状态的集合就构成了描述物体运动状态的相空间。明显，这是一个六维空间6R ，即6

3

p

R R R =⊗。将3R 称之为坐标空间，p R 称之为动量空间。它们的笛卡尔积就是相应的相空间。这个六维空间6R 也称之为μ空间，这样就可以说：一个物体的运动状态可以用μ空间中的一个点来表示。相体积元为：x y z dxdydzdp dp dp ，相应体系的Hamilton 量（能量函数）为：2221

()2x y z H p p p m

=++。当有其它场力存在时，体系的Hamilton 量变为：2221

()(,,)2x y z H p p p U x y z m

=+++，(,,)U x y z 代表相应的势能。

由以上可知：当有N 个刚性物体运动时，那么就需要一个23N ⨯维空间23N R ⨯来描述，称此空间为Γ空间。显然有：2361

i N

N

i R

R ⨯==⊗（即N 个μ空间的笛卡尔积构成了相应的Γ空间）

。也就是说Γ空间描述了N 个物体的运动状态，Γ空间中的任意一个点均代表着N 个物体在

相应时刻上所处的运动状态。 若令：

111222(,,,,,,,)N N N x y z x y z x y z p p p p p p p p p p =⋅⋅⋅⋅⋅⋅111222(,,,,,,,)N N N q x y z x y z x y z =⋅⋅⋅⋅⋅⋅

那么Γ空间的代表点即为(,)p q ，相体积元为：d Γ=dpdq ，相应体系的Hamilton 量为：

22211

()2i i i

N

x y z i H p p p m

==++∑

。当有其它场力存在时，体系的Hamilton 量变为：

2221

1

()2i i i

N

x y z i H p p p m

==++∑

()U q +；111222(,,,,,,,)N N N q x y z x y z x y z =⋅⋅⋅⋅⋅⋅。

（2）相体积不变原理： 在不同的坐标系中，相体积元保持不变。即在相应的坐标变换和动量变换之间相体积元保持不变。例如在笛卡尔坐标系跟球坐标系之间有：x y z r dxdydzdp dp dp drd d dp dp dp θφθφ= 此时给出广义动量x p （x 可以代表任意一个物理量，例如位移，欧拉角等）的概念：

x p E x ∂=

∂。例如当x 代表位移，且物体只有平动运动的时候：则dx x v dt ==，21

2

E mv =；

所以2

1()2

x E p mv mv x v ∂∂=

==∂∂，从而可以看出这与以前所定义的动量形式完全一样。 当一个刚性物体只做平动运动时有：212E mv =2221()2x y z m v v v =++22

21()2x y z p p p m

=++

令相应的坐标变换为sin cos sin cos cos x r y r z r θφ

φφθ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

则有：

sin cos sin sin cos cos x r r r θφφφθθφθ=-+ sin sin cos sin sin cos y r r r φθφφθθφθ=++

cos sin z r r θθθ=-

所以：

22(sin cos sin sin cos cos )x r r r θφφφθθφθ=-+ ()

2

2

(sin cos sin sin )cos cos 2cos cos (sin cos sin sin )

r r r r r r θφφφθθφθ

θφθθφφφθ=-++-22(sin sin cos sin sin cos )y r r r φθφφθθφθ=++

2

2

......

sin sin cos sin sin cos 2sin cos sin sin cos sin r r r r r r φθφφθθφθθφθφθφφθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

22(cos sin )z r r θθθ=-

2

2

.

.

..cos sin 2cos sin r r r r θθθθθθ⎛⎫⎛⎫

=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以：222222222

sin x y z r r r θφθ++=++

所以由2221()2x

y z E m v v v =

++可得222222

1(sin )2

E m r r r θφθ=++ 所以：222222

111(,,)(sin )222

E r mr mr mr θφθθφ=++

所以根据广义动量的概念有：

.

(,,)

r E r p mr r θφ∂=

=∂

2.(,,)E r p mr θθφθθ

∂=

=∂