三自由度平面欠驱动机械臂的轨迹跟踪控制

・ ・ ・ ・ ・ ・
图l
三连杆平面欠驱动机械臂系统
3 3 i 23
式中，M l23 =
M !m ；
i=l
=
I = !m ；
i i=2
I3 + m 3 d 2 .
将式 （2） 的输入变换代入式 （l） ： fl = 2 2 m3 d ・2 u y sin ! cos ! - m 3 d ! cos ! I （ 2 ） 2 2 m3 d ・2 u x sin ! cos ! + f 2 = - m 3 d ! sin ! + I 2 m2 3d 2 u cos ! y M 23 I
l23
(M
-
2 m2 3d sin 2 ! u x + I
)
(
)
x = ux y = uy
（ u x sin ! - u y cos ! ） ! = "
}
（3）
m3 d ； ux ， u y 是新的控制输入 . 进一步令 I l y + sin ! r tan ! l ・2 u l sec ! + ! cos ! + r ・ l sin ! （ u 2 cos2 ! - 2 ! 2 tan ! ） r l ・ u l sec ! + ! 2 sin ! r ・2 l 2 cos ! （ u 2 cos ! - 2 ! tan ! ） r l cos ! r
T
2
轨迹跟踪问题描述
设 !c = （ } 1c ， }2c ， }3c ， }4c ， }5c ， }6c ） 为 需 要 跟
变成 式系统式 （5） } } } }
・ 1 ・ 2 ・ 3 ・ 4
= }2 = = =
・ } 5 = ・ } 6 =
U1 }4 }5 U1 }6 U2
（6）
（ 11 ）
式中 " 1 ， "2 ， " 3 为待定的虚拟控制 . 下面 在每一 步 构造一个李雅普 诺 夫 函 数， 使得每一状态分量具 有适当 的 渐 近 特 性 . 式 （ 11 ） 本质上为一微分同 胚， 因此为镇定系统 （9 ） ， 只需要镇定原系统状态
t
式中， （ xl ， x2 ） 在文献 ［4］ 中 被 称 为 连 杆 3 的 CP （ Center of Percussion ） 点； ul ， u 2 是新的控制输入 . 将变换式 （4） 代入式 （3） 得
・ ・ l
x
= ul = x3 ul = u2
}
・ ・ 2
x x
（l）
・ ・ 3
}
根据式 （9） 的 具 体 形 式， 下面采用后推法推 导使其渐近稳定的控制规律 U 2 . 首先， 利用虚拟控制， 定义 4 个误差变量： !1 = }3 e ! 2 = } 4 e - "（ 1 } 3e ） !3 = }5 e !4 = }6 e - "（ }4e ） 2 } 3e ， - "（ }4e ， } 5e ） 3 } 3e ，
（5）
t y2 ， y3 ， y4 ， y5 ， y6 ） 且 yl = xl ， y2 = 令"= （ yl ，
第3期
刘盛平等： 三自由度平面欠驱动机械臂的轨迹跟踪控制
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・ ・ ・ 9 }3 = 92 ， }4 = 9 }5 = 93 ， 以及 } 6 = 9 则二 阶 链 1， 2， 3，
Wu Licheng
（ State Key Laboratory of InteIIigent TechnoIogy and Systems ，Tsinghua University ，Beijing 100084 ，China ）
Lu Zhen
（ SchooI of Automation Science and EIectricaI Engineering ，Beijing University of Aeronautics and Astronautics ，Beijing 100083 ，China ）
Trajectory tracking control of three-DOF planar under-actuated manipulator
Liu S来自百度文库engping
（ SchooI of Automation Science and EIectricaI Engineering ，Beijing University of Aeronautics and Astronautics ，Beijing 100083 ，China ）
Abstract ：The trajectory tracking controI of a three-Iink pIanar under-actuated manipuIator was presented. The third joint of the manipuIator was passive. The dynamic constraint on the free Iink was shown to be second-order nonhoIonomic. Motion eguations of the system were transformed into high order chained form using some gIobaI coordinate and input changes. A time-varying feedback controIIer was proposed to force the under-actuated manipuIator to gIobaIIy asymptoticaIIy track a reference trajectory. The controI deveIopment was based on the current popuIar integrator backstepping technigue. The method breaks down nonIinear system into Iow dimensionaI systems and simpIifies the controIIer design using virtuaI controI inputs and partiaI Lyapunov functions. SimuIation resuIts show the system can stabIy converge to a desired trajectory and demonstrate the effectiveness of the proposed controI Iaw. Key words ：under-actuated ；nonhoIonomic ；pIanar manipuIator ；backstepping ；trajectory tracking
