第二章定稿

即有: P→(Q→R) (P∧Q)→R；
（3） (P∧(Q∧R))∨((Q∧R)∨(P∧R))
(P∧Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R 1∧R R
即有:
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(P∧(Q∧R))∨((Q∧R)∨(P∧R)) R。
E23：G Ｈ GＨ。
16) E24：(G →Ｈ) ∧(G→Ｈ)
用元语言符号书写，等值式模式中的G,H,R可替换成任意的 公式。这些具体的等值式称为等值式模式的带入实例。
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命题与集合之间的关系
这种图是将G，H理解为某总体论域上的子集合，而 规定G∧H为两集合的公共部分（交集合），G∨H为 两集合的全部（并集合），┐G为总体论域（如矩 形域）中G的补集，将命题中的真值“1”理解为集 合中的总体论域（全集），将命题中的真值“0” 理解为集合中的空集，则有：
P Q 0 0 0 1 1 0 1 1
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G3＝(ＰＱ) ((Ｐ→Q)∧(Q→Ｐ)) 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1
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基本等值式模式
设G，H，S是任何的公式，则：
1) Ｅ1：G∨G G
Ｅ2：G∧G G 2) Ｅ3：G∨H H∨G (交换律) (结合律) Ｅ4：G∧H H∧G
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例1
（1）Ｐ、Ｐ是文字；
（2）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ是简单析取式，由3个文字构成；
（3）Ｐ∧ ┐Ｒ是简单合取式，由2个文字构成。 一个命题变元或者其否定既可以是简单 的简单析取式，也可以是简单合取式。
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Ｐ∨┐Ｑ∨Ｒ既是由3个简单合取式构成 的析取范式，也是由1个简单析取式构成 的合取范式。
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例2
（1）Ｐ、Ｐ是析取范式、合取范式； （2）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ是析取范式、合取范式；
（3）(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｑ)是析取范式；
（4）(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｑ)是合取范式；
即:((Ｐ∨Ｑ)∧ 为永真公式；
(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)
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例3 证明（续）
（2） P→(Q→R) P∨(Q→R) P∨(Q∨R) (P∨Q)∨R (P∧Q)∨R (P∧Q)→R
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例3 证明
（1）((Ｐ∨Ｑ)∧ (Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)
((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨(Ｑ∧Ｒ)))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)) ((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)))∨ ((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)) ((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))∨ ( (Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)) ((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)) 1
命题公式，分别用G1、G2…、Gn取代G中的P1、
P2、…、Pn后得到新的命题公式：
G(G1,G2,…,Gn)＝G′(P1,P2,…,Pn)
若G是永真公式（或永假公式），则G′也是一个
永真公式（或永假公式）。
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例2
设Ｇ(Ｐ, Ｑ)＝(Ｐ∧(Ｐ→Ｑ))→Ｑ，证明公 式G是一个永真公式。另有两个任意公式：
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定理2(替换规则)
设Q(A)是含公式A的命题公式，Q(B)是用公式B置换 Q(A)中A的所有出现后得到的命题公式。若B A， 则Q(A) Q(B).
等值演算：由已知的等值式推演出另外一些等值 式的过程。它是逻辑代数或布尔代数的重要组成 部分。 利用24个基本等值式模式及代入定理和替换规 则，可完成公式的转化和等值演算。
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三、
例4
命题公式的应用
利用基本的等价关系，化简下列电路图
P
Q R P R
P
Q
S
P
S
解：上述电路图可描述为： ((P∧Q∧R)∨(P∧Q∧S))∧((P∧R)∨(P∧S))
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例4（续）
利用24个基本等价关系，化简公式可得： ((P∧Q∧R)∨(P∧Q∧S))∧((P∧R)∨(P∧S)) ((P∧Q∧(R∨S))∧(P∧(R∨S)) P∧Q∧(R∨S)。
这种关系具有如下三个性质：
（1）自反性 （2）对称性 （3）传递性 G G； 若G 若G H，则H G； H，H S，则G S。
这三条性质体现了 的实质含义。
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二、命题公式的基本等值关系
例1 证明公式G1＝(ＰＱ)与公式G2＝ (P→Q)∧(Q→P)之间是等值的。 解：根据定理1，只需判定公式G3＝(ＰＱ) ((P→Q)∧(Q→PBaidu Nhomakorabea)为永真公式。
11) Ｅ18：┐(G∨H) ┐G∧┐H
Ｅ19：┐(G∧H)┐G∨┐H。
(De MoRGan定律)
(等价) (蕴涵) (假言易位) (等价否定等式) G (归谬论)
12) Ｅ20: (GH) (G→H)∧(H→G) 13) Ｅ21：(G→H) (┐G∨H) 15) 14) E22：G →Ｈ Ｈ→G。
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2.2 析取范式与合取范式
一、 析取范式和合取范式
1、定义 （1）命题变元及其否定称为文字 （2）仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式 （3）仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式 （4）一个文字既是简单析取式又是简单合取式。
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例3
利用基本的等值式，完成如下工作：
（1）判断公式的类型：
