二阶递推数列的常用处理策略及其应用

用 特 征 方 程 法 解 决 得 bn = (-3)n 6n (-3)n 2n 所以an= - . 5 12 5 20 用特征方程x2=3x+18得特征根6 -3. 3an+1=6(an+1+3an)+2n 再用累加法处理. 2an+n-1 求an.
们先得分解为两个问题 ：(1) 如 何 取整 ；
an an-1 = αn αn-1
再用累加法得到通项公式.
而 上 面 这个 问题的 设 置 一 方面 强
49
试题研究 > 解题技巧
数学教学通讯 （中等教育） 数学教学通讯 （教师版）
投稿邮箱:sxjk@vip.163.com
令c n=an处 理 方
2n
1 , 可用二阶递推数列的 2 法 得
2n
的各个环节进行 分 析 从每 个 点 都可出 发构造问题 因此 深 入 研究 这 个 问题的 各个环 节的特征 是 我们 在 遇 到 新的问 题时能够联想到这一知识的关键. 在 上 面二阶递蓷 数 列 的解 决 中 特 征 方 程 是一个 二 次 方 程 ax2+bx+c =0 通 常 有 两 个根 而 这 两 个根 的 表 达 式 x= -b ʃ ɿb 2-4ac 是对称的. 其通项公式是 2a - b + ɿb 2 - 4ac an = A • 2a
+(1 - ɿ2 ) +C1000 • 2500)； 1000
=
接 下 来 我们 要 重 点 证明 这 个 数 是 一个整数 且它除以7所得余数为多少？ 策略 我们构造数列{anπ如下： 通项公式为an=tn+αn+βn 其中a0=3 a1=t+α+β=7 49 a2=t2+α2+β2=(t+α+β)2-2(tα+tβ+αβ)= an+3=7an+2-a（ ） . n 证明略 上面充分运用了三次方程的韦 达 定 理 以 及 转 化的思想 得 到 了 一个递蓷 列{anπ模7的数列如下： 3 0 0 3 0 0 数列. 然后我们运用上例的方法得到数 联 想 到 上 面 对 这 一类 问题的 处 理
2
已知 例 1 （2009年 全国 数 学 联赛）
2
个 实 根 α β 数 列{anπ 满 足 a1=p a2=p -q an=pan-1-qan-2(n=3 4 表示） ； ).
用错位相减法求得前n项和为Sn=3-
( ),
1 1 , 得 α =β = , 所 以 4 2
处理策略
ˌ 在竞赛题中的 几个变式 的
2,an+2=2an+1+an. 由 二 阶 递 推 数 列 求通 项 的 方法 我 们得到an=( 1 + ɿ 2 ) n + ( 1 - ɿ 2 ) n . 模10数列为： 2,2,6,4,4,2,8,8,4,6,6,8,2,2,6, 4,4, 注意到a12的模10后 出 现与 a0到 a11的 一样的数,所以a1000模10的数字应该与a4 模10的数字相同,即4. 所以[(1+ ɿ 2 )1000]的个位数字为3. 上的共同性 再由 (1- ɿ 2 )1000是小于1的正数, 根据递推方法我们得到数列{an}的
投稿邮箱:sxjk@vip.163.com
数学教学通讯 （中等教育） 数学教学通讯 （教师版）
试题研究 > 解题技巧
二阶递推数列的常用处理策略及其应用
宣培霞 浙江诸暨市牌头中学 311825
中 项公式的求法以及几个常见的变化. 等 教 育 关键词：二阶线性递推数列；特征根法；整除问题
£
摘 要：本文对近几年数学竞赛中二阶线性递推数列的常见题型进行了总结,得出二阶线性递推数列的通
an-1 =1, αn-1 即 数列 2α,所以
数列的通项公式
ˌ 特征根法 求 二 阶线 性 递推
an =n+1,即an=(n+1)αn. αn
{ }
n
an 为 等 差 数 列 . 由 a1=p = αn
(2) 若 p =1,q = 1 an=(n+1) 2 n+3 . 2n 一般地
p q (q ʂ0) 是 实 数 方 程 x -px+q =0 有 两
设数 例 2 （2000 年 全国数 学 联赛）
求
解 : 此题给 出 了 两 个数列 间的 互 相