・ M l23 ・ x - m 3 d ! cos ! - m 3 d ! sin ! = f l ・ M 23 ・ y - m 3 d ! 2 sin ! + m 3 d ! cos ! = f 2 ・ ・ ・ ・ - m 3 dx sin ! + m 3 dy cos ! + I ! = 0 ・ ・ ・ ・ ・ ・2 ・ ・
（4）
uy =
f2 ） 表 示 2 个 移 动 关 节 的 控 制 节位置矢量， （ fl ， m2 ， m 3 分别 表 示 3 个 连 杆 的 质 量， I3 表 输入， ml ， 示第 3 个连杆对其质心的转动惯量， d 表示关节 3 到第 3 连杆质心的距离 . 根据牛顿 -欧拉法， 得到式 （l） 所 示 PPR 型 平 面欠驱动机械臂的动力学方程：
xl = x + x2 =
!" 动力学方程
研究如图 l 所示的在水平面运动的三自由 度 欠驱动机械臂， 该机械臂的第 l 个和第 2 个关节 是相互正交的移 动 主 动 关 节， 第 3 个关节为自由
t 移动的转动关节 . 设 ! =（ x ， y， !） 表 示 系 统 的 关
ux =
( (
) )
2007 年 3 月 第 33 卷 第 3 期
北 京 航 空 航 天 大 学 学 报 JournaI of Beijing University of Aeronautics and Astronautics
March VoI. 33
2007 No. 3
三自由度平面欠驱动机械臂的轨迹跟踪控制
刘盛平
（ 北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院，北京 100083 ）
吴立成
（ 清华大学 智能技术与系统国家重点实验室，北京 100084 ）
陆
震
（ 北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院，北京 100083 ）
摘
要：研究了三连杆平面 欠 驱 动 机 械 臂 的 轨 迹 跟 踪 问 题 . 机 械 臂 的 第 3 个 关 节 为
被动关节， 施加在自由运动连杆上的动力学约束是 二 阶 非 完 整 的 . 通 过 全 局 输 入 和 坐 标 变 换， 系统的动力学方程被变换成高阶链式形式 . 基于后推法 （ backstepping ） 的 思想 推导出 保证系 统 全局渐近收敛于参考轨迹的时变反馈控制规律 . 后推法将系统分解为低阶子系统来处理， 利用 中间虚拟控制变量和部分 Lyapunov 函数简化了控制器的设计 . 数 值仿真 结果 显示系 统能稳 定 地跟踪参考轨迹， 也证明了控制器设计是有效的 . 关 键 词：欠驱动；非完整；平面机械臂；后推法；轨迹跟踪 文 章 编 号：1001-5965 （ 2007 ） 03-0307-04 中图分类号：TP 242 文献标识码：A
收稿日期：2006 -04 -20 基金项目：国家自然科学基金资助项目 （ 50375007 ， 50405002 ） 作者简介：刘盛平 （ 1978 - ） ， 男， 四川荣县人， 博士生， Iiushengping@ asee. buaa. edu. cn.
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北 京 航 空 航 天 大 学 学 报
2007 年
欠驱动机械臂是指在系统的某个或某些关节 上缺少驱动器的 特 殊 机 器 人 . 驱 动 器 的 减 少 使 欠 驱动 机 械 臂 具 有 重 量 轻、 成 本 低、 能 耗 低 的 特 点， 这对于新型机器人的研究具有指导意义 . 此外， 对 欠驱动系统的研究也必将扩大非线性控制理论的 研究领域 . 文献 ［l］ 最初研 究 了 欠 驱 动 机 械 臂 被 动 关 节 上有制动器时的 关 节 位 置 控 制 问 题 . 它 利 用 制 动 器放松、 啮合 2 种 运 动 模 式 实 现 系 统 的 关 节 位 置 控制 . 之后人们对 被 动 关 节 上 无 制 动 器 的 控 制 问 题进行探索 . 文献 ［2 - 3 ］ 等研究了第 l 个关节受 驱动， 而第 2 个关节为被动的 2R ， PR 机 械 臂 的 稳 定性问题 . 文献 ［4］ 利 用 构 造 轨 迹 方 法 证 明 了 3R 型平面欠驱 动 机 械 臂 是 完 全 可 控 的 . 文 献 ［5］ 等 研究了 PPR 型 平 面 欠 驱 动 机 械 臂 的 关 节 位 置 控 制， 利用输入坐标 变 换 将 系 统 的 动 力 学 方 程 变 成 一个链式系统形 式， 并设计控制器使系统在 2 个 任意位置点间运动 . 文献 ［6 - 7］ 利用新方法同样 研究了 PPR 型 平 面 欠 驱 动 机 械 臂 的 关 节 位 置 控 制 . 文献 ［8 ］ 基于部分反馈线性化的非线性控制 决策研究了吊车负载的防摆控制 . 但到目前为止， 对平面欠驱动机械臂的控制研究还没形成统一理 论. 文献 ［5 - 6 ］ 只解决系统从一个点运动到另 一个点， 对 2 点间的轨迹无任何要求； 而在实际 中 却需要使系统关 节 沿 着 特 定 的 轨 迹 运 动 . 针 对 此 问题， 本文采用坐标和输入变换， 将系统的动力学 方程变成高阶链 式 形 式， 并利用后推法为系统设 计了保证系统渐近收敛于给定轨迹的时变反馈控 制规律的控制器 . x3 = 式中， "= 得