证明 ((Ｐ∨Ｑ)∧ (Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)是一个永真公式。 （2）证明公式之间的等值关系： 证明Ｐ→(Ｑ→Ｒ)(Ｐ∧Ｑ)→Ｒ （3）化简公式： 证明(P∧(Ｑ∧R))∨((Ｑ∧R)∨(P∧R)) R
R P Q S
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例5
将下面程序语言进行化简。
If A then if B then X else Y else if B then X else Y
Start T F
A
B T F F B T
解：执行X的条件为： (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ) 执行Y的条件为： (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)
(幂等律)
3) Ｅ5：G∨(H∨S) (G∨H)∨S
Ｅ6: G∧(H∧S) (G∧H)∧S 4) Ｅ7：G∨(G∧H) G (吸收律) Ｅ8：G∧(G∨H) G
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基本等值式模式（续）
5) Ｅ9：G∨(H∧S) (G∨H)∧(G∨S) 6) Ｅ11：G∨０ G (分配律） (同一律) (零律） (排中律) (矛盾律)
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二、范式的求解方法
定理2.3（范式存在定理） 任一命题公式都存在 与之等值的析取范式与合取范式。
转换方法：
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C Ａ∪Φ＝Ａ；Ａ∩Ｕ＝Ａ； Ａ∪Ｕ＝Ｕ；Ａ∩Φ＝Φ
G∨(H∨S) (G∨H)∨S
G∧(H∧S)(G∧H)∧S G∨１ １ G∧０ ０ ┐(┐G) G G∨(H∧S) (G∨H)∧(G∨S) G∧(H∨S) (G∧H)∨(G∧S)
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小结
（1）单个的文字是析取范式，合取范式
（2）析取范式、合取范式仅含联结词集{，∧，∨}
（3） “”联结词仅出现在命题变元前。 定理2.2 （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合 取式都是矛盾式。
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析 取式都是重言式。
2.1 等值式
一、公式A与B等值 1、定义 设A、B是两个命题公式，若A、B构成的
等价式 A B 为重言式（有相同的真值表）， 则称公式A、B是等值的，记作A B。
注意

是元语言符号。A,B可有哑元。
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等值关系的性质 由于 不是一个联结词，而是一种关系，为此，
X
Y
End
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例5(续）
执行X的条件可化简为： (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)
Ｂ∧(Ａ∨ Ａ) Ｂ
T B X Y Start
F
执行Y的条件可化简为：
(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)
Ｂ∧(Ａ∨Ａ) Ｂ
End
程序可简化为：If B then X else Y
2、定理2.1
（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时
含某个命题变项及它的否定式。
（2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时
含某个命题变项及它的否定式。
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3、定义
（1）由有限个简单合取式的析取构成的命题称为析 取范式。 （2）由有限个简单合取式的析取构成的命题称为合 取范式。 析取范式与合取范式统称为范式。
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G∨０ G G∧１ G
吸收律
否定律 分配律
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
AA
G∨(G∧H) G G∧(G∨H) G
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
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定理1(代入定理)
设G(P1,P2,…,Pn)是一个命题公式，其中： P1、P2、…、Pn是命题变元，G1(P1,P2,…,Pn)、 G2(P1,P2,…,Pn)、...、Gn(P1,P2,…,Pn)为任意的
Ｈ(Ｐ, Ｑ)＝(Ｐ∨Ｑ)；
Ｓ(Ｐ, Ｑ)＝(ＰＱ)。
进一步验证代入定理的正确性。
解 建立公式 G的真值表如 右所示。可见 为永真公式。
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P Q
(Ｐ∧(Ｐ→Ｑ))→Ｑ
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 1
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例2（续）
将Ｈ，Ｓ代入到Ｇ中分别取代G中的命题变元P、Q， 所得到的公式Ｇ＇为：
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Ｅ10：G∧(H∨S) (G∧H)∨(G∧S) Ｅ12：G∧１ G
7) Ｅ13：G∨１ １ Ｅ14：G∧０ ０ 8) Ｅ15：G∨┐G 1 9) Ｅ16：G∧┐G 0
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基本等值式模式（续）
10) Ｅ17：┐(┐G)G (双重否定律)
U A B U A B U A
G∧H
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G∨H
┐G
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“∪” 对“∨”与“∩”对“∧”的对比
等幂律 交换律 Ａ∪Ａ＝Ａ;Ａ∩Ａ＝Ａ Ａ∪Ｂ=Ｂ∪Ａ Ａ∩Ｂ=Ｂ∩Ａ G∨G G G∧GG G∨H H∨G G∧H H∧G
结合律
恒等律 零 律
Ｇ＇(P, Q) = G(H, S) = (H∧(H→S))→S
= ((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)→(ＰＱ)))→(ＰＱ)
建立新公式Ｇ＇(P, Q)的真值表。
P Q 0 0 0 1 1 0 1 1
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((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)→(ＰＱ)))→(ＰＱ) 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1
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第二章
命题逻辑等值演算
主要内容： 一、等值式与基本等值式 二、等值演算与置换规则 三、析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式 四、联结词完备集 是第一章抽象延续； 是后续各章的先行准备。
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第二章
命题逻辑等值演算