再 由 a1 a2 的 值 来 确定 其 中的 系 数 A B. 或 者 结 合转 化的思想 对 上 面的 递 蓷 式 an -α• an -1 =βn 再 转 化 为 β (α )
n
递 推 式 , 但 只 要 求 证 数 列 {an} 的一 个 性 质, 因此把递推式中的b n消去的这个想 法是自然的 , 先 得到an+2=14an+1-an-6. 从 形式上看,已经很 接 近 二阶线 性 递 推 数 列,只不过还要处理数字-6. 此时,再次用转化的思想,化为 (an+2-A )=14(an+1-A )-(an-A ),得A = 1 . 2
得an=
βn+1-αn+1 ； β-α a ②若α=β,则an-α • an-1=αn可化为 n αn
调 了 在 处 理二 阶递蓷 数 列 中的 转 化思 想 一 方面在解法 上 用 上 面的解法 可 以 简 化求出通项的 过程 其 中对 初 始 项 的 选 择 也 有 其 独 到之处 当 然 在 其他 二 阶 递蓷数列中也可以蓷广这一处理方法. 让学生能 够掌握这 个 基本 方法 ； 另
策略二: 先忽略2n （化二阶为一阶） 把 an +2 =3an +1 +18an +2n 转 化 为 an +2 + 设数列b n=an+1+3an 满 足 b n+1=6b n+2n 2. 已知数列{anπ中 a0=a1=1 an+2=an+1+ 在处
.
1000
2 4 2(+C1000 • 2+C1000 • 22+
典 型 的二 阶递蓷 数 列 作 为 考 查 方 式 学 生基 本 上 都 能解 决 在 上 题中 命 题 者 是 希望 通 过 此 题 对处 理策略 有 所 改变 特别 是针 对 初 始 项做 了 巧妙 的 设 计. 但 作为试题 设置 主要是考查学生 能否把转化的思想运用在解决问题中.
(1) 求 数 列 {anπ 的 通 项 公 式 （用 α， β 1 求{anπ的前n项和. (2)若p=1 q= 4
到
cn
=
wk.baidu.com
(2+ ɿ 3 ) +(2- ɿ 3 ) . 4
[
所以an=
(2+ ɿ 3 )2n+(2- ɿ 3 )2n+2 = 4
(2+ ɿ 3 )n+(2- ɿ 3 )n 2
最后结合二项式定理, 可得an是完 从 此题的 设计 来 看 我们可 以在二
].
2
全平方数. 阶递蓷式中加上 一些 非线 性 因 素 考 查 学生运用转 化思想的能力 其常 用的方 法是在二阶递蓷 式 上加上 常 数 或者 与 n有关的表达式. 如以下几题： 3an+1+18an+2n 求an.
500 500
理以二阶递蓷数列为主线的递蓷数列问 题中 重点应注意转化思想的使用 把我 们不熟悉的递蓷 数 列 转化 为 常 用 的 ㊁能 解决的 但特别要注意选择新数列.
的形式与 递推关系中 的 形 式的一 致 性 , 上 面的问题 还 主 要是 通 过对递蓷 数列的变形来得 到其 通项 公 式 在数学 问题的设计 中 我们还 经 常对 这 个问题
1000 1000
2n) 用待定系数法得A = 设数列b n=an+ 18b n.
an+2+A• 2 =3(an+1+A• 2 )+18(an+A• 1 . 20 1 n • 2 满足b n+2=3b n+1+ 20 6n 12
（其中 ［x］ 表示 不超 过 x的 最大 分析 : (1+ ɿ 2 )1000是 一 个 无理 数 ,
在 线 性二 阶递蓷 数 列 中
在一些参考书中通常用特征根法： an=A αn+Bβn；
解 :(1)an=pan-1-qan-2,可 化 为 an=(α+ β) • an-1-αβ • an-2, an-α • an-1=β • (an-1-α • an-2)和an-β • an-1= α • (an-1-β • an-2), 所 以数列 {an-α • an-1},{an-β • an-1} 是 等比数列. 由a1=p ,a2=p 2-q ,得a2-α • a1=β2,a2-β • a1=α2, 所以①若αʂβ,从上二式中消去 an-1 所以an-α • an-1=βn,an-β • an-1=αn.
px-q 得到两特征根：α㊁β. ①若αʂβ 则 ②若α=β 则an=(A n+B) • αn.
由an=pan-1-qan-2 写出特征方程：x2=
列{anπ和{b nπ满足a0=1 b 0=0 且 证：an是完全平方数. +6b -3, n =0 1 2 { ba =7a =8a +7b -4,
n+1 n n n+1 n n
数[(1+ ɿ 2 )1000]的个位数字
实根为t 则[t2000]被除7的余数为
简 解 : 由 三次 函数 y=x3-7x2+1 的 图 1 <α<0<β< 2
象, 可得三次方程的根有三个α㊁β㊁t,且 三个根的取值范 围 大 约 是 1 ,6<t<7. 2 为 了解决 取整 的 问题 ,我们构 造 了 整数 ：t2000+α2000+β2000. t2000+α2000+β2000. 因 为 0< α2000+ β2000 <1 , 所 以 [ t2000] +1=
求 递蓷数 列 的 通 项 是 数学 竞赛 中 最为常见的考查 内容 之一 其 中二 阶线 性 递蓷 数 列 在 竞 赛 题的 设 置 中 是一个 比较常 用的选择 因此在 竞 赛 辅 导中对 这一内容要重点突破. 以下是本人针对 此内容 在近几 年 竞 赛 中的考 查 进 行 了 一些归纳 以期 在 竞 赛辅 导中能 够对 学 生掌握这一知识点做一些参考.
n+2
定理中有类似的用法.实际上在例2中对 项 an= (2- ɿ 3 ) [ (2+ ɿ 3 ) + ] 是 完全 2
n n 2
(
-b - ɿb 2-4ac 2a
(
)
n
而这个形式在二项式
)
n
+ B•
上 面 一例 中 我们 注 意 到应 用 形 式 把 不 同 知识 点联 系 起 来 在下 例中充
用 递蓷 的方法 来 解 决 二 项 展 开 式中的 一个问题. 应用这种思想 分 地 把 各 个 知识 点 ： 方 程 的 根 ㊁ 递蓷 的 方法㊁整除问题联系到一起. 例4 已 知方 程 x3 -7x2 +1=0 的 最 大 .
ɿ 2 ) 1000 是小于1的正数, 故解决了取 整的问题. 而个位数字的问题即是除以
n
这 样由于组 合数 都 是 整 数 且 ( 1 -
从以上几题中我们可以看出
10所得余数的问题 , 在这个 展开 式 中需 要 组 合数与 2 一 起 工作是 一 件 麻烦 事 ！ 为 了 减 少 麻烦 , 也 可以 把目 标 转 换 为 ( 3 + 2 ɿ 2 ) +( 3 - 2 ɿ 2 ) 来 得 到. 在这里,我们也注意到,这里的目标
1. 已知 数列 {anπ 中 a1=a2=1 an+2= 策略一:把an+2=3an+1+18an+2n转化为
n+1
平 方 数 这 一 结论 已 经 使 用 了 二 项 展 开 式的方法. 因此 在遇到类似的二项式问 题中我们也可以 逆 用 这 一 用法 用 递蓷 数列的方法来解决二项式方面的问题. 例3 是 整数） . 但 取整 后的 个 位 数如 何 求这 一 问题 我 (2)如何求个位数. 在 二 项式定理 的 应 用中, 我们 很快 就想到了它的对称式(1- ɿ 2 ) 利用二项式定理展开得： (1 + ɿ2 )
ˌ 二阶递推数列的一个应用
所以有了以下的想法. 由 方 程 x2 -2x -1 =0 的 两 根 就 是 1 ʃ ɿ2 . 我们设计一个数列{an}如下：a0=a1=
所以[ t2000] 除以7所得余数为6.
50